Когда ученики знакомятся с числами, важно, чтобы они воспринимали их не только в визуальной и физической, но и в игровой форме. Противоположный подход – восприятие чисел и операций как набора чуждых правил, которым нужно следовать. Я собираюсь проиллюстрировать разницу между этими подходами на примере двух занятий, посвященных сложению чисел в пределах 20 – темы, которую в США изучают в первом классе. Один из этих уроков – пример узкой математики, другой – пример математического разнообразия и развития возможностей, позволяющий ученикам создавать ментальные модели.

Рис. 5.10. Подход в учебниках к сложению чисел.

Сложение чисел

Во многих учебниках, используемых повсеместно, математика сводится к серии вопросов на бланке, как показано на рисунке 5.10.

Рисунок 5.11 демонстрирует другой подход к изложению того же материала. Ученикам показывают несколько животных с разным количеством ног и приглашают провести «парады ног» для разного их количества. Например, каких животных вы возьмете, если организуете парад из 20 ног?

Рис. 5.11. Животные для парада ног. Дж. Боулер и др. Математическое мышление. Класс 1.

Одна учительница, которая использовала в своем классе бланк узкого метода, задала мне вопрос: как работать с учениками, если одни умеют складывать в пределах 20, а другие нет? Это вполне резонный вопрос в мире узкой математики. Представьте себе первоклассников, сидящих за партами с таким бланком: одни, уже научившиеся складывать, могут быстренько пробежаться по нему без особых раздумий. Другие придут в замешательство и будут смотреть на бланк в панике и страхе. Вполне понятно, почему учителя не хотят давать этот материал школьникам с разным уровнем результатов и разными текущими возможностями.

Все изменится, если мы вырвемся из мира узкой математики в мир математического разнообразия, создавая для учеников возможности для построения ментальных моделей. Вариант сложения с помощью парада ног отличается от бланка с заданиями по крайней мере в трех аспектах. Первое отличие – визуальный характер парада; это важно не только потому, что метод более нагляден, но и потому, что он дает детям то, что можно посчитать, и модель, которую они могут построить в голове. Это означает, что работать могут и те ученики, которые хотят считать ноги, и те, которые могут образовывать числовые связи без подсчета. Второе отличие заключается в том, что ученики взаимодействуют с интересными и увлекательными объектами из окружающего мира. Мой опыт показывает, что детям нравится выбирать разных животных и изображать их на плакатах (рис. 5.12).

Третье отличие заключается в том, что одно и то же число можно составить разными способами. Поэтому ученики могут создать свой собственный парад ног (и ощутить гордость), а не гоняться за тем, чтобы получить тот же ответ, что у других. В подобных заданиях неважно, обладают ли ученики какими-то специальными знаниями, – широта вопроса и различные точки доступа означают, что включиться и работать могут абсолютно все школьники. Кроме того, на смену беспокойству и скуке, вызванным примерами на бланке, приходят вовлеченность и удовольствие – несмотря на то, что ученикам преподают ровно тот же материал. Причина в том, что мы вырвались из мира узкой математики и попали в удивительный мир математического разнообразия.

Можно поднять эту задачу на следующий уровень – выясняя, сколько существует различных вариантов, например, для 18 ног. Если математические задачи разнообразны, нам незачем разделять учеников на разные группы и классы, нанося им вред представлением об их потенциале. Очень важно, что разнообразие задач позволяет учащимся развивать визуальные мысленные представления, и это можно использовать при дальнейшем обучении.

Рис. 5.12. Плакат с парадом ног.

Умножение и деление

Позднее школьники знакомятся с умножением и делением – темами, которые обычно преподают в числовом виде. В узкой версии объяснения используется один высоко ценимый метод и один высоко ценимый ответ. Однако разнообразие (многоплановый подход) дает возможность ученикам размышлять о различных способах умножения или деления и о визуальных способах их представления, что создает важные возможности для развития мозговых связей и ментальных моделей.

