Слушатель: Выпрямить.

А.С.: Да. Удалить вершину и выпрямить границу, убрав ненуж­ный «кусок границы». Что изменилось?

Слушатель: Минус вершина.

Слушатель: Минус ребро.

А.С.: Минус ребро, потому что из двух соседних ребер стало одно. Заметьте, что в выражении В — Р + Г опять ничего не изме­нилось. Итак, я буду упрощать картинку дальше (см. рис. 36).

Что происходит, когда я сниму еще ребро?

Пусть возникнет еще одна аномалия такого же типа. Возник­нет вершина, из которой торчит ребро, и на другом конце ребра висит пустая вершина. Но по-прежнему В — Р + Г такое же. как было раньше. Что я теперь могу сделать с этой вершиной и этим

ребром? Стереть их целиком. При этом количество и вершин, и ре­бер уменьшится на 1 (рис. 36). Значит, выражение опять не изме­нилось. а «сеть» на поверхности стала проще.

Я значительно увеличил грань, я убрал всё внутри нее. а вы­ражение не менялось. «Сеть» свелась к двум граням, охваты­вающим сферу «сверху и снизу», разделенным замкнутой лома­ной; в ней количество вершин равно количеству ребер, то есть В^Р + Г = Г = 2.

Для сферы формула Эйлера тем самым доказана.

Вопрос: «В какой ситуации логика этих рассуждений не мо­жет быть проведена?» Математик всегда изучает, в каком месте его рассуждение не пройдет. А не пройдет оно. например, на торе. На торе берем вершину и 2 ребра (рис. 37).

К такой картинке (рис. 37) приводится сниманием ребер любая «сеть» (достаточно общего вида ) на торе. Почему же нельзя снять еще одно ребро? Здесь я взываю к интуиции слушателей. Если мы разрежем тор по этим ребрам, а потом развернем, то получим квадрат. Чтобы лучше себе всё это представить, проделаем данные операции в обратном порядке: возьмем обычный квадрат из гибкой резины и изогнем его так. чтобы две противоположные стороны квадрата совпали (и затем склеим по совпавшим сторонам).

Получилась трубка (две оставшиеся стороны квадрата превра­тились при этом в два колечка). Изогнем трубку таким образом, чтобы эти колечки тоже совпали (и склеим их). Вот и получился из квадрата тор. По местам склеек восстанавливаем, где на этом торе расположены два ребра и одна вершина (из четырех вершин квадрата получилась ОДНА вершина на торе).

Осталось пояснить только один важный вопрос: так все-таки можно или нельзя при изучении топологии делать склейки, раз­рывы и надрезы? Выше говорилось, что при этом может изменить­ся топологический тип объекта. Значит, если мы хотим сохранить топологический тип объекта, этого делать нельзя. Но можно без­болезненно делать многое другое: растяжение, сжатие, перемеще­ние, поворот объекта, увеличение его в несколько раз. Эти опе­рации позволяют представить изучаемый объект в самом простом для понимания виде. Например, конус (заполненный внутри) мож­но превратить в шар.

Однако, если мы хотим изменить топологический тип, то мож­но (и даже нужно) делать разрезы и склейки. Эти операции так часто применяются в топологии, что даже носят специальное на­звание: «топологическая хирургия». Более того, практически лю­бой интересный для изучения объект можно склеить из весьма простых кусков. Скажем, торическую поверхность можно полу­чить склейкой нескольких треугольных кусков. А когда склейка будет закончена, места склеек будут определять некоторую «сеть» на торе. «Сеть», составленная из треугольников (естественно, кри­волинейных), называется «триангуляцией». Простейшая «сеть» на торе (рис. 37) не является триангуляцией, так как она полу­чена не из треугольников, а из квадратов... точнее, из одного- единственного квадрата. Но этой беде легко помочь: когда мы вы­ше делали операции в обратном порядке, надо было на исходном квадрате нарисовать диагональ (то есть вместо квадрата далее рассматриваются «два склеенных треугольника»). После двух вы­шеописанных склеек из этого квадрата получится триангуляция тора. Она состоит (хотя в это и трудно поверить) из двух граней, трех ребер и одной вершины (к которой подходят все шесть концов этих трех ребер!).

Можно порекомендовать слушателям купить свежеиспеченный бублик с маком и. прежде чем его съесть, внимательно осмотреть и понять, как именно проходят но его поверхности ребра данной триангуляции. Но специалист-тополог может представить себе эту триангуляцию даже с закрытыми глазами!

