За последние десять лет я получила сотни писем от родителей, которые просили дать советы, как изучать математику их детям. Ответить на все невозможно, хотя я и стараюсь. Мое внимание привлекло одно из последних писем. Отец студентки Стэнфордского университета просил помочь дочери. Джулия поступила в Стэнфорд десять лет назад, но из-за серьезной болезни пропустила много месяцев. Он рассказал мне, что она ненавидит математику, сильно нервничает из-за нее, а курс статистики стал камнем преткновения для получения диплома по английской литературе. Идет самое начало четверти, и Джулия уже считает материал «непостижимым», а с учетом проблем со здоровьем этот курс, по словам отца, грозит довести ее до «грани полного физического краха». Когда я встретилась с Джулией, она сразу впечатлила меня интеллектуальной любознательностью и воодушевлением, с которым говорила об английском языке. В то же время я поразилась ее глубокой печали, когда речь зашла о математике. Она не дружила с предметом еще со средней школы и считала, что никогда не сможет пройти курс статистики.

Я договорилась с одной из своих аспиранток Марджи Хан о занятиях с Джулией. Сначала Марджи рассказывала мне, что Джулия не справляется с университетскими тестами, но они не сдавались, решив бороться. В частности, каждую неделю они анализировали тесты, разбирая те вопросы, в которых Джулия допустила ошибку. Марджи помогала студентке взглянуть на идеи по-другому и найти новые подходы к вопросам – помимо тех, которые показывали на лекциях. Постепенно Джулия начала улучшать результаты. В конце четверти я получила радостное сообщение от Марджи, что ее подопечная только что получила на итоговом экзамене оценку А, – все были в восторге. Девушка окончила Стэнфорд и теперь учится в аспирантуре.

Почему произошла такая резкая перемена? Когда Джулия сосредоточилась на своих ошибках и задумалась о другом подходе к решению задач, стена между ней и математикой разрушилась, и процесс обучения сдвинулся с мертвой точки. Это стало возможным благодаря важному педагогическому подходу ее преподавателя – возвращению к тестам для переосмысления и переделки. В преподавании такое происходит не так часто, хотя ошибки – один из самых важных факторов в любом учебном процессе.

Я читаю в Стэнфорде курс для студентов под названием «Как изучать математику». Каждый год я демонстрирую учащимся один видеоролик с урока математики в японской средней школе и рассказываю им, что этот ролик взят из исследования, изучавшего методику преподавания за рубежом. Объектом наблюдения выбрали Японию, поскольку эта страна демонстрирует очень высокие достижения в математике⁸⁷. Студенты всегда пребывают в восторге от этого видео. Что же там такое?

В японском классе примерно сорок учеников с разной степенью успеваемости. В начале урока учитель предлагает следующую задачу. Школьникам показывают участок земли, разделенный между двумя людьми. Ученики должны превратить эту границу в прямую, не изменив при этом количество земли у обоих владельцев. В этом вопросе нет числовых данных, и он сложен, поскольку участок имеет неправильную форму без прямых углов, которые значительно облегчили бы задачу деления пополам. Обычно мои студенты пробуют решать эту задачу до просмотра видео, но мало кто из них справляется с нею. Учитель в Японии дает своим ученикам время поработать над задачей в группах. Любопытно, что он также предоставляет им выбор: в процессе работы они могут либо обсудить проблему со своими друзьями, либо обратиться за помощью к учителю, либо получить карточки с подсказками.

Пока японский класс решает задачу, учитель передвигается по комнате и предлагает различным группам показать одноклассникам родившиеся идеи. В классе царит оживленная атмосфера: одни ученики стоят, другие сидят, в помещении много движения, разговоров и смеха.

В процессе общения со школьниками преподаватель улыбается и смеется, демонстрируя сложившиеся позитивные отношения. Взаимодействуя с друзьями в группах, почти все ученики улыбаются. И тут происходит событие, которое шокирует и восхищает моих студентов. Учитель просит одну группу школьников рассказать остальным об ошибке, которую они допустили. Ученики озадаченно смотрят на преподавателя и спрашивают: «Вы хотите, чтобы мы рассказали, что сделали неверно?» – «Да, – отвечает он. – Ошибки – вот что важно. Если бы люди их не делали, им незачем было бы ходить в школу». Это сильное заявление: преподаватель дает понять ученикам, что это естественная часть обучения и что он ценит неправильное решение настолько, что просит сообщить о нем всем ученикам, поскольку оно является источником продуктивного обучения для всех.