Не думаю, что есть необходимость в еще одном бланке с заданиями, аналогичном бланку со сложением. Скорей всего, у вас уже полно таких листков с примерами на умножение и деление. Вместо этого давайте начнем обсуждать умножение со следующего: представьте мысленно 38 × 5, ничего не записывая. Когда я предлагаю такое задание школьникам в первый раз, они не понимают, как создать визуализацию; зачастую у них вообще нет никаких зрительных идей. Однако со временем они осваиваются с визуализацией чисел. На рисунке 5.13 приведены методы и зрительные представления, которые, по их словам, часто помогают им в понимании.

Рис. 5.13. Числовые и визуальные решения для умножения 38 × 5.

Когда я показала своим студентам в Стэнфорде умножение 38 × 5 в виде рисунка 5.14, они сказали мне, что впервые поняли, почему при умножении чисел можно использовать метод, когда один множитель удваивается, а второй уменьшается вдвое.

38 × 5 = 19 × 10

Рис. 5.14. Одно из решений для умножения 38 × 5.

Я описала различия между тем или иным способом вычислить 38 × 5 и в начале дискуссии предложила студентам рассмотреть разные способы произведения 38 × 5. Некоторые люди критикуют теории ментальности, утверждая, что сторонники методов с установками на рост возлагают ответственность за изменения на самих учеников. Я понимаю эту критику, но твердо убеждена, что преподаватель обязан раскрывать содержание так, чтобы посылы на установку могли закрепиться. Если вы говорите ученикам, что они могут научиться чему угодно, но затем даете узкий материал (например, вычисление 38 × 5 с одним ответом и одним ценимым методом), то школьники не поймут, где здесь они могут учиться и развиваться. Но когда контент раскрывается, и ученикам предлагается подумать и порассуждать, они ощущают, как закрепляются установки и улучшается их учеба. Хотя некоторые исследования показывают, что посылы на установку, которые даются вне уроков, без изменений в преподавании, не оказывают никакого влияния (или их влияние незначительно)¹⁹³, вкупе с изменением подхода к математике они значительно улучшают успеваемость и установки учащихся¹⁹⁴.

Вместо того чтобы просить школьников разделить 273 на 7, в правильном подходе к делению, задействующем визуализацию, мы просим учащихся построить прямоугольник с площадью 273 и длиной одной стороны 7, как показано на рисунке 5.15¹⁹⁵. Их задача – найти длину второй стороны различными способами.

Подобные визуальные представления умножения и деления важны не только потому, что они способствуют созданию ментальных моделей, но и потому, что они показывают, насколько по-разному мы можем думать о вычислениях, а также причины, почему эти методы работают. Это помогает ученикам развить то самое чувство числа – подход к числам, который приводит к высоким результатам¹⁹⁶. Когда у учащихся сформировано чувство числа, они могут воспринимать смысл чисел и гибко использовать их в различных ситуациях. Чувство числа не появляется в результате слепого заучивания математических фактов! Как я уже рассказывала в предыдущей главе, оно развивается, когда мы задействуем ish-математику.

Рис. 5.15. Различные визуальные решения для деления 273 на 7.

Рис. 5.16. Подход в учебниках к умножению чисел.

За годы своей карьеры мне посчастливилось поработать с несколькими невероятными учителями начальных классов, которые поощряют развитие ментальных представлений у своих учеников, приглашая их мыслить не только визуально, но и физически. Одна из них – Джин Мэддокс, учительница пятого класса в Калифорнийской долине. До нашего знакомства она преподавала умножение по принятому в их школьном округе учебнику, страничка из которого показана на рисунке 5.16.

Это типичный пример из учебников, используемых в США. Сейчас Джин отдает предпочтение математическому разнообразию и предлагает ученикам думать об умножении разными способами – физически, визуально и численно. Школьники производят умножение, выстраивая числа с помощью кубиков, рисуя их и работая с цифрами. На рисунке 5.17 показаны примеры их различных работ.

Рис. 5.17. Примеры школьных работ, где умножение выполняется физически, визуально и численно.

