Швейцарский психолог Андерс Эрикссон, профессор Университета штата Флорида, получил международное признание как исследователь психологической природы опыта и деятельности человека. Он описал важный путь обучения для развития экспертности – путь проб, неудач, пересмотра подхода, новых попыток и так раз за разом¹¹⁰. Неудивительно, что в нашей стране низкие результаты по математике, ведь преподаватели редко прививают учащимся важный подход Эрикссона. Вместо этого в школе и дома основное внимание уделяется правильности, учеников хвалят за решение задач, в которых мало возможностей для прикладывания усилий. Кен Робинсон, всемирно признанный лидер в области образования и творчества, сказал как-то: «Невозможно заниматься творчеством, не совершая ошибок»¹¹¹. Я бы внесла свои коррективы в эту фразу: «Невозможно заниматься какой-либо значимой сложной математикой, не совершая ошибок». Так как же помочь учащимся осознать такую ценную максиму, невероятно полезную для учебы, понимания и жизни? Это не мелочь, ведь многие люди чувствуют себя плохо каждый раз, когда совершают ошибку, а потому стараются избегать трудностей. Вот несколько стратегий, которые мы с другими педагогами считаем наиболее эффективными для изменения мышления учеников и их подхода к учебе и жизни.

Рис. 3.1. Формирование, соединение и упрочнение путей в мозге.

Рассказывайте о нейронауке

Я всегда начинаю свои курсы с рассказа учащимся о том, что наш мозг постоянно создает, соединяет и укрепляет пути[23], как показано на рисунке 3.1. Не существует такого понятия, как «математический склад ума»: наш мозг постоянно меняется¹¹². Я хочу, чтобы мои ученики боролись и совершали ошибки. Моменты такой борьбы – очень важное время для нашего мозга: он формирует, соединяет и упрочняет пути.

Обсудите важность прикладывания усилий, будь то урок, семейный ужин или деловая встреча Интересная и важная тема для разговора – рассказать о ценности борьбы и поинтересоваться у других, что они об этом думают. Спросите, насколько часто они сталкиваются с трудностями и как ощущают себя в тот момент. Если можете, расскажите, как вы сами мучились с математикой, или изложите историю Стива Строгаца. Кэрол Дуэк призывает людей признать, что у всех нас бывают моменты фиксированного мышления (установки на данность), когда мы считаем, что не можем чего-то добиться. Она даже советует дать какое-нибудь имя нашим фиксированным мышлениям. Когда вы говорите о борьбе со своими детьми, учениками или коллегами, попросите их вспомнить те ситуации, когда у них превалировала установка на данность, и обсудите, как можно изменить эту установку на то, что борьба – это позитивный признак того, что они делают что-то значимое.

Мы знаем, что самое важное для развития любых способностей находится на грани нашего понимания¹¹³, и необходимо донести, насколько ценно это место и как мы должны стремиться ходить по грани.

Я также люблю просить учащихся поведать, когда, по их мнению, они находятся на этой грани, чтобы мы могли обсудить это вместе. Спросите ваших учеников: в какой момент это происходит? как ощущается? Придайте важность идее работы на грани, чтобы она поселилась в сознании учащихся и они ею гордились. Предложите им нарисовать себя на грани и сохранить это изображение в своих книгах.

Придумывайте метафоры о ценности борьбы Несколько лет назад ко мне обратилась Алина Шлайер, графический дизайнер из Германии. Она рассказала, что ее восьмилетняя дочь Грета очень нервничала по поводу математики, пока не занялась творческой визуальной частью и не узнала о ценности борьбы и ментальности. У самой Алины с математикой все было в порядке: прекрасные учителя в школе продемонстрировали ей различные способы мышления. Когда дочь в первом классе заявила, что ненавидит математику, потрясенная Алина поняла, что необходимо что-то предпринять. Она нашла сложные, но доступные задачи, которые мы придумывали и публиковали на сайте youcubed.org и в книгах, и предложила их Грете¹¹⁴. Алина сказала, что они понравились дочери и та стала просить семью играть по вечерам в математические игры. Я порадовалась преображению Греты. Мне также было интересно узнать об изменениях у самой Алины. Моя корреспондентка и не имела проблем с математикой, но когда она начала решать задачи вместе со своей дочерью, то получила возможность посмотреть на математические понятия «новыми глазами». Она сообщила мне, что никогда раньше не задумывалась о симметричности расположения положительных и отрицательных чисел или о том, как полезно визуально представлять умножение как нахождение площади. Она также признала, что теперь эффективнее выполняет свою работу и осознаннее подходит к вопросам.

