Замечательным свидетельством силы математики является то, что ее можно использовать, чтобы показать пределы возможностей компьютерного моделирования (тема третьего шага и нашей следующей главы). Это открытие произошло после вопроса, поставленного в Париже в 1900 г. Давидом Гильбертом (1862–1943), профессором математики из Геттингена, Германия, небольшого университетского городка, воспитавшего потрясающие математические таланты, такие как Карл Фридрих Гаусс (1777–1855), Бернхард Риман (1826–1866), Эмми Нетер (1882–1935) и, конечно же, самого Гильберта, который сформулировал 23 задачи, чтобы вдохновить своих коллег.

Гильберт пришел к поиску ограниченного набора аксиом и правил рассуждения, из которых он мог бы вывести всю математическую истину. Пошаговые процедуры выполнения операций путем слепого применения определенных правил называются алгоритмами, названными в честь латинизированной версии имени Мухаммада ибн Мусы аль-Хорезми, персидского астронома и математика IX в. (и латинского перевода названия его самой известной книги – Algoritmi de numero Indorum («Аль-Хорезми об индуистском искусстве расчета»)).

По словам Гильберта, такого рода поэтапные процедуры должны быть в состоянии доказать истинность вещей и быть «полными», поскольку ни одна истина не выходит за рамки их возможностей. Они также должны быть механическими, то есть настолько четкими, чтобы человеческая субъективность не играла роли. Таким образом, миссия Гильберта легла в основу теории вычислимости – изучения мощности и ограничений алгоритмов.

Вдохновленные Гильбертом, исследователи сделали ряд тревожных открытий об основах математики. В начале 1930-х гг. 25-летний австрийско-чехословацко-американский логик Курт Гёдель (1906–1978) установил, что некоторые математические утверждения неразрешимы, то есть их истинность или ложность нельзя доказать. В каком-то смысле он установил, чего не могут сделать компьютеры[95]. Он продемонстрировал неизбежность обнаружения логических парадоксов, подобных утверждению «Это предложение ложно». Как заметил английский космолог Джон Барроу (1952–2020): «Если бы мы определили религию как систему мышления, которая содержит недоказуемые утверждения, то есть элемент веры, тогда Гёдель научил нас, что математика не просто религия, но единственная религия, способная себя доказать»[96].

Ключевым аспектом программы Гильберта была его так называемая Entscheidungsproblem (проблема принятия решения), полностью сформулированная в 1928 г. Гильберт хотел выяснить, существует ли определенный метод – механический процесс или алгоритм, – который можно применить к любому утверждению и который гарантированно даст правильный ответ на вопрос о том, верно ли это утверждение.

В 1936 г. обескураживающий ответ пришел от 24-летнего английского математика Алана Тьюринга (1912–1954). Его статья On Computable Numbers – одна из самых известных в истории исчисления. В ней описано абстрактное устройство, подобное старомодной пишущей машинке, способное решить проблему Гильберта и эквивалентное любой машине, разработанной для вычисления определенного алгоритма[97]. Это привело к концепции универсальной машины Тьюринга, которая может выполнять любой алгоритм, точно так же, как современный компьютер может выполнять любую программу. Таким образом, Тьюринг придал исчислению математическое значение.

Решение Entscheidungsproblem предполагает разработку компьютерной программы, которая может проверять вторую программу и решать, завершится последняя или будет «зацикливаться». Тьюринг показал, что общая проблема невычислима и выходит за рамки любой компьютерной программы, какой бы сложной она ни была (мы обсуждаем почему в нашей книге 1995 г. Frontiers of Complexity). Работая независимо в Принстоне в 1936–1937 гг., американский логик Алонзо Чёрч[98] пришел к тем же выводам, что и американец польского происхождения Эмиль Пост в Городском колледже Нью-Йорка[99]. Результат очевиден: математику нельзя описать какой-либо конечной системой аксиом.

Когда Гильберт умер в 1943 г., на его надгробии в Геттингене была высечена цитата «Wir müssen Wissen, Wir werden Wissen» («Должны знать, и будем знать») – слова, которые Гильберт произнес в 1930 г. на ежегодном собрании Общества немецких естествоиспытателей и врачей в ответ на латинскую максиму «Ignoramus et ignorabimus» («Не знаем, и не узнаем»). Однако тезис Чёрча – Тьюринга больше соответствует духу последнего: существуют аспекты нашего мира, которые скрыты от компьютерного моделирования, поскольку они неисчислимы или неалгоритмичны.