ВСТУПЛЕНИЕ

Если каждое число так интересно, то почему бы [не вписать число сюда]? Доказательство того, что каждое число действительно интересно, см.: David Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (New York: Penguin Books, 1998). Кроме того, полезно познакомиться со статьей Susan D'Agostino, "Every Minute of Your Life Has Been Interesting," Journal of Humanistic Mathematics 7, no. 1 (2017): 117–118.

Где можно узнать больше об аликвотной последовательности? Попробуйте поискать это восьмое чудо света в онлайновой энциклопедии: On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (http://oeis.org). Там можно найти буквально все, включая совершенные числа (A000396), дружественные числа (A259180) и этот курьезный цикл из 28 компанейских чисел (A072890).

А ваш друг Джулиан на самом деле сказал, что чистая математика «не дает праздно слоняться по улицам»? Да. Когда: в 2003 году. Откуда мне известно: я присутствовал при этом. Однако меня не было, когда Джон Литтлвуд саркастически заметил, что от совершенных чисел «не холодно и не жарко», см.: John Littlewood, A Mathematician's Miscellany (London: Methuen & Co Ltd, 1953) (Литтвуд Дж. Математическая смесь. – М.: Наука, 1990).

КИТАЙСКИЕ ПАЛОЧКИ

Где можно узнать больше об этой игре и о том, как выигрывать в ней? Дети со всего мира размещают десятки видео с инструкциями на YouTube, некоторые из которых гарантируют победу при определенных правилах. А в «Википедии» вы найдете серьезный математический анализ и полный перечень вариаций.

Неужели, г-н Орлин, можно написать целую главу книги, опираясь только на YouTube и «Википедию»? Э-э-э… делайте, как я говорю, а не как делаю!

ЧИСЛОВЫЕ ЦЕПОЧКИ

А что, белые действительно дают преимущество в шахматах? Да. На уровне мастеров считается, что белые бьются за победу, а черные – за ничью. Цитаты о шахматах взяты из книги взяты из книги Gary Alan Fine, Players and Pawns: How Chess Builds Community and Culture (Chicago: University of Chicago Press, 2015).

А кто придумал эту безумную последовательность Морса – Туэ? Ну, ее назвали так в честь Марстона Морса и Акселя Туэ, но открыл ее Эжен Пруэ. Я впервые узнал о ней из выступления Фила Харви на конференции MathsJam, которая проходила 7–8 ноября 2015 года в Великобритании.

Можете ли вы дать ссылки на забавные применения последовательности Морса – Туэ, придуманные математиками? Пожалуйста, вот некоторые примеры: Marc Abrahams, "How to Pour the Perfect Cup of Coffee," Guardian, July 12, 2010; Joshua Cooper and Aaron Dutle, "Greedy Galois Games," https://people.math.sc.edu/cooper/ThueMorseDueling.pdf; Ignacio Palacios-Huerta, "Tournaments, Fairness, and the Prouhet-Thue-Morse Sequence," Economic Inquiry 50, no. 3 (2012): 848–849; и мой любимый вариант: Lionel Levin and Katherine E. Stange, "How to Make the Most of a Shared Meal: Plan the Last Bite First," American Mathematical Monthly 119, no. 7 (2012): 550–565.

ОТ 33 ДО 99

Где можно посмотреть японскую рекламу? Просто введите поисковый запрос Nexus 7: 10 Puzzle в YouTube. Я узнал об этом из статьи Gary Antonick, "Can You Crack the 24 Puzzle, and the 10 Puzzle That Went Viral in Japan?" New York Times, September 7, 2015.

А это случаем не карточная игра 24? Вы меня раскусили. И все-таки занятно менять целевое число каждый раунд. Историю игры 24 см. John McLeod, "Twenty-Four," https://www.pagat.com/adders/24.html. Есть также ее онлайновая версия на сайте http://4nums.com.

Это также похоже на головоломку «Четыре четверки». Да, действительно. Пэт Боллу рассказывает об этом в своем блоге "Before There Were Four-Fours, There Were Four Threes, and Several Others," Pat'sBlog, December 30, 2018, https://pballew.blogspot.com/2018/12/before-there-were-four-fours-there-were.html. А если вам нужны спойлеры, то Пол Борк предлагает их на своем сайте http://paulbourke.net/fun/4444.