На протяжении многих лет ко мне обращались за консультациями разработчики математических приложений, но создаваемые ими приложения неизменно принимали только один ответ. Нередко я наблюдала, как ученики разочаровывались, когда не вводили ту форму ответа, которую «хотела» программа. В процессе нашего общения с Алиной она показала мне, какие красивые дизайны может создавать ее команда, и мы пришли к общему мнению, что каждое приложение должно ценить различные способы мышления учащихся. Мы решили вместе разработать эффективное приложение и помочь тем самым учащимся почувствовать радость от усилий. Мы назвали его Struggly[24].

В Struggly люди знакомятся с математикой через визуальные задачи и игры. Программа знает все методы решения и предлагает знаки отличия за старания и иное мышление¹¹⁵ (рис. 3.2).

Одна из метафор, которую мы предлагаем пользователям Struggly, – изображение борьбы как облака, которое окутало их разум. Им может казаться, что разум затуманен и что они не могут четко мыслить; важно оставаться в борьбе, чувствовать и ценить ее, продолжать думать. В конце концов искры в мозге пробиваются сквозь тучи, мешающие увидеть решение.

Эти искры в мозге возникают, когда у нас зарождаются идеи. Программа Struggly предлагает ряд идей для преодоления трудностей, например:

• поговорить о задаче,

• изобразить задачу,

• написать о ней,

• сделать перерыв, например, погулять,

• взглянуть на проблему иначе,

• подумать нешаблонно.

Рис 3.2. Знаки отличия программы Struggly.[25]

Джеймс Ноттингем придумал метафору, которая оказалась весьма полезной для многих людей, – «яма борьбы» (или «яма усилий»)¹¹⁶. Некоторые учителя предлагают ученикам создать «яму» вместе; на рисунке 3.3 показана «яма», придуманная учениками Джен Шефер.

Когда ученики опускаются в «яму», они используют такие выражения, как «этот вопрос слишком трудный» и «я не могу это решить», но, когда они выбираются из «ямы», они меняют взгляды, произнося «я сделал», «в школе положено пробовать и ошибаться» и «мне просто нужно найти другой способ». Они также изобразили путь над «ямой», снабдив его надписью: «Опасно, не ходите этой дорогой». Джен Шефер, учительница из Канады, которая прорабатывала метод «ямы» вместе со своими учениками, говорит, что она и могла бы брать их за руку и переводить их через «яму» или перепрыгивать вместе с ними, однако это не будет помощью, поскольку таким образом она лишит школьников возможности бороться. Джен старается делать так, чтобы ее ученики чувствовали себя комфортно в моменты борьбы: для этого она дает доступные задания, которые позволяют этого добиваться.

Рис. 3.3. «Яма борьбы».

Иногда кто-нибудь из учеников Джен обращается к ней: «Мисс Шефер, я действительно в “яме”!» В этом случае она отвечает: «Отлично! Какие инструменты тебе нужны?» Этот ответ мне импонирует по двум причинам. Во-первых, Джен положительно относится к попаданию в «яму»; а во-вторых, она не погружается в задачу и не пытается изменить ее так, чтобы школьникам было легче избежать борьбы, – она спрашивает, что им может помочь для того, чтобы выбраться из «ямы».

Недавно, посещая одну из школ, я узнала об учительнице начальных классов, которая предлагает своим ученикам придумать интерпретирующий танец об «учебной яме», и она говорит, что старается внедрить эту идею во все свои уроки.

Такие различные метафоры – «обучение на грани», «ямы борьбы», «грозовые тучи» – оказались невероятно значимыми как для учащихся разных возрастов, так и для взрослых, которые хотят жить с установкой на рост, ценя моменты усилий и обучаясь в это время.

Предлагайте сложную работу, но с высокой степенью свободы

Когда люди занимаются математикой, им нужна трудная работа, чтобы у них появилась возможность прикладывать усилия. Но для этого подходят не все математические вопросы и задания, здесь требуется определенный набор важных качеств. Без толку задавать людям узкие вопросы, на которые они не могут ответить и которые не предлагают пространство для размышления. Вопросы, которые побуждают прикладывать усилия и при этом ощущать себя комфортно, – вот что нам нужно. Все они обладают «низким полом» и «высоким потолком». Хороший пример с таким свойством открывал эту книгу (рис. 3.4). Каждый может сказать, каким образом добавляются новые квадраты («низкий пол»), однако это задание распространяется и на алгебраические размышления высокого уровня о квадратичных функциях («высокий потолок»).

3.4. Увеличивающиеся фигуры из квадратов.

