А.С.: Вы сошьете два футбольных мяча. Один не сошьется. Где-то будут торчащие, несшиваемые части.

Давайте теперь посмотрим на обычную бесконечную во все сто­роны плоскость. С одной стороны, это более простой объект, чем сфера, но, с другой стороны, она бесконечна во все стороны. Бес­конечность — это такой краеугольный камень математики. И как с ней можно быть «на ты» — это очень важная тема. Кажется,

плоскость, она и есть плоскость, посмотрел вокруг — везде плос­кость. Но ведь она бесконечная... А как, кстати, можно понять, что земля не плоская?

В принципе, как я понимаю, то что древние люди считали Зе­млю плоской — это сказки. Люди всегда знали, что она не плос­кая. Когда по морю идет корабль, сначала на горизонте появля­ются паруса. Как еще, кроме как искривлением, можно это объяс­нить?

Слушатель: Может быть, Земля не ровная именно в этом ме­сте. ..

А.С.: От того, что ты видишь паруса, до понимания, что Земля может быть устроена как шар, уже, в общем, недалеко.

Люди, на самом деле, в прошлом совершали и более великие открытия. Знаете, когда в первый раз (по крайней мере, доку­ментально) была высказана идея о конечности скорости света? В 1676 году датский астроном Тихо Браге стал наблюдать затме­ния спутников Юпитера. И заметил странности в их периодично­сти: то затмения наступали позже прогнозируемого момента, то раньше. Тогда он предложил совершенно невероятное объяснение. Он предположил, что такое могло бы быть, если бы скорость света была конечна. Так как Земля и Юпитер то приближаются друг к другу, то отдаляются, мы видим объект, который ближе, рань­ше, чем тот, который находится дальше. За счет этого и возникает неполная периодичность в затмениях. Но тогда нужно было при­знать, что значение этой скорости настолько велико, что оно пре­восходит всякое наше воображение. И Браге оценил его как 225 ты­сяч километров в секунду. Он назвал величину, которая равна 75% от верного значения. Но тогда ученый мир был еще не готов к та­ким смелым идеям, и к этому предположению отнеслись с большим сомнением.

Или другая история.

У вас в сумке, наверное, живет зарядка от телефона или науш­ники. В каком они будут состоянии? Обычно получается страшный запутанный провод.

Вопрос: можно ли его как-то распутать, если вы еще и кон­цы провода свяжете, чтобы он стал замкнутым, как окружность? Чтобы он стал после этого распутывания нормальной, идеальной окружностью?

Слушатель: Нельзя.

А.С.: Иногда можно, иногда нельзя. Это — задача из теории узлов. Какие-то виды узлов можно распутать, какие-то нельзя. Сейчас я расскажу историю, которая может оказаться неправдой. Я слышал ее на лекции примерно 13 лет назад. Знаменитая про­блема узлов, топологических типов узлов, встала в первый раз на корабле пирата Дрейка в конце XVI века. Один из матросов это­го корабля тоже занимался узлами. Он завязывал много разных морских узлов и заметил, что некоторые из них — по сути один и тот же узел. Надо просто в одном месте потянуть, в другом прис­пустить шнур, и из первого узла получится второй (имеется в виду, что при этом концы узла должны оставаться связанными). Такие узлы называются «эквивалентными». И пирату в голову пришла идея классифицировать все виды узлов. Какие друг в друга пере­водятся без разрезания, а какие нет. Ему это не удалось, в чем, якобы, он честно признался.

Прошло 400 лет. И только совсем недавно был сделан большой прорыв в решении задачи об узлах. Сделали его отечественные ма­тематики Максим Концевич, Виктор Васильев и Михаил Гусаров.

Идея решения в том, что берут два узла, пишут для них неко­торые математические выражения, и если они разные, то и узлы тоже разные.

Вернемся к плоскости. «Простой» вопрос: какими много­угольниками можно замостить плоскость?

Что значит «замостить многоугольниками»? Я имею в виду сле­дующее. Вы заходите в магазин и выбираете себе паркет. Понра­вившийся вам паркет состоит из одинаковых дощечек такой формы (рис. 42):

Кто-то в страшном сне придумал такую форму. И таких до­щечек у вас немыслимое количество. Вопрос: «Можно ли собрать

из них паркет? Или они при сборке входят в противоречие сами с собой?»

Слушатель: Ну. скорее всего, центр еще получится, а вот по краям комнаты будут проблемы.

А.С.: Вы. наверное, уже видите, что не всякими плитками мож­но замостить плоскость.