Урок продолжается: школьники весело и непринужденно делятся ошибками и решениями. Затем учитель расширяет исследование – наклеивает на доску несколько заготовленных фигур, предлагает дополнительные вопросы, просит учеников использовать свои знания о линиях и углах и поощряет их придумывать больше разных подходов.

Этот урок изумляет моих студентов по многим причинам. Первая – его исследовательский характер, особенно с учетом того, что многие студенты уверены, что в таких странах, как Япония и Китай, учеников натаскивают на применение фактов и правил. Вторая – использование преподавателем наглядных моделей, в том числе предварительно заготовленных картонных фигур (эту идею мы подробно рассмотрим в главе 5). Третья – отношение к ошибкам. Исследователи, изучавшие методы преподавания в других странах, также обнаружили кое-что, имеющее отношение к нам в США: в Японии школьники тратят 44 % своего времени на то, чтобы «изобретать, размышлять и биться над основными понятиями», в то время как у американских школьников на это уходит менее 1 % времени⁸⁸.

Стив Олсон – превосходный популяризатор науки – изучал школьников разных стран, участвовавших в международной математической олимпиаде. Он пришел к следующему выводу о роли усилий и математического разнообразия в японской школе:

Учителя хотят, чтобы их ученики испытывали сложности с задачами, потому что считают, что именно так школьники начинают по-настоящему понимать математические концепции. Школы не делят учеников на группы по уровню способностей, потому что различия между учениками рассматриваются как полезный ресурс, который может расширить дискуссию. Не все школьники выносят с урока одно и то же… но каждый усвоит больше, если его заставят побороться с задачей, а не принудительно скормят ему простую, заранее разжеванную процедуру⁸⁹.

В главе 1 я рассказывала о злодее – математическом складе ума. Напротив, бесспорно подтверждено, что все учащиеся находятся на пути роста и их мозг постоянно укрепляется, строит связи и увеличивается⁹⁰. Кроме того, периоды борьбы, ошибок и неудач – это вовсе не признаки того, что человек слаб или плохо разбирается в предмете; наоборот, это признаки невероятной активности мозга.

Когда я общаюсь с учениками, будь то школьники средних и старших классов в математических лагерях или студенты в Стэнфорде, я говорю им: «Я даю вам сложные задания, потому что хочу, чтобы вы боролись. Я хочу, чтобы вы трудились, чтобы у вас была отличная тренировка для мозга». Это раскрепощает учащихся, и они более охотно проявляют настойчивость, зная, что не тратят время впустую, а самосовершенствуются. Я объясняю им, что обучение кажется трудным, потому что их мозг напряженно работает. С этим посылом связана одна важная вещь – постановка задач с «низким полом» и «высоким потолком» – то есть задач, заняться которыми может каждый, но которые при этом помогают подняться высоко. Кроме того, предлагаемые мною задания имеют несколько точек входа, включая визуальные аспекты, хорошо понятные учащимся. Они работают над сложными проблемами, зная, что могут добиться успеха, а это очень важно. В последние годы я слышала, что некоторые преподаватели предлагают ученикам прикладывать усилия и работать самостоятельно, без посторонней помощи, однако предлагаемые ими задачи – это типичные узкие математические вопросы. Учащиеся расстраиваются, не знают, как подступиться к ним, и учеба становится непродуктивной. Время борьбы с проблемами обретает продуктивность, если учащимся предлагают упражнения, которые воплощают математическое разнообразие и «ish-подход». В следующих главах этой книги вы найдете множество примеров заданий подобного рода.

Исследования в области ментальности показывают, что, когда мы верим, что можем чему-то научиться, и стремимся к этому, мы с большей вероятностью получим пользу, чем когда не верим в себя или в важность процесса⁹¹. Отчасти причина низкой успеваемости по математике в стране заключается в том, что многие учителя и ученики воспринимают напряженные усилия как признак слабости. Если бы мы могли изменить отношение учителей и родителей, мы смогли бы поднять результаты в математике на всех уровнях.

Я уже читала один из своих онлайн-курсов, как услышала рассказ Кэрол Дуэк о событии, которое сподвигло ее начать исследование ментальности, породившее одну из самых значимых идей в области образования⁹². Она сообщила мне, что опрашивала маленьких детей, давая им различные задания, и наблюдала, как многие ученики отступают, столкнувшись с трудной проблемой. Однако один мальчик отреагировал совершенно иначе: когда ему предложили сложную задачу, он восторженно воскликнул, что любит трудности, и набросился на работу. Этот мальчик, сам того не подозревая, сыграл важную роль в мировом образовании. Его восклицание заставило Дуэк осознать, что наш подход к препятствиям может изменить то, как мы учимся. Десятилетия исследований, проведенных ею и ее коллегами, подтвердили влияние таких мысленных установок на наши способности к обучению⁹³.

