Грей и Толл подчеркивают важное различие в отношении к математике при изучении чисел и арифметики – к ней можно относиться как к набору методов и правил, а можно воспринимать как множество понятий и идей (рис. 6.1).

Грей и Толл отмечают, что, когда ученики осваивают счет, они изучают какой-то метод, однако в результате должно сформироваться понимание понятия числа. Когда они изучают метод подсчета, это должно привести к концепции суммы, а когда переходят к методу сложения – к концепции произведения. Изучение понятий предполагает глубокий мыслительный процесс, когда задаются, например, вопросы: «Что такое число? Как его можно разделить на части, чтобы получить другие числа? Как его можно представить визуально? Где мы видим числа в мире?» Некоторые учащиеся так и не овладевают концептуальным мышлением, потому что их обучение сводится к правилам и методам.

Рис. 6.1. Математика – концептуальный предмет.

Если вы изучали математику (или что-либо иное) как набор правил, еще не поздно перейти к концептуальному подходу, который может дать вам совершенно иное представление о важных идеях, из которых состоит наш мир. Я встречала многих взрослых, которых не учили гибко подходить к числам, но они были бы не прочь попробовать.

Одна из многих проблем подхода, основанного на правилах, связана с интересным процессом в мозге, который называется сжатием. Когда мы осваиваем новые знания, они занимают большое пространство в нашем мозгу – реальное физическое пространство, пока мозг выясняет, как они соотносятся с уже имеющимися у нас знаниями. Когда маленькие дети впервые сталкиваются со сложением, оно занимает много места в их голове. С годами знания о сложении ужимаются, занимая все меньше и меньше физического пространства. Отвечая во взрослом возрасте на вопрос о сумме, к примеру, 3 + 4, мы можем быстро и легко извлечь эти знания из сжатого маленького пространства. Благодаря такому сжатию в нашем мозгу освобождается место для новых знаний. Грей и Толл в своей фундаментальной работе утверждают, что сжать можно только понятия. Если дети учат лишь правила и методы, сжатия не происходит²¹⁸.

Уильям Терстон, получивший за свою работу одну из высших математических наград – Филдсовскую премию, написал о сжатии так:

Математика удивительно сжимаема: вы можете прилагать усилия в течение длительного времени, предпринимая попытку за попыткой и заходя с разных сторон. Но как только у вас вырабатывается настоящее понимание и появляется возможность увидеть картину как единое целое, зачастую происходит колоссальное ментальное сжатие. Вы можете убрать это знание в архив, но быстро и целиком извлечь из памяти, когда оно вам понадобится, и использовать его в качестве одного из шагов в каком-нибудь другом ментальном процессе. Озарение, которое сопутствует такому сжатию, – одна из настоящих радостей математики²¹⁹.

Терстон считает сжатие источником собственной радости при изучении математики, но, как отмечают Грей и Толл, у людей, представляющих математику набором фактов и правил, этот важный мозговой процесс никогда не происходит. То, что они никогда не изучают математику концептуально, как раз и может являться причиной того, что такие люди редко описывают математику как «настоящую радость».

В 2023 году моя команда в Стэнфорде повторила исследование Грея и Толла, чтобы проверить их результаты – спустя двадцать девять лет и в другой стране. Мы попросили учителей с первого по пятый класс указать трех самых успевающих и трех самых неуспевающих детей в каждом классе. Нас интересовало, различаются ли эти две группы по подходу к решению математических задач, как это обнаружили Грей и Толл. При этом мы работали в сотрудничестве с нейробиологом Брюсом Маккэндлиссом и его командой, добавив вопросы на группитизацию (о которой рассказывается в главе 5) – во время исследования Грея и Толла это понятие еще не было известно. Мы дали 30 школьникам тест на группитизацию, а затем предложили шесть арифметических заданий. Ученики находились с преподавателем один на один в тихом помещении с небольшим столом и стульями. На столе лежал набор счетных фишек, и мы объяснили детям, что они могут в любое время воспользоваться ими. По окончании исследователи применили двойное кодирование для ответов школьников.

Мы сделали два важных вывода, один из которых повторил результат Грея и Толла: успешные ученики опирались на чувство числа при решении арифметических задач; слабо успевающие применяли менее эффективные методы счета. Кроме того, наше исследование показало, что учащиеся, умевшие группитизировать, с большей вероятностью использовали чувство числа и добивались высоких результатов. Это первая установленная связь между группитизацией и чувством числа²²⁰.

Наше исследование (как и работа Грея и Толла) показало, что ученики добивались высоких результатов не потому, что больше знали, а потому, что они иначе обращались с числами. Их подход отличался от подхода плохо успевающих учеников тем, что они действовали концептуально и гибко – для решения примеров разбивали числа на части и составляли их по-другому. Поскольку группитизация – это как раз и есть разбиение чисел на части разными способами (смотрите главу 5), то неудивительно, что дети, научившиеся группитизировать, также развили гибкость в работе с числами.

Концептуальный подход к числам, который применяли отличники и на который способны все мы, часто предполагает отход от детальных методов, таких как сложение, и сосредоточение на какой-то более масштабной идее или концепции. Один из способов помочь всем ученикам развить концептуальный и гибкий подход к числам – предложить им рассматривать числа на уровне идеи и использовать ish-подход к своей работе.