Разница между узкой задачей и заданием, которое вносит разнообразие и мотивирует учеников углубляться в предмет, может быть незначительной. Например, вместо того чтобы просить учеников вычислить площадь прямоугольника 12 × 2, вы можете спросить их, сколько прямоугольников с площадью 24 они могут найти (рис. 5.18). Первый вопрос сводится к вычислению, а второй превращается в радостное наглядное исследование, где школьники получают возможность рассмотреть взаимосвязь между длиной и шириной, что открывает доступ к принципиальному пониманию площади.

Рис. 5.18. Сколько прямоугольников имеют площадь 24?

Деление дробей

Одна из самых проблемных тем в начальных школах, которая вызывает огромные трудности у учеников, дает низкие результаты на тестах и не имеет практической ценности, – это деление дробей. Когда взрослых просят привести примеры деления дробей из реальной жизни, большинство из них не могут придумать ни одного¹⁹⁷. На мой взгляд, эта операция – главный кандидат на полное переосмысление методики преподавания, включая перенос в учебные программы более поздних лет. Деление дробей лучше всего преподавать маленьким детям концептуально (на уровне идеи), чтобы у них сформировалось понимание происходящего. Вместо того чтобы объяснять смысл процесса, учителя обычно озвучивают правило: чтобы разделить число на дробь, нужно ее перевернуть, а затем умножить число на перевернутую дробь. Этот процесс не имеет смысла для учеников, и даже появилась популярная мнемоника: «Ours is not to reason why, just to flip and multiply»[41].

Это печально, ведь рассуждения – главное в математике. Они суть самой дисциплины, и именно они лежат в основе всех математических работ высшего уровня и математических доказательств. Когда математики пишут статьи и общаются друг с другом, они используют математические рассуждения, устанавливая логические связи между идеями. Когда школьники учатся объяснять друг другу суть выбранных ими методов и их применение, они занимаются, пожалуй, самым важным видом математической деятельности – рассуждением. Я уверена, что фраза «Ours is not to reason why, just to flip and multiply» появилась потому, что сама операция слишком сложна для понимания или рассуждений в десятилетнем возрасте, когда эту тему изучают в американских школах.

Последние несколько лет я имею удовольствие учить и учиться у человека, с которым я впервые познакомилась, когда еще училась в Стэнфорде – на занятиях по математике для первокурсников. Монтсе Кордеро приехала из Коста-Рики; в ее багаже были успехи в школьной математике и на Международной математической олимпиаде. Монтсе обладает подлинным математическим любопытством – ее глаза загорались каждый раз, когда мы обсуждали, почему работает тот или иной подход. С тех пор Монтсе стала чем-то вроде звезды среди учителей математики: она принимает участие в моем онлайн-курсе для учащихся¹⁹⁸ и появляется в качестве супергероя Youcubed в наших видеороликах¹⁹⁹. Но настоящая звездность Монтсе заключается в ее упорстве и уверенности в себе: она выбрала математику в качестве основной специальности в учебном заведении, где руководство игнорировало ее как студентку и даже не предоставило ей руководителя, а затем поступила в магистратуру по математике – к счастью, в другом университете. Сейчас Монтсе готовится к защите докторской диссертации по математике.

Монтсе Кордеро

Одно из моих воспоминаний о Монтсе связано с уроком, на котором я знакомила первокурсников с делением дробей и просила представить это действие наглядно. Предполагалось, что обсуждение будет кратким, однако в итоге ему пришлось посвятить все занятие, поскольку студенты осознали, что никогда не понимали, что происходит при делении дробей; они только «переворачивали и умножали». Их потряс показанный видеоролик, на котором Кэти Хамфрис учит семиклассников, как можно визуализировать процесс деления 1 на 2/3 ²⁰⁰.

В этом видеоролике ученики осмысливают деление дробей тремя визуальными способами (рис. 5.19):

Рис. 5.19. Три визуальных подхода к делению 1 на 2/3.