Ученики с установкой на рост, а не на данность верят, что смогут научиться всему, и смотрят на ошибки и сложности как на возможность для учебы. Такой ментальный подход не только поддерживает их в трудные моменты, но и защищает от вредных стереотипов, а также поощряет упорство – и все это ведет к повышению успеваемости⁹⁴. Доказательства мощного влияния сдвига ментальности с фиксированного мышления на мышление роста просто ошеломляют: исследования показали, что это может повысить результаты⁹⁵, улучшить здоровье⁹⁶, помочь учащимся сдерживать агрессию⁹⁷ и уменьшить расовое неравенство⁹⁸.

Дуэк воочию убедилась, что существует значимая разница между большинством школьников, с которыми она работала в тот день, и мальчиком, которого трудная работа не только не пугала, но и приводила в восторг. Перед родителями и педагогами встает проблема – как развивать такое мышление и воодушевление перед лицом трудностей в наших учениках и в них самих. Есть факты, свидетельствующие, что некоторые ученики меняются, когда узнают о развитии мозга и важности упорства. Однако последние исследования показывают, что конкретно в математике для масштабного и длительного эффекта нужно не просто вносить различные идеи, а менять преподавание⁹⁹. Иными словами, то, что нам действительно нужно, – развивать культуры ментальности в классах и на рабочих местах. Подход к преподаванию, который помогает развить культуру ментальности, начинается, возможно, с самого важного условия преподавания и учебы – создания среды, в которой учащихся поощряют прикладывать усилия.

Нейробиологи, с которыми я сотрудничала в течение последних нескольких лет, изучают различные аспекты нашего мозга, используя разные методы, но все, с кем мне довелось поработать, единодушно утверждали: наиболее продуктивное время для нашего мозга – когда мы испытываем трудности и совершаем ошибки. Автор бестселлера «Код таланта» Дэниел Койл[19], изучая тех, кто добился наибольшего успеха в различных областях, пришел к выводу, что все они люди, которые учились, «работая на грани своего понимания» – совершая ошибки, исправляя их, двигаясь дальше и совершая еще больше ошибок¹⁰⁰. Это подтверждает мой собственный опыт: учащиеся, готовые бороться и работать на грани своего понимания, обычно добиваются большего.

Элли – школьница, настроенная работать на пределе своих возможностей, – посетила первый летний лагерь Youcubed. Если бы вы понаблюдали за занятиями, которые вели мы с Кэти Уильямс, то, вероятно, обратили бы внимание на Элли, поскольку она весьма охотно делилась своими мыслями и ответами – обычно неверными. Человек со стороны мог бы причислить Элли к плохо успевающим ученицам нашего класса, и это правда, ведь ей поставили низкие баллы на предварительном тестировании. Однако я действительно ценила тот факт, что Элли сообщала о своих ошибках, поскольку это давало пищу для размышлений другим ученикам. Элли решительно защищала свой ошибочный подход, но в итоге исправлялась и двигалась дальше. Она работала на грани своего понимания¹⁰¹. Когда мы проанализировали достижения школьников, выяснилось, что Элли улучшила свои показатели больше, чем остальные 82 человека, и оказалась одной из лучших учениц в группе¹⁰². Подтвердилось, что девочка действительно услышала наш посыл о борьбе и ментальности, и это изменило ее подход к математике. Через несколько лет, уже в старшей школе, Элли обратилась ко мне за помощью, поскольку решила написать работу на тему ментальности.

Стивен Строгац – специалист по прикладной математике из Корнелла, который занимался «графами тесного мира»¹⁰³. Эта концепция основана на идее, что все мы связаны друг с другом максимум шестью рукопожатиями и живем в маленьком мире[20]. Вместе со своим учеником Дунканом Уоттсом Стивен написал работу, демонстрирующую, что многие системы в мире – от электросетей до нейронных сетей червей и сотрудничества между голливудскими актерами – функционируют не случайным образом, а как кластерные сети с типичными длинами путей в них. На сегодняшний день статья Строгаца и Уоттса входит в сотню самых цитируемых научных работ в мире¹⁰⁴.

