Когда я собралась получать степень PhD[48] в Королевском колледже Лондона, я знала, что хочу исследовать. Последние два года я училась в магистратуре, изучая преподавание математики: днем работала в одной из лондонских средних школ (7–12-е классы), а вечером занималась на курсах. Я чувствовала себя готовой к сложностям получения степени PhD и подала заявку на участие в одной из программ финансирования; конкуренция там была острой, но в случае удачи я получала грант, который позволил бы мне исследовать методы преподавания и изучения математики. Через несколько месяцев я узнала об успехе и решила оставить работу учительницы и на несколько лет снова стать полноценной студенткой.
В своей заявке я изложила план исследования двух различных подходов к преподаванию и изучению математики и сбора данных об эффективности каждого из них. Я обратила внимание, что о методах преподавания математики много спорят, однако в этой сфере имеется очень мало научных данных. Я решила внести свой вклад в эту область, обогатив ее фактами и доказательствами. В течение следующих трех лет я наблюдала за когортой[49] школьников с 13 до 16 лет (окончания обязательного школьного образования в Великобритании). Эти подростки учились в двух разных школах, которые походили друг на друга в отношении успеваемости и демографической ситуации, но сильно различались по методам преподавания математики. Я провела сотни часов в классах этих школ, собирая множество данных, включая наблюдения за классом, беседы с учителями и учениками, оценки понимания учениками материала и анализ результатов экзаменов267. Это детальное исследование того, как различные подходы к преподаванию влияют на обучение, получило награду Британской ассоциации педагогических исследований (BERA) за лучшую диссертацию PhD в области образования в Великобритании.
В одной из школ (которую я назвала Амбер-Хилл) учителя практиковали типичный подход к преподаванию математики, когда преподаватель объяснял школьникам методы, а ученики затем отрабатывали их, решая задачи из учебника. Школьники нарабатывали сотни часов практики, а преподаватели, обладавшие высокой квалификацией, всегда были готовы помочь и поддержать. В другой школе (которую я назвала Феникс-Парк) учителя знакомили детей с идеями и разными видами деятельности; давали им возможность исследовать эти идеи; вовлекали в обсуждение всем классом, в ходе которого идеи развивались и увязывались между собой; потом преподаватели подводили итог268.
Например, учащиеся школы Феникс-Парк изучали тему «геометрическое место точек» (ГМТ). В математике это понятие определяется как множество точек, обладающее определенным свойством. Такой математический инструмент полезен в исследовании отношений между точками, линиями и кривыми. Он используется, когда требуется прогнозировать и анализировать биологические или социальные системы в науке и других областях. Дети в школе Феникс-Парк начали изучать эту тему с рассмотрения одиночных точек, а затем перешли к пониманию того, что геометрическое место точек, равноудаленных от данной, – это окружность.
В обычных американских учебниках понятие ГМТ вводится в виде определения, после чего школьники решают узкие задачи. Преподаватели Феникс-Парка знакомили учеников с этим понятием, выводя их на игровую площадку и расставляя определенным образом. Сначала детей попросили встать на расстоянии 5 метров от учителя, и ученики увидели, что получается окружность.
Затем понятие расширили: учеников попросили встать на расстоянии 5 метров от прямой, потом на равных расстояниях от двух разных точек. Они провели целый урок, размышляя над понятием ГМТ и экспериментируя с идеярассказывают про ГМТ. ми на физическом уровне через движение. В Феникс-Парке учеников не разделяли по результатам, а предлагаемые задачи всегда обладали достаточной открытостью, чтобы ученики могли думать в разных направлениях – в зависимости от своих знаний и понимания. Для одних учеников это задание стало возможностью поразмыслить о фигурах и симметрии, для других – узнать о Пифагоре, для третьих – познакомиться с директрисой параболы.
Рис. 7.1. Пример того, как в школе Феникс-Парк
Может показаться, что на изучение понятия, которое вполне можно проиллюстрировать рисунками в учебнике, тратится слишком много времени, однако исследования демонстрируют, что ценность восприятия математических идей через физические движения огромна; таким мощным мысленным представлениям, которые следует выстраивать для всех математических понятий, посвящены целые книги и номера журналов269. Например, в одном исследовании наблюдали за тем, как ученики изучают отрицательные числа, складывая бумагу (рис. 7.2):
Рис. 7.2. Складывание бумаги для демонстрации отрицательных чисел.
Исследователи обнаружили, что физические манипуляции с бумагой позволяли учащимся развивать мысленные представления целых чисел. Это привело к тому, что учащиеся продемонстрировали более высокие результаты не только в тестах на отрицательные числа, но также в тестах на дроби и алгебру270.
После того как ученики Феникс-Парка познакомились с концепцией ГМТ на игровой площадке, их попросили отработать идеи в домашнем задании. Школьникам предложили изобразить путь, который опишет точка, нарисованная на круглой картонке, если эту картонку прокатить по ровной поверхности. Также им предложили подумать о движении точки, нарисованной на треугольнике, квадрате и фигуре по их собственному выбору, и проследить, как меняется путь точки, если менять ее положение на фигурах.
Подобная деятельность важна для учеников школы Феникс-Парк по многим причинам (например, из-за ее ish-ности и разнообразия), но я бы хотела акцентировать ваше внимание на многоплановой природе таких упражнений.
Это домашнее задание не предполагало монотонной работы над одинаковыми вопросами; от школьников требовалось применить свое понимание к разным фигурам. Это не только означало практический характер работы, но и подразумевало ее сложность – следовательно, школьники боролись, прикладывали усилия. Такой практике присущи и другие важные аспекты: когда ученики рисовали ГМТ для треугольника и квадрата, они работали с тем, что исследователи назвали «контрастирующими примерами».