Слева: более светлая часть представляет собой 2/3 круга. Учащиеся видят, что эта светлая часть помещается внутри круга полтора раза. В середине: более темная часть представляет собой 2/3 прямоугольника. Учащиеся видят, что эта темная часть помещается внутри прямоугольника полтора раза. Справа: линия под числовой прямой представляет собой 2/3. Учащиеся видят, что линии над числовой прямой показывают 2/3 плюс половину от 2/3.

Я записала видеоролик, где объясняю кукле-овечке визуальный подход к делению дробей²⁰¹! Эта овечка принадлежит математику Тиму Шартье, который любит использовать куклы, чтобы помогать ученикам изучать математику.

Спустя годы, когда Монтсе уже была на последнем курсе Стэнфорда, она решила написать диплом по педагогике и сосредоточилась на делении дробей. Монтсе рассказывает о важности того момента на первом курсе, когда впервые осознала, что в делении дробей вполне можно разобраться и что эта тема не выходит у нее из головы и увлекает ее. Дипломная работа Монтсе начинается с размышлений:

Три года назад я смотрела видеоролик, в котором семиклассники решали примеры на деление дробей, не прибегая к заученному алгоритму, и обратила внимание, что не совсем понимаю, что они делают. Было удивительно наблюдать, как 12-летние дети действуют точно маленькие математики. За делением дробей стояла настоящая математическая работа, которой я никогда раньше не видела. Я могла ответить на этот вопрос, используя идею «переверни-и-умножь», оставшуюся в памяти, однако я даже не осознавала, что понятия не имею, почему она работает²⁰².

В своей работе Монтсе использовала интересный подход – она привлекла компьютер, чтобы изучить эффективность и концептуальные требования алгоритма «переверни и умножь» и более удачного метода, который начинается с нахождения общих знаменателей. Один из интересных выводов Монтсе заключается в том, что для понимания этого алгоритма ученики должны владеть материалом, который еще не изучается в том классе, когда вводят деление дробей²⁰³! Это важно, поскольку отсюда следует: мы ожидаем, что школьники вызубрят и будут использовать алгоритм, не понимая его, не рассуждая о причинах.

Если вводить алгоритмы, которые ученики не понимают, возникает одна проблема. Учителя начальных классов немало трудятся, помогая школьникам развивать чувство числа и в целом осмысливать встреченные математические идеи, используя важные визуальные и физические представления, но, когда школьников обучают алгоритмам, процесс осмысления, похоже, останавливается. Песек и Киршнер, исследовавшие явление, когда изучение правил приводит к неспособности мыслить по-иному, назвали его «когнитивной интерференцией»²⁰⁴. Когда ученики сначала знакомятся с алгоритмами, а затем учатся концептуально (на уровне идей), используя разнообразные способы окунуться в математику, их успеваемость ниже, чем у тех, кто учится исключительно концептуально. Оказалось, что изучение методов и правил мешает учащимся разрабатывать полезные ментальные модели. В главе 6 я вернусь к этому исследованию и расскажу о нем подробнее.

Школьники испытывают проблемы не только с делением, но и со сложением дробей, о чем свидетельствует один из вопросов Национальной оценки прогресса в образовании (NAEP)[42], предложенный тринадцатилетним американским школьникам. Когда их попросили приблизительно оценить сумму 12/13 + 7/8 (с вариантами ответов: 1, 2, 19 или 21), то чаще всего они давали ответ 19, а затем 21. Эти числа получаются при сложении числителей (19) или знаменателей (21). Всего 24 % учащихся выбрали правильный ответ: 2²⁰⁵. Если бы школьники умели применять ish-подход к такого рода заданиям, они бы увидели, что приблизительная сумма этих дробей равна 2.

Почему меня не удивляет, что учащиеся дают нелепые ответы? Когда школьники изучают дроби, они не думают о них концептуально или ish-способом; обычно они заучивают какой-то набор правил:

• Чтобы сложить дроби, приведите их к общему знаменателю и найдите сумму числителей.