Я установила, что заданиям, поощряющим усилия и не вносящим дискомфорт, а также демонстрирующим красоту математического разнообразия, присущ ряд особенностей, о которых рассказывается ниже.

Разнообразные задачи, которые приглашают учеников выйти на грань понимания:

Эти задачи оказываются самыми интересными для учащихся, наиболее захватывающими, и я настоятельно рекомендую их вам. Со многими из них мы встретимся далее в этой книге.

Радуйтесь, когда ученики борются и совершают ошибки

Когда я даю ученикам трудное задание и они жалуются на сложность, я отвечаю, что это ощущение возникает потому, что их мозг напряженно работает – формируя и укрепляя пути и создавая новые связи, – а это именно то, к чему они должны стремиться. Я объясняю им, что это важный момент и что нужно ценить ощущение сложности работы. Как и японский учитель, о котором я говорила ранее, я разбираю ошибки на доске, чтобы весь класс мог извлечь из них пользу и увидеть их ценность. Джен Шефер предлагает своим ученикам написать текст и рассказать о своих самых любимых ошибках, самых серьезных усилиях или моментах эврики. Джен прислала мне несколько таких текстов, и меня поразила огромная математическая ценность рассуждений учеников о таких сложных идеях, как вычитание целых чисел, понимание единицы при сложении дробей и перестановка алгебраических выражений.

Лиза ван ден Манкхоф – учительница, с которой я познакомилась во время посещения школы Сенпокчин в Келоуне (Канада), где учатся дети коренных американцев, – рассказала мне, что, когда учителя или ученики допускают ошибки на уроке, они обмениваются жестом «дай пять» с пятью одноклассниками. Такая идея мне нравится, и когда я посетила класс Лизы, я увидела, что здесь создана культура дружеского отношения к ошибкам. Подробнее о своем приятном визите в эту школу я расскажу в главе 6.

Родителям же важно демонстрировать дома позитивное отношение к ошибкам – что порой может оказаться непросто, особенно когда дети разбивают ваше любимое украшение, проливают напиток на документы или в приливе чрезмерной энергичности роняют младшего брата или сестру. Я знаю, как трудно в такие моменты реагировать спокойно; мне самой пришлось поработать над этим в рамках собственного родительского опыта. Но мы знаем, что именно в семье рождаются представления учеников о себе, их установки и важность борьбы. Одно исследование, проведенное специалистами по ментальности, показало, что к трем годам у разных детей формируются разные установки – в зависимости от того, как их хвалят родители¹¹⁷. Поэтому в следующий раз, когда ваш ребенок совершит ошибку, не поленитесь донести до него полезную мысль: ошибки – это часть жизни и важная возможность учиться.

Используйте не фиксированную похвалу, а развивающую

Одно из исследований Кэрол Дуэк убедительно продемонстрировало влияние различных форм похвалы. Ученые провели эксперимент, в котором две группы выполняли сложное задание. Испытуемых из одной группы похвалили за усердную работу, а людям из другой сказали, что они очень умные. Затем обеим группам предложили выбрать между простой и сложной задачей. Девяносто процентов тех, кого похвалили за ум, выбрали легкое задание, в то время как большинство учащихся, которых хвалили за усердие, выбрали самое сложное¹¹⁸. Это исследование демонстрирует, что даже небольшое изменение в способе похвалы может дать немедленный результат. Мы знаем, что, когда мы хвалим других, делая акцент на их ум, они сначала гордятся этим, но когда позже такие люди путаются или ошибаются (как это бывает у всех), то они начинают думать: «Может быть, я не такой уж умный». Хвалить детей – хорошее дело, но отмечайте и полученный результат и проделанный путь. Не используйте ярлыки, а говорите, что вам нравится их творческое мышление или крутой подход к решению проблемы.

Участники вышеуказанного исследования выбрали легкое задание, потому что боялись потерять полученную характеристику «умный». Это обычная реакция на ярлык: она приводит к уязвимости, когда люди стараются защитить свой «умный» образ и отказываются от возможности задавать вопросы и бороться¹¹⁹.

Измените способ оценивания

В главе 7 я изложу некоторые идеи о полезных формах обратной связи. Если мы стремимся, чтобы учащиеся нормально воспринимали трудности, нам не следует наказывать их каждый раз, когда они совершают ошибку. Если мы так поступим, возникнет мощное противоречие, и ученики прекрасно это почувствуют. Безусловно, все мы понимаем, насколько важно, чтобы на итоговом экзамене ученики ошибались как можно меньше, однако оценки, выставляемые в течение какого-либо курса или года обучения, – совсем другое дело; они дают возможность поощрять борьбу и право ошибаться¹²⁰.