Я ценю тексты Стивена о преподавании математики, но мое внимание привлекает другое: его описание собственных трудностей с учебой. В потрясающем интервью, которое Строгац дал экономисту Стиву Левитту в одном из подкастов, ученый рассказывал о своей работе и своем математическом пути¹⁰⁵. В ходе этой беседы Стивен признался, что с трудом учился в средней школе, получая самые низкие оценки по всем предметам, потому что уроки не предлагали подключить интуицию или визуальное восприятие – иными словами, они были одномерными, лишенными разнообразия. Он также рассказал, когда влюбился в ощущение борьбы.

Это произошло в старшей школе, когда учитель дал задачу и заметил, что ранее ее не решил ни один из учеников. Преподаватель добавил, что решения не нашел и он сам, выпускник Массачусетского технологического института[21]. Это привлекло внимание юного Стивена. Он занялся задачей, но решения не появилось ни через час, ни через два. Дни упорной работы складывались в недели, а затем в месяцы. Через шесть месяцев он нашел доказательство. Учитель был так доволен, что показал работу директору школы.

За эти месяцы Стивен пристрастился к пути понимания через борьбу (сам он называл это «боем»). Ему так понравилось это ощущение, что он начал сам придумывать сложные задачи для себя, задавая вопросы об обширном и удивительном предмете, который мы именуем математикой.

Превращение Стивена в одного из ведущих математиков мира опровергает распространенный в системе образования миф, что борьба – это признак слабости и к ней прибегают только мыслители «низкого уровня». Упорство оказалось ключевой частью в математическом развитии будущего ученого. Еще один опасный миф заключается в том, что наиболее успешные люди не прикладывают усилий. Это совершенно неверно: фактически самые успешные люди – те, кому комфортно бороться за свой успех; они, подобно Стиву, учатся искать ощущение сражения, понимая, что это неотъемлемая часть результата.

Это важно помнить всем нам: мы должны приветствовать или даже выискивать возможности для работы, которая подталкивает нас к грани нашего понимания, поскольку именно так можно обнаружить величайшее знание; именно там проявляется творчество и совершаются важные открытия. Зачастую именно тогда, когда мы приближаемся к той границе, где у нас нет уверенности или знаний, мы достигаем самых больших успехов. Мы не добьемся многого в жизни, если будем перестраховываться, действовать осторожно, уступать нашим внутренним негативным голосам и страхам.

В четырех различных исследованиях, участники которых относились к разным возрастным группам и изучали разный материал, специалисты сравнивали подход, используемый в большинстве математических классов, – сначала рассказ о существующих методах решения заданий, а затем их применение на практике – с противоположным подходом¹⁰⁶, когда преподаватели сначала дают учащимся вопросы и задачи и только потом говорят о методах, необходимых для их выполнения. Для обсуждения возможных путей решения учащимся предлагается использовать свою интуицию. Все исследования показывают, что такой подход к преподаванию обеспечивает более высокие результаты, и специалисты заключают, что причина здесь в том, что учащиеся получают больше возможностей бороться – размышлять и делать выводы на основе уже имеющихся знаний¹⁰⁷. Когда студенты обучаются новому после того, как им пришлось приложить усилия, чтобы найти путь к решению, их мозг готов к усвоению нового материала.

В эксперименте, проведенном в Гарвардском университете, сравнивали разные подходы к изучению математического анализа¹⁰⁸. В одном случае студентам читали лекцию, после чего они решали задачи. Во втором – студенты работали над задачами до того, как узнавали о необходимых методах. Исследование было хорошо спланировано, так что обе группы использовали подходы в разное время. В ходе эксперимента выяснилось, что студенты лучше усваивают материал, если сначала борются, работают над проблемами, а потом изучают методику. В то же время оказалось, что, по мнению самих студентов, они больше усвоили, когда предварительно прослушали лекцию. Понятность лекции создавала у них иллюзию обучения, а необходимость прикладывать усилия заставляла чувствовать себя плохо. Ученые пришли к выводу, что одна из причин недооценки учащимися эффективности борьбы заключается в том, что их никогда не учили ее ценности. Несмотря на то, что студенты считали подход с усилиями менее эффективным, они учились лучше, если им сначала давали задачи, над которыми требовалось поразмышлять, и только потом – методы, которые позволяли им продвинуться вперед.

У нас есть множество доказательств того, что лучшие моменты для нашего мозга – когда мы сталкиваемся с проблемами и начинаем бороться¹⁰⁹. Эти данные оказывают огромное влияние на жизнь людей, причем они вступают в противоречие с теми сведениями, которые школы и другие учреждения вкладывают в голову многим из нас.