• Чтобы вычесть дроби, приведите их к общему знаменателю и найдите разность числителей.

• Чтобы умножить дроби, перемножьте числители и знаменатели.

• Чтобы разделить дроби, перейдите от деления к умножению, поменяв местами числитель и знаменатель второй дроби (переверните и умножьте).

Все эти правила игнорируют самую важную часть понимания дробей: тот факт, что два числа – числитель и знаменатель – связаны между собой. При размышлении о дробях не важно, какого размера числитель или знаменатель; важно, как они соотносятся друг с другом. Когда мы просим учеников сделать что-то с числителем или со знаменателем, они забывают, что означает дробь. Когда школьники складывают 12/13 и 7/8, получая при этом 19, они не думают об отношениях между числами 12 и 13 или 7 и 8. Это происходит потому, что они не тратили время на рассмотрение дробей как единого целого, на осмысление числителя и знаменателя относительно друг друга; они не разработали ментальные модели дробей и не дали ish-ответы.

Я до сих пор помню вечер со старшей дочерью, которая в то время училась в пятом классе. Она испытывала трудности с дробями, и ее учительница сказала мне, что она просто «не может» понять их. Возможно, отчасти это было связано с отличающимся подходом к учебе, что некоторые учителя воспринимали как недостаток (к счастью, у нее были также и замечательные учителя, которые понимали, что думать по-другому – не значит думать неправильно). В тот вечер мы решили вместе разобраться с дробями, поскольку на следующий день ей предстояло сдавать тест. У меня было не так много времени по сравнению с тем, которое моя дочь потратила на изучение дробей в классе, но мы управилась за один час: я просто донесла мысль, что дочь всегда должна обращать внимание на отношения. Мы вместе визуализировали различные дроби и рассматривали их смысл, взаимосвязь между числителем и знаменателем. Прежде чем выполнять какие-либо операции, мы прикидывали общее значение дроби. Затем мы пробовали складывать, вычитать, умножать и делить, применяя к дробям ish-подход – оценивая, каким будет приблизительный ответ, прежде чем вычислять точный. Я вдохновляла ее увидеть общую картину и применение наглядных моделей, которые так важны для учебы (об этом я рассказывала в предыдущей главе). На следующий день дочка вернулась из школы с улыбкой до ушей и сообщила, что получила самый высокий балл в классе за тест на дроби. Такой ish-подход к дробям, учитывающий отношения и поощряющий учащихся строить ментальные модели, включен в мой бесплатный онлайн-курс для учащихся, который прослушали более миллиона человек²⁰⁶.

И дома, и в школе я привожу доводы в пользу другого подхода к дробям – который основан на осмыслении, на числовых соотношениях, на визуальном и физическом мышлении, которое приводит к мысленным представлениям. Я не заявляю, что от алгоритмов нет пользы; я утверждаю, что не следует рассказывать о них до тех пор, пока школьники не поймут дроби концептуально. Ученики должны уяснить, что такое дробь, и получить время на размышление о значении дробей как концептуального целого.

Деление дробей часто становится самой ненавистной темой учебной программы, на которую чаще всего жалуются и дети, и взрослые (хотя существует и другой претендент на звание Самой Ненавистной Области – алгебра). Но с этой темой можно справиться, если дать ученикам возможность разработать визуальные и физические модели, которые лежат в основе понимания. Например, если вас просят вычислить результат деления 1 на 3/4, вы можете перевернуть и умножить, получив правильный ответ: 1 × 4/3 = 4/3, но при этом вы практически не осознаете, что происходит. Или вы можете изобразить эту дробь, задав другой вопрос: сколько раз 3/4 помещается в 1?

Рис. 5.20. Визуальный подход к делению 1 на 3/4.

