Довериться интуиции и затем доказать, что она нас не подвела, – это довольно распространенный способ решения нетривиальных задач, в том числе в теории экономических механизмов. Но можно ли было решить задачу математически строго?

Попробуем найти симметричное равновесие, то есть такую функцию превращения ценности в заявку b = f(v), которая является оптимальным ответом на себя саму. Поиск будет происходить в классе монотонно возрастающих дифференцируемых функций, которые стартуют из нуля. Это содержательно означает, что участник аукциона, который совершенно не ценит данный объект, не станет делать на него положительную заявку, а чем больше будет ценность, тем выше ставка, которую он готов поставить.

Для нахождения максимума сначала нужно понять, чему равняется вероятность победы на аукционе. Поскольку предполагается симметричность стратегий в равновесии, конкурент использует такую же функцию f (v) выбора ставки в зависимости от ценности, как и мы. Мы побеждаем конкурента в случае, если его оптимальная ставка b₂ = f (v₂) не превышает нашу, равную b. С учетом монотонности функции f (v) это будут участники с оценкой ниже, чем v = f ^–1 (b). Доля таких конкурентов для равномерного распределения ценности на отрезке [0; 1] в точности совпадает со значением f ^–1 (b). Например, вероятность того, что оценка конкурента окажется не выше 0,4, составляет 40 %. Таким образом, функция выигрыша примет вид V = (v – b) f ^–1 (b).

Для каждого значения v необходимо максимизировать данную функцию по ставке b _∈ [0; 1]. В результате решения этой параметрической задачи и будет сконструирована функция f (v) нашего наилучшего ответа при ценности v. Чтобы отыскать точку максимума функции выигрыша, то есть решить задачу:

V = (v – b) f ^–1(b) → max,

необходимо вычислить ее производную. Учитывая, что производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции в соответствующей точке, мы имеем:

– f ^–1(b) + (v – b) / f '(f ^–1(b)) = 0,

откуда путем несложных преобразований выразим:

v – b = f ^–1(b) f ' (f ^–1(b)).

А теперь самый главный момент. Если f (v) – равновесная стратегия поведения, то для произвольной ценности v решением этого уравнения должно служить в точности значение ставки b = f (v), которое мы и подставим в уравнение. Получим следующее:

v – f (v) = f ^–1 (f (v)) f ' (f ^–1(f (v)).

Поскольку обратная функция применяется вслед за прямой, то многое сократится:

v = f (v) + v f ' (v).

Заметим, что слева и справа здесь угадываются полные дифференциалы:

Это означает, что f (v) v = v ² / 2 + C, а поскольку в соответствии с наложенным ранее условием f (0) = 0, константа C также равняется нулю. Значит, ответ будет иметь вид f (v) = v / 2.

Итак, оптимальная стратегия поведения в аукционе первой цены с двумя участниками в случае равномерно распределенных на отрезке [0; 1] ценностей – называть половину собственной оценки.