Когда я играю в «Астероиды», я действительно летаю внутри гигантского бублика? Нет. Вы скользите по его поверхности. Подробнее – в эпизоде Klein Bottle with Matthew Scroggs подкаста Mathematical Objects, который ведут Кэти Стеклс и Питер Роулетт.
Где Ингрид Добешис так высказалась о геометрии кукольной одежды? Я позаимствовал цитату из превосходной подборки Дениз Гаскинс "Math and Education Quotations" (https://denisegaskins.com/best-of-the-blog/quotations). Ее источник – J. J. O'Connor and E. F. Robertson, "Ingrid Daubechies," MacTutor History of Mathematics (University of St Andrew, Scotland, September 2013), https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Daubechies.
Кто такой этот Мориц Эшер? Любимый художник всех математиков. Цитата из книги Escher on Escher: Exploring the Infinite (New York: Harry N. Abrams, 1989).
Кто такой этот Анри Пуанкаре, которой назвал геометрию не «истинной», а просто «удобной»? Очередной рассерженный студент? Иногда говорят, что Пуанкаре – последний математик, который овладел всей математической премудростью своей эпохи, поэтому вполне можете назвать его «рассерженным студентом». Я цитирую его книгу Science and Hypothesis (New York: Dover Publications, 1952) (Пуанкере А. Наука и гипотеза – М.: Ленанд, 2021).
А что, этот математик Джон Уршел – бывший игрок Национальной футбольной лиги? Ага. В команде его называли Урш. Цитата взята из его мемуаров, написанных в соавторстве с Луизой Томас: Mind and Matter: A Life in Math and Football (New York: Penguin Press, 2019).
В чем прикол этой игры? О ней говорится в книге Edouard Lucas, L'Arithmetique Amusante: Introduction Aux Recreations Mathematiques (Paris: Gauthier-Villars et Fils Imprimeurs-Libraires, 1895). Есть на Google Books.
Нет, я о том, как в ней победить? Если вы настроены всерьез, ознакомьтесь с исчерпывающим трудом Elwyn Berlekamp, The Dots and Boxes Game: Sophisticated Child's Play (Oxfordshire: Routledge, 2000). Специалист по компьютерной графике Эрик Хейнс рассказал мне в электронном письме, что однажды встретился с Берлекампом на конференции, где тот «играл в "Точки-клеточки" со всеми желающими и задирал их как мальчишек». Кроме того, выигрышная стратегия подробно обсуждается в книге Winning Ways for Your Mathematical Plays. Есть хороший сайт математика Илана Варди "Mathter of the Game" (http://www.chronomaitre.org/dots.html). И еще: Julian West, "Championship-Level Play of Dots-and-Boxes," Games of No Chance, MSRI Publications 29, 1996.
Почему у этой игры так много названий? Эскимосам требовалось много слов, обозначающих снег, а нам, детям постиндустриальной эпохи, требуется много слов, обозначающих виды нашего буржуазного досуга. Я благодарен всем, кто поделился со мною в Twitter международными названиями этой игры: в частности, @misterwootube, @01afDoschke, @mathforge, @ConorJTobin, @marioalberto, @LudwigBald, @LauraKinnel, @relinde.
Вы сами придумали названия для форм квадратных полипов? Или Уолтер Джорис? На самом деле это Джо Кисенветер и его приятели.
Почему слова «любопытный топологический колорит» заключены в кавычки? Мир узнал об игре «Ростки», когда Мартин Гарднер процитировал письмо студента-математика Дэвида Хартшорна: «Мой друг, изучающий античную литературу в Кембридже, недавно познакомил меня с игрой под названием "Ростки", вошедшей там в моду в прошлом семестре. Ей присущ любопытный топологический колорит». Gardner, Mathematical Carnival.
Топология – это круто! Не так ли? Охотно рекомендую книгу David Richeson, Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology (Princeton, NJ: Princeton University Press, 2012).
Похоже, этот Джон Конвей – любопытный фрукт. Согласен. Вот восхитительная биография: Siobhan Roberts, Genius at Play: The Curious Mind of John Horton Conway (New York: Bloomsbury USA, 2015).
Так как же выиграть в «Ростки»? Лучшая стратегия предложена в книге Winning Ways for Your Mathematical Plays. Однако компьютеры сейчас обогнали людей: Julien Lemoine and Simon Viennot, "Computer Analysis of Sprouts with Nimbers," Games of No Chance 4, MSRI Publications 63, 2015.