Расскажите об известных или важных ошибках

Марк Петри – учитель средней школы в Санта-Ане (Калифорния)¹²¹. Каждую неделю Марк показывает своим ученикам видеоролик с примером какого-нибудь человека, демонстрирующим установку на рост. Мне нравится эта идея, и я думаю, что ее можно распространить и на ошибки, ведь мир полон примеров оплошностей, которые в свое время, возможно, и выглядели несуразными, но в итоге оказались весьма полезными. Один из моих любимых примеров – это история Великой теоремы Ферма.

Великая теорема Ферма названа в честь французского математика Пьера де Ферма, который в XVII веке сделал смелое заявление, что уравнение aⁿ + bⁿ = cⁿ не имеет решений в виде целых чисел, когда n > 2. Последнее число, при котором решение возможно, – 2: 3² + 4² = 5². Он также написал на полях «Арифметики» Диофанта, что у него есть «поистине чудесное» доказательство этого факта, но не привел его. В результате ученые сотни лет пытались доказать это утверждение, и лишь спустя более 350 лет застенчивый английский математик Эндрю Уайлс справился с задачей. Примечательно, что Уайлс впервые столкнулся с Великой теоремой Ферма в возрасте десяти лет. Он так описывает момент знакомства:

Она выглядела такой простой, и все же великие умы в истории математики не смогли доказать ее. Передо мной была проблема, понятная мне, десятилетнему мальчику, и я почувствовал, что с того самого момента я никогда не смогу отступиться от нее. Я должен был решить ее[26]¹²².

Спустя много лет, когда Уайлс защитил диссертацию и стал математиком, он всерьез занялся этой задачей. Годами исследовал и искал закономерности, пытаясь найти доказательство. И однажды – спустя семь лет – он вышел из своего кабинета и объявил жене, что добился успеха.

Свой результат математик обнародовал в Институте Исаака Ньютона в Кембридже. Из-за слухов о возможном доказательстве Великой теоремы Ферма в зале собралось более двухсот математиков и журналистов. Когда Уайлс закончил выступление, зал разразился аплодисментами. Однако через несколько недель выяснилось, что в работу закралась ошибка, так что математик вернулся в свой кабинет и провел там еще около года, прежде чем получил полное доказательство.

Эта история интересна сама по себе, но я люблю подчеркивать один из ее аспектов – тот факт, что ошибочные рассуждения, предлагавшиеся в качестве доказательства Великой теоремы Ферма, в итоге породили новые области математики, включая некоторые разделы алгебры. Как заметил писатель Питер Браун, «из руин этих неудач выросли глубокие теории, которые открыли новые обширные области математики»¹²³.

История Великой теоремы Ферма действительно поражает школьников, которых мы обучаем в наших летних лагерях. Во-первых, они удивляются тому, что кто-то работал над математической проблемой более семи лет[27], формулировку которой они вполне могут понять. Это меняет их представления о времени, которое им «следует» тратить на решение задач. На них также производит впечатление тот факт, что из ошибки выросли новые и важные области математики; вся эта история помогает подчеркнуть ценность ошибок в нашем мышлении и открытиях.

Скомканная бумага

Примерно в 2013 году, когда МОДК (массовые открытые дистанционные курсы) обрели популярность, я начала сотрудничать с экспертом Себастьяном Труном, профессором информатики из Стэнфорда, который ранее руководил разработкой роботизированного автомобиля. Себастьян тогда как раз основал образовательную организацию Udacity, предлагающую онлайн-курсы для всех желающих. Поработав с Udacity, я создала собственные МОДК для учителей математики – в виде онлайн-курса в Стэнфорде¹²⁴. У меня не было уверенности, что такой курс кого-нибудь заинтересует, и меня приятно удивило, что уже в течение первого лета его прослушали тридцать тысяч человек. В своем первом онлайн-курсе я рассказала о ценности ошибок и попросила участников придумать задание, которое помогало бы учащимся видеть их важность. Мне понравился вариант, присланный одной учительницей. Она предложила, чтобы ученики брали лист бумаги, сминали его с яростью и разочарованием, которые испытывают при трудностях, и швыряли бумагу в доску.

Затем учащимся предлагалось развернуть лист бумаги и раскрасить получившиеся линии: они демонстрируют рост мозга и построение связей в нем.

Выберите свою любимую ошибку

Я высоко ценю популярную среди учителей практику – выбрать «любимую ошибку» и рассказать о ней. Подобный метод позволяет не только продемонстрировать позитивное отношение к ошибкам, но и рассмотреть математические принципы, которые лежат в основе идей, изучаемых в классе или дома. Это полезно, поскольку область понимания любой математической задачи всегда выходит за рамки самого задания, и это важно учитывать.