Но доказать, что какой-то конкретной плиткой нельзя замо­стить довольно сложная задача. На самом деле, до сих пор не классифицированы даже все виды пятиугольников, которыми можно замостить плоскость. Найдено несколько пятиугольников, которыми можно замостить плоскость, но неизвестно, есть ли дру­гие. Открытая проблема10. Но тем не менее методами Леонарда Эйлера можно доказать следующую теорему.

Теорема. Не существует ни одного выпуклого 7-угольника, ко­торым можно замостить плоскость. Более того, восьми-, девяти-, десяти- и т. д. угольника тоже не существует.

А что такое «выпуклый»? Выпуклая фигура это такая фи­гура, у которой, если вы выбрали любые две ее точки, то весь отрезок между ними лежит внутри этой фигуры, не выходит за ее пределы.

Рис. J_t3. Слова нсвыпуклая фигура, справа выпуклая.

Выпуклость одно из фундаментальных понятий математики. Такое простое определение, а на нём построена огромная сложней­шая теория с зубодробительными теоремами.

Почему же теорема требует выпуклости? Представьте себе цар­скую корону (рис. 44). Паркетина такой формы хотя и является 7-угольником, но он не выпуклый. Ниже мы увидим, что такими паркетинами МОЖНО замостить плоскость. Значит, если не тре­бовать выпуклости, доказать указанную выше теорему нельзя она просто неверна. Нельзя огульно утверждать, что паркетов из 7- уголышков не бывает. Не бывает только из выпуклых.

Рис. 44- Д° царской короны страшно даже пальцем дотронуться!

Сколько углов? Семь. Однако такой плиткой можно без проблем замостить плоскость.

Переворачиваем фигурку и вставляем корону в корону, а потом еще раз. два... (см. рис. 45).

Слушатель: А в конце как?

А.С.: До бесконечности. Мы же говорим о бесконечной плос­кости. Полосу сделать у нас получилось... (бесконечную в обе стороны). Ну. а если можно полосу, то мы ее размножаем неогра-

ниченно вниз и вверх, и всё. Мы «запаркетили» всю плоскость. А теперь я нарисую выпуклый семиугольник (рис. 46).

Априори совершенно не понятно, почему им нельзя замостить плоскость? Почему это так? Почему никакого семиугольника не­льзя предложить в качестве дощечки для паркета? Если Ваша невеста просит Вас: «Милый, я так хочу выпуклый семиуголь­ный паркет в нашу ванну!». то это вариант «вежливого посы­ла» ибо такого быть не может. Сейчас мы докажем эту теорему. И в этом доказательстве у нас в первый раз возникнет бесконеч­ность «во весь рост». Как доказываются теоремы не существова­ния чего-то? Какой прием доказательства таких теорем?..

Слушатель: От противного?

А.С.: Точно. Предположим, что существует выпуклый семи­угольник. которым можно замостить плоскость. Не знаю какой, но какой-то есть. Предположим и приведем это предположение к противоречию. Итак, посмотрим на плоскость, которая замоще­на этими семиугольниками. Посмотрим на нее в «перевернутый бинокль» и увидим часть плоскости, как будто очень большую квартиру (см. рис. 47).

Я предупреждаю, такими доказательствами гоняют па ночь чертей. Приготовьтесь.

Начнем с того, что попробуем посчитать, сколько в квартире многоугольников. Давайте исходить из того, что наш семиугольник имеет длину 1 метр, а размер квартиры примерно 1 км.

На самом доле, но важно, какого что размера. Важно, чтобы вторая величина была неизмеримо больше, чем первая.

В данном случае «длина» семиугольника в 1000 раз меньше «длины» квартиры.

Слушатель: Что мы считаем длиной 7-угольника или кварти­ры?

А.С.: Например, самую большую диагональ. Это не очень важ­но. Тут математика немножко напоминает физику. Нужно несу­щественные детали не замечать, а на существенные обращать внимание. Когда у физика есть ниточка, она обычно имеет толщи­ну ноль. На самом деле у нее, конечно, есть толщина, но физикам она не важна. Вот и нам не важно. Возьмем какое-то измерение семиугольника (например, любую из его сторон или любую диаго­наль). Ведь все эти измерения НАМНОГО МЕНЬШЕ, чем «длина квартиры» что бы мы ни понимали под этой длиной. На полу квартиры в нормальной ситуации помещается очень много парке­тин. Форма пола квартиры тоже неважна, поэтому будем считать

его кругом радиуса R (где R может быть как угодно велико).

Не забывайте, что нам приказано замостить не пол в квартире, а всю бесконечную плоскость.