Взгляните на рисунок 5.20: мы видим, что 3/4 (темная часть) один раз помещается в целом (единице), и еще остается свободное место. Вы видите, что этого свободного места достаточно для трети нашей темной части. Следовательно, мы получаем ответ – 1 и еще 1/3. Итак, 3/4 помещаются внутри единицы 1⅓ раза. Визуальная модель процесса деления дроби, как и ish-подход, может отнять немного больше времени, чем переворачивание и умножение, однако это дает мысленное представление, которое может стать основой для дальнейшей работы с вычислениями и алгоритмами.

При делении дроби на дробь (то, чем большинство людей никогда после школы не занимались) я предпочитаю сначала сделать так, чтобы у обеих дробей был одинаковый знаменатель. Переход от дробей с разными знаменателями к дробям с одинаковым знаменателем – действие, которое фокусируется на отношениях, что очень ценно для учащихся. Предположим, что нам нужно разделить 3/4 на 2/3. Мы можем привести обе дроби к знаменателю 12:

Умножайте числитель и знаменатель каждой дроби на последовательные числа (при этом дробь остается той же самой), пока у обеих не окажется одинаковый знаменатель – в данном случае 12.

Теперь вместо того, чтобы 3/4 делить на 2/3, нам требуется 9/12 делить на 8/12. Применяя ish-подход к обоим вопросам, вы, вероятно, затруднитесь прикинуть ответ для деления 3/4 на 2/3, однако нетрудно сообразить, сколько раз 8/12 помещается в 9/12: ish-ответ должен оказаться немного больше 1.

Обучая этому детей, я бы изобразила 9/12, деленное на 8/12.

На рисунке 5.21 показано, что 8/12 помещается 1⅛ раза.

Этот визуальный подход к математике может применяться в любом классе, на любом уровне, в любой области и при решении любых задач.

Рис. 5.21. Визуальный подход к делению 9/12 на 8/12.

Алгебра

Впервые мы организовали летний лагерь для школьников после того, как узнали о пластичности мозга и его установках. За предыдущие пять лет появилось множество свидетельств, что понятия «математический мозг» не существует, что наш мозг постоянно развивается, укрепляется, строит связи²⁰⁷. Исследования доказывают, что важно верить в свой потенциал, иметь «установку на рост»²⁰⁸.

В местном школьном округе мы собрали 82 ученика, не особо друживших с математикой. Они по-разному учились, принадлежали к разным культурам и расам. Одни из них перед приходом к нам получили ноль баллов в тесте своего школьного округа; другие набрали очень высокие баллы; третьи показали промежуточные результаты.

Школьники были из разных классов: одни из них готовились к поступлению в седьмой, другие – в восьмой²⁰⁹. Мы решили, что наиболее полезным материалом для них будет алгебра. Мы знали, что при преподавании этого важнейшего предмета до учеников важно донести концепцию переменности и смысл понятия «переменная». Я выбрала одну из своих любимых задач, которая начинается с вопроса, сколько квадратиков находится на внешнем краю квадрата 10 × 10. Я показала детям изображение с рисунка 5.22 – всего на несколько секунд, чтобы они не считали, а группировали числа.

Рис. 5.22. Сколько квадратиков находится на границе квадрата 10 × 10?

Школьники дали много разных ответов, в том числе 36, 37, 38, 40 и 44. Это вызвало оживленное обсуждение. Я сказала, что мне нравится расхождение в ответах, поскольку это означает, что проблема интересная и нам есть о чем подумать и поговорить. После некоторого обсуждения класс пришел к выводу, что общее количество квадратиков на внешнем краю квадрата равно 36. Пока каждый ученик рассказывал, как он представляет число 36, я рисовала это на маркерной доске, и в результате у нас получился набор изображений, показанных на рисунке 5.23.

Рис. 5.23. Сколько квадратиков находится на границе квадрата 10 × 10? Показано визуально и с помощью цифр.

Пару занятий мы посвятили работе с квадратами разных размеров, рассказав школьникам, что для описания закономерности можно использовать переменную, и поэтому наши рассуждения можно применить к квадратам любого размера. Ученики видели край фигуры различными способами, которые можно выразить в виде эквивалентных алгебраических выражений, как показано на рисунке 5.24:

Рис. 5.24. Сколько квадратиков находится на границе квадрата 10 × 10? Показано визуально, с помощью цифр и с помощью алгебраических выражений.