Сколько комбинаций можно получить с помощью пяти игральных костей? Все зависит от того, что вы имеете в виду. Вы учитываете дроби? Отрицательные числа? А что скажете об одном числе, полученном разными способами? Как бы то ни было, привожу результаты для некоторых наборов цифр.

Я не британец. Что такое «Обратный отсчет»? На YouTube есть куча видео с игрой «Обратный отсчет» и участием Рейчел Райли. Если хотите посмотреть, зайдите на https://youtu.be/9eMs_o08Gm4?t=295.

Я учитель. Расскажите мне подробнее о «Клеточках с числами». Да пожалуйста. Неучителя, брысь отсюда! Этот абзац не для вас. Он для нас, работников сферы образования: эта версия принадлежит Мэрилин Бернс см. "4 Win-Win Math Games," Do the Math, March/April 2009. На сайте, посвященном математическому образованию, nRich, тоже много полезного (https://nrich.maths.org/6606), как и в статье Дженны Лайб "One of My Favorite Games: Number Boxes," Embrace the Challenge, May 29, 2019 (https://jennalaib.wordpress.com/2019/05/29/one-of-my-favorite-games-number-boxes). Также я настоятельно рекомендую заглянуть на сайт Open Middle (http://openmiddle.com), созданный Нанетт Джонсон и Робертом Каплински.

МЕЛОЧЁВКА

Откуда пошла эта игра? От неподражаемого Джеймса Эрнеста из Cheapass Games (http://cheapass.com). Это книга для семейного чтения, поэтому я всячески старался избегать слова «задница», но с Джеймсом удержаться совершенно невозможно. А также от такой задницы, как я.

А что, письменность действительно родилась из учета овец? По мнению некоторых, да. Если хотите углубиться в проблемы антропологии, почитайте Denise Schmandt-Besserat, "Tokens: Their Significance for the Origins of Counting and Writing" (https://sites.utexas.edu/dsb/tokens/tokens/). А потом посмотрите Denise Schmandt-Besserat, "Two Precursors of Writing: Plain and Complex Tokens," в книге The Origins of Writing, edited by Wayne M. Senner (Lincoln: University of Nebraska Press, 1991), 27–41.

Какие четыре номинала позволяют составить все суммы от 1¢ до 99¢ при наименьшем количестве монет? Номиналы, которые вы ищите – это 1¢, 5¢, 18¢ и 25¢. Они позволяют составить все суммы от 1¢ до 99¢, а число монет при этом равно 389.

Мне кажется удивительным то, что в эту оптимальную систему входят три монеты, находящиеся в реальном обращении. Под «удивительным» я имею в виду «банальное». Лично мне нравятся номиналы 1¢, 3¢, 13¢ и 31¢. Всего нужно 400 монет с такими номиналами, чтобы составить все суммы, но зато мы привносим анархию в виде монет с номиналами 13¢ и 31¢.

Примечание: мы обычно составляем суммы, начиная с монет с наибольшим номиналом. Например, чтобы составить сумму 72¢, мы используем максимальное число квотеров (2), затем максимальное число даймов (2), затем максимальное число никелей (0) и, наконец, одноцентовые монеты (2). Такой подход называют «жадным алгоритмом», и наша система номиналов цент-никель-дайм-квотер минимизирует число необходимых монет.

Но это правило не действует в системе 1–5–18–25¢. Например, жадный алгоритм требует для составления 72¢ семь монет (два квотера, одну монету 18¢ и четыре одноцентовика), когда есть возможность обойтись всего четырьмя монетами (по 18¢). Поэтому эффективно составить какую-нибудь сумму в этом мире значительно сложнее!

Если вы настаиваете на использовании только жадного алгоритма, то наилучшей будет система 1¢, 3¢, 11¢ и 37¢ (при это требуется 410 монет).