Например, когда школьников просят сложить дроби 2/3 + 1/4, всегда найдутся несколько учеников, которые дадут ответ 3/7. Это ценная ошибка, которая вполне заслуживает обсуждения в классе. Если бы я вела такой урок, я бы начала со слов: «Это интересный пример, поскольку Надж сложил числители дробей, получив 3, и знаменатели, получив 7. О таком методе полезно поразмыслить. Однако другие ученики предложили ответ 11/12. В математике встречаются задачи, у которых есть несколько правильных ответов. Может быть, это одна из них? (Здесь я жду ответа школьников.) Если это не наш случай, то нам предстоит решить, какой ответ правильный и почему»¹²⁵.

Во время подобных дискуссий классом управляет не учитель, который мог бы легко дать правильный ответ, а математика, поскольку школьников просят обосновать свой путь к полученному результату. Мне нравится, когда класс предлагает разные ответы на вопрос: это говорит о том, что мы столкнулись с интересной проблемой, где есть что обсудить. Когда я прошу учеников поделиться своими рассуждениями, я также приглашаю их выйти к доске и отстоять тот ответ, который они считают правильным, добавляя (как я надеюсь) наглядные примеры. Когда мы совместно приходим к выводу, что данный ответ правилен, я всегда отмечаю важность ошибочного ответа для развития нашего понимания.

Аналогичное упражнение, которое мне очень нравится, – предлагать школьникам работу якобы другого школьника (хотя на самом деле ошибочное решение придумываете вы сами) и просить учеников дать отзыв на нее. Всегда полезно потратить время на размышления о том, почему работает или не работает тот или иной подход к решению задач. Когда при изучении математики люди совершают ошибки, в их рассуждениях зачастую обнаруживается определенная логика, и очень важно обнаружить эту логику и уделить ей внимание.

Все это – примеры того, как можно обсуждать ошибки и нестандартные вещи, делая математику гораздо интереснее и разнообразнее.

Используйте видеоролики и статьи

На нашем сайте youcubed.org можно найти ресурсы, помогающие учащимся формировать позитивное отношение к борьбе и ошибкам. Среди них видеоролики¹²⁶ и новостные статьи из журнала Science News¹²⁷.

Ученые и педагоги уже давно осознали ценность борьбы и ошибок. Задолго до того, как неврологи продемонстрировали важность таких моментов для нашего мозга, швейцарский психолог Жан Пиаже (1896–1980) заявлял о ценности нахождения учеников в состоянии неравновесия, что-то вроде «когнитивного дисбаланса», что побуждает нас изменить свои модели обучения и перейти к состоянию равновесия¹²⁸. Лев Выготский (1896–1934), еще один титан психологии и преподавания, уделял особое внимание тому, что он называл «зоной ближайшего развития», – пространству между тем, что учащиеся могут сделать без внешней помощи, и тем, на что они способны с помощью опытного наставника¹²⁹. Оба психолога понимали, что те моменты, когда учащиеся находятся в состоянии неравновесия или нуждаются в помощи взрослых, и являются самыми важными для их обучения. Сегодня мы знаем, что наиболее полезным для деятельности и развития мозга является время, когда учащиеся прикладывают усилия и работают на грани понимания. Несмотря на все эти факты, ученики повсеместно нервничают из-за трудностей и ошибок, что негативно сказывается на их дальнейшей учебе.

Нам – как обществу, а не только в рамках школ – необходимо пересмотреть распространенный в нашей культуре страх перед ошибками и борьбой, поскольку и то и другое имеет огромную важность и ценность для развития знания и креативности мозга.

Возможно, прежде чем помогать учащимся с формированием позитивного настроя, взрослым нужно как следует провести работу над собой. Во-первых, следует отказаться от чрезмерной самокритики, если у нас что-то не получается. Нормальное отношение к неопределенности и усилиям позволяет нам комфортно взаимодействовать с другими людьми; при этом важной частью является демонстрация такой нормальности. В какой бы стадии вы ни находились на пути к принятию себя и своих ошибок, я надеюсь, что эта глава вдохновила вас создать дружелюбную среду для ваших учеников и помогла вам самим сформировать положительное отношение к трудностям и ошибкам. Обучение – это процесс, а не результат, и именно во время борьбы открываются самые динамичные возможности.

Настало время для новых идей по изучению математики, которые, я надеюсь, вы примете с той открытостью и позитивным настроем, которые заложили первые главы книги.