А теперь давайте посмотрим, сколько примерно семиугольников таится внутри вот этого огромного круга? С точностью до поряд­ка? Если у нас диаметр круга в тысячу раз больше, чем диаго­наль семиугольника, сколько семиугольников примерно поместит­ся в круг?

Слушатель: Миллион?

А.С.: Миллион, правильно. Правильный физический ответ. Миллион. Не важно, что это будет 700 ООО или 5 миллионов. В рай­оне миллиона. Порядок величины такой. Это примерно миллион.

Слушатель: Почему миллион?

А.С.: Потому что у многоугольника размером 1 метр пло­щадь сопоставима с 1 м² — может быть, чуть меньше, чуть боль­ше. У круга, у которого диаметр 1 километр, площадь порядка 1000000 м². Значит, в круг влезает примерно миллион семиуголь­ников.

Зададим теперь следующий вопрос. Сколько примерно семи­угольников «живет» в районе границы этого круга (то есть за­цепляет за границу круга)?

Слушатель: 6000.

А.С.: Да, похоже. 2жг = 6000. Порядок этого числа — не мил­лион, а тысяча. То есть внутрь входит в районе миллиона семи­угольников, а на границе их несколько тысяч. А теперь — вни­мание! Я стираю все многоугольники, которые не лежат в этом круге. Затем беру плоскость и, как грузинский хинкали, сжимаю ее в сферу (рис. 48).

Делаю я это, чтобы воспользоваться формулой Эйлера:

В^Р + Г = 2.

Грубо говоря, вместо круга есть поверхность огромного шара, у ко­торого верхняя шапочка (почти плоская) вся испещрена семи­угольниками. Но для картинки на всей большой сфере верна фор-

мула Эйлера:

В ^ Р + Г = 2.

Давайте оцепим примерно, сколько у этой картинки будет вер­шин, ребер и граней? Одна огромная грань снизу, а наверху по­рядка миллиона граней в виде паркетин. Понятно, что одна грань погоды не делает. Более того, так как мы сейчас будем иметь де­ло с величинами порядка миллиона, то 2 в формуле Эйлера, или О тоже совершенно неважно. Я могу написать «примерно равно нулю». В — Р + Г примерно равно 0. Или В + Г и Р. Граней порядка миллиона. Г и 1000000.

Сколько вершин? 7000000 это вершин у всех многоугольни­ков; и в каждой из вершин сходится как минимум 3 многоугольни­ка. Может быть и больше (например, если у нашего 7-угольника есть острый угол в 30 градусов, и в вершине сошлись 12 этих острых углов), но не меньше это точно (ровно два угла не мо­гут со всех сторон окружить вершину, ибо каждый из них меньше 180 градусов). Поэтому вершин «не больше» (меньше или равно), чем 7000000/3. На самом деле я не учел вершины, которые явля­ются вершинами большой нижней грани. Сколько их примерно?

Слушатель: 6000.

А.С.: Да. Поэтому надо прибавить еще 6000. Нам не жалко!

7000000/3 + 6000.

Но шутка матанализа заключается в том, что 7000000 и 6000 не сопоставимы по величине, так как первая величина значительно

В 7000000/3.

Теперь о ребрах. Ребер будет 7000000/2. Причем делим в :точности на 2. без всяких меньше или равно, потому что каждое ребро мы посчитали ровно 2 раза:

Р = 7000000/2.

Слушатель: А почему мы каждое ребро посчитали ровно 2 ра­за?

А.С.: Потому что мы плиточку к плиточке прикладываем, без всяких зазоров (мы ведь предположили, что можно уложить без зазоров), см. рис. 49.

Рис. 49- Плиточка к плиточке! Ребро к ребру! Без зазоров!

Слушатель: Почему в теореме взято 7 сторон и более?

А.С.: Потому что шестиугольное замощение давно известно, на­пример. его знают наши друзья пчелы. Пятиугольное может быть таким: поставил домики рядом и сверху такие же. но вверх ногами (см. рис. 50). Домики, в отличие от царской короны, которую мы в самом начале рисовали, выпуклые.

А уж квадратами, треугольниками замостить — это совсем лег­ко. Любым четырехугольником можно замостить плоскость и лю­бым треугольником — тоже. А вот какими пятиугольниками мож­но — это сложная задача. И про выпуклые шестиугольники тоже далеко не всё известно. Но какими-то можно. А вот выпуклыми семиугольниками уже никак нельзя.

Давайте все-таки доведем до конца доказательство.

У нас есть равенство

В + ГяР.

Оно говорит нам, что количество ребер должно быть того же са­мого порядка, что и количество вершин плюс количество граней. Подставим наши значения.