Может ли какая-либо вариация правил привести к бесконечной игре? Нет. Давайте для начала рассмотрим «идеальный размен». Каждый цент дает один ход, каждый пятицентовик – до шести ходов (один ход для размена его на центы, а затем пять одноцентовых ходов). Каждый десятицентовик дает до 13 ходов (один для его размена на пятицентовики, затем шесть на каждый пятицентовик). Ну а каждый четвертак дает до 33 ходов (один для его размена на два десятицентовика и пятицентовик, затем 13 на каждый десятицентовик и шесть на пятицентовик). Таким образом, исходная сумма дает максимум 33 + (13 + 13) + (6 + 6 + 6 + 6) + (1 + 1 + 1 + 1 + 1) = 88 ходов.

Ну а если будет «более чем идеальный размен»? Скажем, у нас пять игроков. Цент по-прежнему дает один ход. Пятицентовик в лучшем случае может быть обменян на все 20 центов, которые есть в игре, а это даст максимум 21 ход. Десятицентовик в лучшем случае может быть обменян на все 15 пятицентовиков (каждый из которых дает 21 ход) и все 20 центов (каждый из которых дает один ход), в сумме это 336 ходов. Ну а четвертак в лучшем случае может быть обменян на все 10 десятицентовиков (каждый из которых дает 336 ходов), плюс все пятицентовики и центы (которые эквивалентны 11-му десятицентовику), в сумме это 3696 ходов. Таким образом, в игре не может быть больше, чем 4435 ходов.

ПРОРОЧЕСТВА

Полегче там! От этих автореферентных штучек можно свихнуться. Это только начало; есть много чего способного свести с ума. Попробуйте посмотреть книги Дугласа Хофштадтера Gödel Escher Bach: An Eternal Golden Braid (New York: Basic Books, 1979) (Хофштадтер Д. Гёдель, Эшер, Бах: Эта бесконечная гирлянда. – М.: Бахрах-М, 2001) и Metamagical Themas: Questing for the Essence of Mind and Pattern (New York: Basic Books, 1985). О Бертране Расселле, Курте Гёделе и истории логики в XX веке я советую почитать Apostolos Doxiadis and Christos Papadimitriou, Logicomix: An Epic Search for Truth (New York: Bloomsbury USA, 1999).

Я не хочу что-то там читать. Меня интересуют задачи! Увлекательные (и непростые) головоломки, ведущие от элементарной логики к теоремам Гёделя, я рекомендую поискать в Raymond Smullyan, To Mock a Mockingbird (New York: Oxford University Press, 1982) (Смаллиан Р. Передразнить пересмешника и другие логические загадки, включая увлекательное путешествие в комбинаторную логику. – М.: Лори, 2022).

Как вы придумали такую автореферентную таблицу? Это классическая головоломка, хотя я не видел, чтобы ее представляли в табличной форме раньше. См.: Alex Bogomolny, "Place Value," Cut the Knot! July 1999 (https://www.cut-the-knot.org/ctk/SelfDescriptive.shtml).

Существуют ли другие автореферентные таблицы? Конечно, вот они, включая ту, что приведена в главе.

Если вы хотите, чтобы в таблице были числа от 1 до n, то знайте, что это исчерпывающий список[107].

ДРУГИЕ ЧИСЛОВЫЕ ИГРЫ

Вы говорите, что на создание игры «Затор» вас вдохновила задача Стэнфордского образовательного центра YouCubed? Меня зовут Джо Боулер, и я основатель YouCubed. Какую задачу вы имеете в виду? Привет, Джо, рад, что вы написали мне! Это "How Close to 100?" https://www.youcubed.org/tasks/how-close-to-100.

Как выиграть в «Сборщике налогов»? Хотя знания эвристики достаточно для нанесения поражения сборщику налогов, оптимальная стратегия неизвестна. Идеи можно почерпнуть в статье Robert K. Moniot, "The Taxman Game," Math Horizons, February 2007, 18–20.

Где я мог видеть «Звездный пасьянс» раньше? Возможно, в вечно актуальном видео Ви Харт на YouTube под названием Doodling in Math Class: Stars или в книге Anna Weltman, This Is Not a Math Book (La Jolla, CA: Kane Miller, 2017).