Так школьники познакомились с алгеброй, и это занятие увлекло их – они узнали, что такое переменные и почему они полезны. Мы спросили учеников, каким образом они видят границу фигуры, и я зафиксировала на доске их зрительные представления, указав имена авторов: «метод Джоша», «метод Элизы» и так далее. Позже, когда мы перешли к квадратам другого размера, мы предлагали школьникам выбрать какой-нибудь метод (например, метод Элизы) и исследовать его. В процессе такой работы учащиеся обсуждали различающиеся способы видения и мышления, сотрудничая друг с другом и развивая чужие идеи. Важно, что представления учеников об алгебраическом обобщении были наглядными и красивыми. В итоге у нас набралось шесть различных, но эквивалентных вариантов для одного и того же математического выражения (4n – 4), и для каждого из них имелось наглядное изображение.

Когда ученики прибегают к алгебре для описания закономерностей, они используют переменные как язык для описания мира – и такое важное и полезное применение переменных имеет больше смысла, чем бесконечные примеры вычисления x²¹⁰. Школьники видят закономерности и тем самым развивают ментальные модели для алгебры и обобщения²¹¹.

Один из самых красивых примеров визуального представления алгебры принадлежит женщине, которую я имела удовольствие учить в Стэнфорде в рамках образовательной программы для преподавателей. На занятиях по подготовке учителей я рассказываю о том, что математику можно преподавать как предмет с многоплановым подходом, используя визуальные и другие мысленные представления. Порой в слушателях зажигается искра, и они распространяют эти идеи на многие сферы своей жизни. Так произошло с Диаррой Буоссо, которая выросла в Сенегале, а сегодня использует линейные и квадратные уравнения для создания красивой одежды, которая продается в ведущих магазинах мира (Nordstrom, Shopbop, Stitch Fix и многих других)²¹².

Диарра давала интервью многим журналистам; ее история появилась в журнале Vogue, на CNN и в других СМИ²¹³. В ряде интервью Диарра рассказывает, что она происходит из сенегальского рода ремесленников; она любит математику и поехала в США учиться в колледже, а затем стала аналитиком на Уолл-стрит. По ее словам, в те дни она не чувствовала удовлетворения, потому что любила и искусство, и математику и не могла выбрать между ними. Она не хотела целыми днями заниматься вычислениями, не имея возможности выражать себя в искусстве, и ровно так же не желала погружаться в сферу искусства, отказавшись от математики. Желание заняться чем-то вне рамок банковской работы привело Диарру в мой педагогический класс в Стэнфорде.

За год наших занятий Диарра познакомилась с визуальными, творческими, разнообразными версиями математики и была очарована ими. Однажды она отозвала меня в сторону и сообщила, что загорелась идеей использовать математические формулы для разработки дизайна одежды. Она полагала, что я отвергну эту идею как слишком «ботанскую».

Рис. 5.25. Дизайн одежды Диарры Буоссо, вдохновленный функциями из алгебры.

Рис. 5.26. Пример ученической работы с использованием графического калькулятора Desmos.

Вопреки ее ожиданиям, я ответила, что это звучит потрясающе. Диарра занялась дизайном красивой одежды, прибегая к линейным и квадратичным функциям; примеры приведены на рисунке 5.25.

Диарра говорит, что обучение в нашем классе помогло ей понять, что она может заниматься сразу и искусством, и математикой; это раскрыло ее творческий потенциал и обеспечило прекрасную самореализацию²¹⁴. Она замечательная учительница, которая предлагает своим ученикам в старшей школе трансформировать алгебраические выражения в искусство (рис. 5.26). Чтобы наладить контакт со школьниками, она спрашивает их, как они проводят большую часть своего времени; оказалось, что ее ученики в среднем сидят в социальных сетях двадцать шесть часов в неделю, поэтому она встречается с ними и там. Получив разрешение директора, она завела аккаунт в Instagram[43] и использует функцию Instagram Stories, чтобы предлагать школьникам опросы и задания. 92 % учеников утверждают, что это идет на пользу их учебе. Они ценят возможность голосовать за ответы и любят получать одобрение своих работ. По словам Диарры, «игрофицирование математики с помощью платформы, которая у детей уже ассоциируется с развлечением, сделала предмет более доступным».

