Математика – это концептуальный предмет. Многие считают, что она представляет собой какой-то перечень правил и методов, но на самом деле это небольшой набор важных понятий, которые ученики (да и все люди) могут понять и полюбить. Эдди Грей и Дэвид Толл, исследователи из Уорикского университета в Англии, убедительно показали это в своей работе 1994 года, посвященной изучению подходов детей к арифметике и числам²¹⁷. В течение многих лет я опиралась в преподавании на их исследование, а недавно мне удалось воспроизвести его с детьми в Сан-Хосе (Калифорния). Я считаю их работу столь важной по той причине, что она выявила разницу в действиях хорошо и плохо успевающих учащихся. Исследование, которое мы провели в США двадцать девять лет спустя, привело к тому же результату, а также к новой идее.

Грей и Толл предлагали ученикам в возрасте от 7 до 13 лет решить ряд арифметических задач, например 6 + 19, и фиксировали стратегии, применяемые школьниками. Предварительно исследователи попросили учителей указать детей с низкой и высокой успеваемостью. Грей и Толл обнаружили нечто удивительное: успешные ученики для ответов на вопросы опирались на чувство числа. Считается, что у человека развито это чувство, когда он может гибко работать с числами: например, разбивать их на части разными способами, представлять их визуально и использовать различные методы для операций с ними. В описанном эксперименте школьник с чувством числа, которому требовалось сложить 6 и 19, вместо этого складывал 5 и 20. Напротив, плохо успевающие ученики не применяли такой гибкий подход, а пытались прибавлять по единице. Если им предлагали найти 19 − 16, они «двигались назад», начиная с 19 и отсчитывая 16 шагов, что очень сложно. А вот школьники с чувством числа поступали гораздо проще: вычитали 10 из 10 и 6 из 9.

Исследователи сделали важный вывод: плохо успевающие дети зачастую испытывают проблемы, поскольку подходят к числам как к методам и правилам, а не на уровне идей – они не научились работать с ними гибко. Но когда округа и школы видят, что их ученики показывают низкие результаты, они часто дают детям бланки, заполненные «практическими упражнениями», и тем самым закрепляют их подход к арифметике как к набору правил. Большинство людей нуждается как раз в противоположном.