⁷⁰°0⁰⁰⁰ ^ 1000000 +7000000.

d

Если посчитать, сократив на миллион и умножив на 6, равен­ства не получается. Очень заметно не получается! Потому, что 21 не равно 20. Так что никакая добавка слагаемого типа 6000 дела не спасет, ибо эту добавку тоже придется делить на 1000000, и она станет исчезающе малой. А ведь мы могли взять не R = 1000 км, a R = 20000 км. Тогда бы процентное влияние добавки типа «6000» стало бы гораздо меньше. То же самое, естественно, будет

с восьми-, девяти- и прочими «много-много-угольниками». А вот для шестиугольников как раз получается

6000000/2 = 6000000/3 + 1000000 3000000 = 2000000 + 1000000 (при любом значении R).

Точное равенство получается потому, что шестиугольное замоще­ние устроено так, что в каждой вершине сходится ровно 3 ребра. А вот уже 5-угольное замощение устроено иначе. Иногда 3 ребра сходится, а иногда — 4. У квадрата везде сходятся 4, а у правиль­ных треугольников — 6 ребер (рис. 51).

То есть выпуклое замощение бывает треугольное, четырех­угольное, пятиугольное, шестиугольное. А никаких других не бы­вает.

Слушатель: А какая практическая польза?

А.С.: Ну, наверное, есть какая-то. Математик никогда не ду­мает о практической пользе. Другие за него думают. Посмотрит какой-нибудь строитель: «О, значит не надо даже думать о том, чтобы использовать семиугольные плитки». А для математика нет такого вопроса. Это же совершенство. Это всё равно, что спраши­вать, какая практическая польза у молитвы. Так же и математик, он просто показывает: нельзя, — ура, вот какая интересная тео­рема. А польза? Наверняка какая-то польза есть. У любого кра­сивого факта есть польза.

Врезка 4. Ни один из слушателей не спросил у меня: «А где же в доказательстве теоремы используется тот факт, что исход­ный семиугольник был выпуклым?» И даже сложилось преврат­ное впечатление, что для проведения доказательства выпуклость 7-угольника вообще не нужна. Но она нужна! Ведь иначе получи­лось бы, что мы заодно доказали, что для невыпуклого семиуголь­ника тоже нельзя придумать замощение плоскости таким кусоч­ком. Выше, однако, приведен пример, что 7-угольным кусочком типа «царская корона» вполне можно замостить плоскость.

На самом деле выпуклость была незаметным образом исполь­зована, когда мы поделили число 7000000 именно на 3. Толь­ко для выпуклого 7-угольника можно опираться на число 3. На рис. 45 паркет содержит такие вершины, где сходятся только две плитки паркета (и на одной из них имеется угол БОЛЕЕ 180 градусов). Подобное явление, однако, возможно только для невы­пуклых плиток: любой выпуклый многоугольник содержит в себе только углы менее 180 градусов.

А.С.: Скажу напоследок вот что. Если кого-то не убедят тыся­чи и миллионы, надо будет сказать следующее. Если круг в п раз больше по размеру, чем плиточка, то количество граней, вершин и ребер имеет порядок п², потому что их количество связано с пло­щадью круга. А то, что в районе большой окружности «живет», имеет порядок п, потому что вопрос связан с длиной окружности. И если вы исследуете некоторое выражение порядка п², например,

Ti² 7 /I² 9

— —г,—Ь п , и при этом во все слагаемые примешивается ме­лочь порядка п: 2п, 3п, 6п и так далее, то матанализ разрешает ее стереть, потому что п² и п «разного порядка роста». И неравенство будет верным при любом п, начиная с некоторого места. (А именно с того места, когда п² станет подавляюще большим по сравнению с п.)

В матанализе есть основной принцип: если вы про какое-то чи­сло показали, что оно меньше сколь угодно малого положитель­ного числа, то вы доказали, что оно равно нулю (если оно изна­чально не было отрицательным). Вот вы получили какое-то чи­сло, вы хотите доказать, что оно равно нулю. Покажу типичный

прием матанализа. Пусть есть число а. Рассмотрим такое число,

1 как —, и покажем, что наше число меньше, чем —. Допустим,

это мы доказали для любого натурального значения п. Для 1000, для 1000000, для 1000000000. .. Если вы умеете доказать такое не­равенство для любого п, значит, вы умеете доказать, что а равно нулю.

Вот в этом, собственно, весь принцип матанализа и заключен. Всё остальное, что есть в матанализе: интегралы, производные — не более чем упражнения с этой логикой (математики говорят в этом случае: «Применим технику работы с порядками бесконеч­но малых»),

И самый последний пример. Мне рассказал его папа, когда я еще даже в школу не ходил. Папа взял яблоко, отрезал от него половинку и говорит: «Это сколько от яблока?» — «1/2», — ска­зал я. — «А если теперь я к этой половинке прибавлю половинку оставшейся половинки, то это что здесь надо написать?»