А что, если я не хочу читать занудную академическую литературу? Сам я почерпнул немало из видео на YouTube от Кевина Либера на канале Vsauce2. Введите в строку поиска The Dot Game That Breaks Your Brain.
А если игра будет продолжаться вечно? Это невозможно. Если начать с n точек, игра не может длиться более 3n – 1 ходов. Вот краткое доказательство. Прежде всего, обратите внимание, что у каждой точки есть три «жизни». Следовательно, в игре с n точками всего 3n жизней. Каждый ход отнимает две жизни и прибавляет одну новую, уменьшая совокупное количество жизней на единицу. Поскольку игра не может продолжаться, когда осталась всего одна жизнь, она неминуемо закончится на (3n – 1)-м ходу или раньше.
Где можно узнать больше о фракталах? Почитайте книгу, написанную специалистом по фрактальной геометрии и поэтом: Michael Frame and Amelia Urry, Fractal Worlds: Grown, Built, and Imagined (New Haven, CT: Yale University Press, 2016).
А если я хочу посмотреть на красивые природные ландшафты? Попробуйте книгу Nature's Chaos (New York: Little, Brown, 2001) с эмоциональным описанием, составленным Джеймсом Гликом, и фотографиями природных фракталов, сделанными Элиотом Портером. Можете также посмотреть сайт Пола Бурка Google Earth Fractals.
Отметив, что Трамп играет в «Супер-крестики-нолики», вы имели в виду, что это хорошо или что это плохо? Я, как человек, уверенный в том, что политические взгляды лучше всего выражать в примечаниях к книгам с карикатурами, решил поделиться здесь своим видением ситуации. Но эта аналогия не моя, она взята из статьи Оливера Редера, "Trump Isn't Playing 3D Chess – He's Playing Ultimate Tic-Tac-Toe," FiveThirtyEight, May 7, 2018.
Платон на самом деле говорил, что весь мир состоит из прямоугольных треугольников? Да, в своем трактате «Тимей». Он утверждал, что все вокруг состоит из огня, земли, воды и воздуха; что это «тела»; что «тела обладают плотностью, все плотное ограничивается плоскостями; а каждая плоская прямолинейная фигура состоит из треугольников; которые бывают двух типов…»
Откуда вы взяли цитату Роберта Фроста? В сети я ее не нашел. Я ее придумал. Она ведь выглядит намного лучше, если приписать ее Фросту, вам не кажется?
Что? Это ведь фальсификация интеллектуальной собственности! Ну, это все же лучше, чем выдавать фразу «И я выбираю тропу нехоженую» из его «Выбора пути» за житейскую мудрость.
Какими источниками вы пользовались в этой главе? Никакими. Эта игра вышла из моей головы как Афина из головы Зевса, совершенно зрелой и готовой к сражению. Не уступлю славу создателя никому.
Действительно ли квантовая механика подходит в качестве метафоры к этой игре? Да, довольно хорошо. Создатель игры фактически представляет ее как инструмент обучения. См.: Allan Goff, "Quantum Tic-Tac-Toe: A Teaching Metaphor for Superposition in Quantum Mechanics," American Journal of Physics 74, no. 11 (2006), а также Allan Goff, Dale Lehmann, and Joel Siegel, "Quantum Tic-Tac-Toe, Spooky-Coins and Magic-Envelopes, as Metaphors for Relativistic Quantum Physics," https://doi.org/10.2514/6.2002–3763.
Хотелось бы спросить, где можно побольше узнать о квантовой физике? На моей полке стоят две книги: Chad Orzel, How to Teach Quantum Physics to Your Dog (New York: Scribner, 2010), и Philip Ball, Beyond Weird: Why Everything You Thought You Knew about Quantum Physics Is Different (Chicago: University of Chicago Press, 2020).
Станет ли игра более «квантовой», если ее правила будут меняться? Забавно, что вы спрашиваете это. Гофф пишет, что правила игры кажутся практически предопределенными, но в действительности идея их изменения приходила в голову не только вам. Например, в приложении Quantum TiqTaqToe (https://quantumfrontiers.com/2019/07/15/tiqtaqtoe) квантовые свойства постепенно расширяются. Я рекомендую попробовать его. Более научный подход к игре см.: J. N. Leaw and S. A. Cheong, "Strategic Insights from Playing the Quantum Tic-Tac-Toe," https://arxiv.org/pdf/1007.3601.pdf.