Вернемся к аукциону первой цены и попробуем ответить на вопрос, какую конкретную сумму должен указывать рационально действующий участник в зависимости от собственной оценки объекта. В отличие от аукциона второй цены, где доминирующей стратегией является честное поведение, здесь не все так очевидно, и ставка будет заведомо ниже оценки.

Вопрос насколько.

Начнем рассмотрение аукциона первой цены с простого случая двух одинаковых покупателей с равномерными на отрезке [0; 1] функциями распределения ценности. Пусть, например, в аукционе произведений современного искусства участвуют два покупателя, которым лот может как очень понравиться (и они будут готовы заплатить за него до одного миллиона рублей), так и не понравиться совсем (из чего следует полная неготовность платить).

Если участник с субъективной ценностью лота v запишет в конверт ставку b, его ожидаемый выигрыш составит V = (v – b) P (b), где P (b) – вероятность победы на аукционе. Заметим, что при низких ставках b в случае победы можно выиграть очень много, но вероятность победы будет крайне невелика. Напротив, если ставка b приближается к ценности v, вероятность выигрыша возрастает, однако сам выигрыш снижается. Для двух крайностей b = 0 и b = v ожидаемый выигрыш окажется нулевым. Нам же нужно найти то промежуточное значение, при котором он максимален.

Возникает догадка, что правильная стратегия – указать половину собственной оценки b = v / 2. Скажем, если ценность лота для нас составляет 600 тысяч рублей (далее будем рассматривать именно этот пример), мы должны указать в качестве ставки 300. Пока это не более чем предположение, подсказанное нашей интуицией, однако можно строго доказать, что это так, и данная стратегия является равновесной, то есть если один участник аукциона использует ее, то второму выгодно делать то же самое.

Пусть конкурент использует указанную стратегию. Тогда его ставки равномерно распределены на отрезке [0; 0,5] (именно на этом отрезке распределена половина ценности), а вероятность нашей победы равна P(b) = 2b. Например, если мы укажем сумму 0,3, то вероятность победы составит 60 %, а ожидаемый выигрыш будет равен (0,6 – 0,3) ×0,6 = 0,18, то есть в среднем мы сможем заработать 180 тысяч. Если же, например, указать сумму 0,5, то можно победить гарантированно, однако ожидаемый выигрыш окажется меньше и составит всего (0,6 – 0,5) ×1 = 0,1, то есть 100 тысяч рублей.

Максимизируем по величине ставки b выписанный выше ожидаемый выигрыш, приравняв производную к нулю:

V = (v – b) P(b) = (v – b) 2b = 2vb – 2b ² → max,

2v – 4b = 0, b = v / 2.

Таким образом мы доказали, что наилучшим ответом на стратегию «называть половину ценности» является она же, то есть данная стратегия равновесна. Так что участник, истинная ценность картины для которого составляет 600 тысяч рублей, действительно должен подать заявку на 300.