Слушатель: 1/2 + 1/4.

А.С.: А если я проделаю это бесконечное количество раз? Тогда что я получу?

1111

— + — + — Н h =1

4 816

Слушатель: Ноль.

Другой слушатель: Единицу.

А.С.: Я получу число один, причем в точности число 1.

Почему в точности? Потому что каждый раз число получалось

не больше единицы, это очевидно. Значит, мы не можем получить

число больше единицы. Но какое бы маленькое число мы не взяли, 1

в конце концов — станет меньше его. На самом деле у нас в знаме­нателе вместо п стоят степени двойки: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192...

1

Они очень быстро растут, поэтому — — очень быстро уменьша­ется. И в итоге очередное расстояние до числа «1» станет меньше любого наперед заданного числа. То есть они уходят в ноль. Полу­чается, что наша сумма неограниченно приближается к единице, и вот тогда математик говорит: «Следовательно, она равна едини­це». Всё. Вот он, предельный переход. Это то, что учат в матанализе на любом факультете любого вуза. Больше ничего в нём нет11.

Слушатель: А если здесь просто включить житейскую му­дрость и подумать, что мы отрезали от одного целого яблока?

А.С.: Да. В данном случае можно. Но житейская мудрость — она такая штука, что она иногда не работает. Давайте решим такую задачу.

1

Кузнечик сначала прыгает на один метр, а потом на ^ метра,

111 а потом — на тг, а потом — на _т, а потом — на „ . и так далее...

о 4 о

Вот он прыгает и прыгает. Есть ли предел того, куда он может

допрыгать?

Слушатель: Да.

А.С.: При наивном подходе кажется, что есть, потому что «шажки все меньше и меньше». Но тем не менее, друзья мои, вы будете смеяться, или удивляться, или поражаться, или возмущать­ся, но

(т. е. эта сумма равна бесконечности).

Нет никакого предела тому, куда может дойти этот кузнечик. Никакого. Он может дойти до Луны, может дойти до Солнца, и да­лее, прямо в Космос!

В прошлом примере у нас шажки были всё меньше и меньше, они стремились к нулю, но в сумме получилось число, равное еди­нице. А эти шажки, хотя и тоже всё меньше и меньше, но уйти этими шажками можно до бесконечности, вот такая загадка при­роды. Хотите, покажу, почему?

Слушатели: Да.

А.С.: Вот смотрите, сейчас я с кузнечиком сделаю страшную штуку, я сейчас его заменю на кузнечика, который шагает еще ме­дленнее. А именно: кузнечик этот будет шагать следующим обра­зом.

то есть вместо одной трети, он шагает на одну четверть. Не правда ли, такой кузнечик будет отставать от первого?

Слушатель: Да.

А.С.: А теперь вместо одной пятой я сразу одну восьмую по­ставлю. То есть первый кузнечик на одну пятую шагает, а мой, второй — он сразу прямо раз — и «скис» — только на одну вось­мую. И так 4 раза по одной восьмой:

1+1+1 1 1+1+1+1

4 4 8 8 8 8

А вместо одной девятой я напишу что?

Слушатели: Одну шестнадцатую?

А.С.: Правильно. Одну шестнадцатую, и так повторим эту до­бавку 8 раз. А дальше я что напишу? Вместо одной семнадцатой? Слушатель: Одна тридцать вторая.

А.С.: Одну тридцать вторую. Отлично. И повторим ее 16 раз!

1+1+I+I+I+1+I+1+

4 4 8 8 8 8

111111111

-I—=—I—=—I—=—I—=—I—=—I—=—I—=—I—=—I—=—I-

16 16 16 16 16 16 16 32

Похоже, что второй кузнечик всё время отстает от первого. Небось, он совсем отстанет от него: ведь первый, как мы утверждаем, ус­качет на бесконечное расстояние. Нет, самое страшное здесь вот

что. Хоть второй и отстает, но он ТОЖЕ ускачет на бесконечное

1 1

расстояние. Чему равна сумма -j- + -j- (двух равных слагаемых)?

1

Слушатель:

А.С.: Отлично. А такая:

1+1 + 1 + 1?

8 8 8 8

Слушатель: Одна вторая.

А.С.: Тоже одна вторая! А для шестнадцатых долей? Слушатель: Тоже одна вторая.

А.С.: Теперь вы поняли, почему он дойдет до бесконечности? Слушатель: Нет.

А.С.: Потому что мы каждый раз, в каждой очередной группе шагов, будем получать в сумме Значит, он всё снова и снова от­ходит на 0,5. А таких «одних вторых»-то бесконечное количество штук. Вот он и уйдет на бесконечность.