Диарра осознала, что ее ученики вовсе не ненавидят математику, как они поначалу утверждали; им просто не нравилось, как ее преподавали ранее. Сейчас Диарра выступает за глобальное чествование африканской культуры и страстно желает объединить миры математики и искусства, чтобы обеспечить студентам разнообразие подходов. Я горжусь тем, что сыграла некоторую роль в ее жизни, ведь ее творческие способности раскрылись благодаря изучению математического разнообразия²¹⁵.

Когда математические задания предлагают ученикам мыслить исключительно численно, пропадают важные возможности – для развития связей внутри мозга, расширения доступа к пониманию, более глубокого вовлечения и мотивации, а также для строительства важных ментальных моделей. Я надеюсь, что в этой главе удалось продемонстрировать, что придать вопросу наглядность не так уж сложно: зачастую достаточно просто спросить слушателей: «Как вы это видите?» Когда учащиеся в ответ на этот вопрос делятся своими идеями, у них формируются важные ментальные модели, и они ощущают сопричастность к математике.

Увлекательная мыслительная задача для учителей или родителей, читающих эту книгу, – подумать, какие мысленные представления нужно развивать ученикам для ключевых математических понятий, входящих в их дисциплину.

Если ничего не приходит на ум, перед вами возникает интересная проблема: создать для учеников возможность визуализировать математику и взаимодействовать с физическими моделями идей.

Одна знакомая учительница старшей школы изменила свой традиционный подход. Раньше она приходила на урок, безупречно читала лекцию и заставляла учеников отвечать на однотипные вопросы. Она рассказала мне, как все изменилось в один прекрасный день: она просто обратилась к классу с вопросом, что школьники думают о ее заданиях. Ее поразило, с какой радостью ученики стали предлагать различные идеи. Вместе они перешли к содержательным беседам, где рассматривали, как работают различные методы, и рисовали изображения на доске. К монотонным лекциям она больше не возвращалась.

Точно так же в своей собственной преподавательской деятельности я демонстрирую уважение к мышлению учащихся и их стремлению к социальной вовлеченности – тем, что спрашиваю их, как они видят и понимают идеи. Я знаю, что мой самый значительный ресурс в классе – это мышление учеников.

Мой любимый метод ведения урока – дать визуальное представление для какой-либо математической темы и задать вопросы: «Что вы заметили? Что вас удивило?» Эти приглашающие слова, впервые предложенные Энни Фетер, можно использовать при обсуждении точек на карточках с числами; при обсуждении данных, когда мы предлагаем ученикам осмыслить данные реального мира и поощрить рост их грамотности в информационной сфере; а также при обсуждении геометрических чертежей²¹⁶. Примеры всех трех видов приведены на рисунке 5.27. (В главе 6 я расскажу о том, что произошло, когда меня пригласили в индейскую школу в Канаде, ученики и учителя которой принадлежат народу оканаган, и мы вместе изучали визуальный образ ловца снов.

Рис. 5.27. Начните день с беседы о точках, с разговора о данных или с обсуждения форм.

Эти совершенно невероятные дискуссии школьников вели к визуальным представлениям алгебраических функций).

Начало занятий или семейных бесед с визуального приглашения обладает огромным преимуществом: учеников поощряют высказывать идеи, в которых нет правильных или неправильных ответов, а пространство класса или семьи открыто для различных точек зрения. Вместо пугающего разбора домашнего задания, учителя могут начать урок с забавных интерактивных вопросов, а учащиеся – с озвучивания идей и их развития, открывая свой разум и укрепляя уверенность в себе для последующих математических приключений!