1 + 1 = 1 4 4 2’

1111 ₌ 1

8 8 8 2’

111111111

——I—-—I—-—I—-—I—-—I—-—I—-—I—— = —

16 16 16 16 16 16 16 2’

и так далее. Значит, на бесконечность тем более ускачет и первый кузнечик!

Но самое неожиданное я приберег на конец. (Берёт в руки мяч и держит его над полом.) Уроним этот мяч и послушаем, сколько раз он ударится.

Слушатель: Бесконечность.

А.С.: Правильно. Бесконечность, но она будет «преодолена» за конечный промежуток времени. Законы физики это подтвер­дят. Единственное, что, к сожалению, в атомных размерах законы физики меняются (надо применять квантовую механику), и эта идиллия прекращается. Но если бы ньютоновская механика была верна до самого конца, то любой мяч, если его отпускают, за ко­нечное время делал бы бесконечное число подскоков. То есть он устроен, как задача с яблоком. Потому что каждый следующий подскок, по законам физики, составляет по высоте некоторый про­цент от предыдущего. Но процент от любой положительной вели­чины — это положительная величина. Поэтому каждый следую­щий подскок — это тоже положительная величина, а значит, их будет бесконечное количество. Но они суммируются по времени. Время подскоков суммируется, а сумма стремится к некоторому числу. Временные промежутки будут всё короче и короче и, грубо говоря, за 2 секунды мяч уже бесконечное число раз подпрыгнет и ляжет на землю тихо. За конечное время бесконечное количество прыжков...

До встречи на лекции 3!

Лекция 3

А.С.: В прошлый раз я успел поговорить про бесконечность. Умение работать с бесконечностью, умение через бесконечность пе­решагивать, умение различать разные бесконечности — это основ­ная работа в математике. Как могут быть разные бесконечности? Кажется, что либо что-то конечное, либо бесконечное. Но нет. На самом деле бесконечности бывают разные. На прошлой лек­ции мы говорили про сходящиеся и расходящиеся ряды. То есть рассматривали суммы с бесконечным количеством слагаемых.

111

Например, сумма 1+2 + ^ + ^ + -- -, как выяснилось, стремится к бесконечности. То есть становится больше любого наперёд задан­ного числа. Скажите ей: «Будь больше 1000». Тогда нужно взять много слагаемых.

Возьмем 2²⁰⁰⁰ членов. Оказывается, тогда их сумма будет боль­ше 1000. Скажете: «Будь больше 1000000». Тогда нужно взять 22000000 _член0в. Их сумма будет больше миллиона. И так далее.

111

А вот этот ряд: 1 + ^ + _т + ^- + ... тоже состоит из бесконечного z 4 о

числа членов, но его сумма никогда не станет больше, чем двойка.

Теперь еще одна интересная задача. Начнем издалека. В 2000 году, где-то зимой, мы были в лесу в районе станции Радищево, праздновали чей-то день рождения. Вокруг было очень мало сухих деревьев, все спилили до нас. Было только огромное, совершен­но сухое дерево. И это дерево огромного размера стояло и очень нас заманивало. У нас была двуручная пила, и мы начали пи­лить. Пилили-пилили, пилили-пилили и допилили. Дерево сдела­ло «тцук...» и село на нашу пилу. Пила осталась внутри, а пол­ностью спиленное дерево стоит и падать не собирается (рис. 52).

Но стоит подуть ветру, и оно упадет. В какую сторону оно упадет — совершенно не предсказуемо. Что делать? Надо или вставать и уходить, написав со всех сторон «внимание, внимание, до ближайшего ветра сюда не подходить», или пытаться уронить дерево. Мы решили с ним побороться. Взяли вспомогательное де-

рево и прислонили ого к спиленному где-то на высоте десяти ме­тров. Навалились, и оно поддалось (рис. 53).

Было видно, как дерево начало падать. Но скорость была чу­довищно медленная: несколько сантиметров в секунду, едва-едва. Где-то минуту мы ждали, пока оно медленно наклонялось, и толь­ко потом оно начало ускоряться и через несколько мгновений рух­нуло со страшным грохотом. Пришел я домой и написал уравнение падения дерева. В физике траекторию движения системы под дей­ствием сил можно выписать в виде уравнений. Такие уравнения называются дифференциальными,. Это означает, что скорость из­менения скорости, то есть то, что называется ускорением, зависит от сил, которые действуют на тело. Это один из основных зако­нов физики, он позволяет свести всё, что есть в обычной, не кван­товой, механике, к системам уравнений. Можно выписать такое уравнение и для нашего дерева. И к своему удовольствию, иссле­довав это уравнение, я пришел к выводу, что, если дать дереву толчок очень маленькой силы, оно начинает падать очень, очень, очень медленно.