Проверьте, возьмите любую ненужную велосипедную камеру, разрежьте и попытайтесь развернуть. Сохранится тот факт, что грань выглядит как квадрат или как круг, то есть она. как говорят математики. :топологически ·тривиальна. Она выглядит почти как обычная плоская фигура. А вот если мы снимем ребро (т. е. сотрем его с поверхности тора) и потом разрежем по оставшемуся ребру, у нас возникнет нетривиальная фигура в виде кольца. (Кстати, слово «тривиальный» восходит к слову «тривиум», обозначающе­му начальный уровень образования в средневековых университе­тах.)

Колечко на плоскости (рис. 38) не является топологически три­виальным. у него внутри дырка. Получается, что нам запрещено убирать это ребро, потому что мы изменим тривиальный объект на нетривиальный. Математика прошла долгий путь, прежде чем смогла понять, чем формально квадрат отличается от кольца.

Но если мы примем к сведению этот путь, то сможем воспользо­ваться его результатами. Сможем сказать, что можно снимать ре­бро тогда и только тогда, когда объект, который возникает, будет топологически тривиален, то есть будет похож на квадрат но сво­ей топологической структуре. Именно поэтому я не имею нрава стирать на торе ребро.

Итак, чему равно В^Р+Г для нашей картинки (рис. 38)? Сколь­ко у нас вершин?

Слушатели: Одна.

А.С.: Граней?

Слушатель: 4?

А.С.: Нет, одна грань. Эта одна и та же грань. Посмотрите, из любой точки грани я могу пройти в любую другую, не пересекая рёбра. А это значит, что грань одна.

На торе сейчас всего одна грань, одна вершинка и два ребра. Поэтому В — Р + Г = 0.

И всегда для тора будет ноль.

А к чему я приду на сфере, когда сниму все возможные ре­бра и вершины? Какой объект получится? (То есть мы не хотим останавливаться на сети в виде двух граней, охватывающих сферу сверху и снизу, как выше, а хотим сделать ее еще проще.) Я утвер­ждаю, что в итоге останется просто голая сфера с одной вершиной. Все ребра будут сняты.

Слушатель: И как получится два?

А.С.: Вот как. У вас одна вершина, одна грань и ноль ребер.

Почему я не могу снять и точку тоже? Потому что, если я ее сниму, останется сфера, которая топологически не похожа на ква-

— 0 + 1 = 2 (см. рис. 39).

драт. А вот, если я сферу проколол... Что происходит с камерой мяча, который проткнули иголкой? Ои сдувается и превращается (если сильно увеличить место прокола и наложить на плоскость) в лоскут в плоскую фигуру. Сфера отличается от плоского кус­ка только одной точкой. Очень хорошо это понимают грузины, бу­ряты и тувинцы. Они делают большие пельмени (хинкали. позы и буузы).

Как их делают? Берут кусок теста, поднимают за края, слепля­ют, и получается сфера. Так что в топологии можно сказать, что сфера отличается от круга всего одной точечкой. Отсюда и возни­кает одна точка и ноль ребер.

Давайте к одной вершине добавим одно ребро (рис. 40). Что изменилось? Добавилось одно ребро и одна грань. То есть у нас одна вершина, одно ребро и две грани. Странно смотрится замкну­тое ребро на рис. 40? Давайте тогда поставим еще одну вершину (рис. 41).

Итак: 2 вершины. 2 ребра. 2 грани: 2 — 2 + 2 = 2.

Не бывает двугранников? Да еще образованных двумя «дву­угольниками»? Хорошо. Чтоб не было сомнений, добавим еще две вершинки. Получится квадрат на сфере, то есть п = 4.

4 вершины, 4 ребра, 2 грани: 4 — 4 + 2 = 2. Упорно получается значение «2».

Можно остановиться в любой момент, посчитать количество вершин, ребер и граней. Но вы должны понимать, что всегда можно привести к ситуации, в которой останется одна вершина. Поэтому у любой картинки на сфере эйлерова характеристика равна двум, ибо эту картинку можно свести к простейшему случаю «одна вер­шина, одна грань, ноль ребер».

Мы получаем противоречие. На торе всегда ноль, а на сфере — два. Но 2 не равно 0. Значит, это разные топологические фигу­ры, что, впрочем, каждый из вас и так знал. Но вопрос не в том, чтобы доказать очевидный факт, а в том, чтобы наработать язык, который поможет нам этот факт заметить в других пространствах. В частности, в пространстве большего числа измерений. А в боль­шем числе измерений верно в точности то же самое, только по­является то, что называется «трехмерные грани». И получается следующее выражение:

В^Р + Г^Т.

Здесь Т — количество трехмерных граней. Так выглядит эйлеро­ва характеристика для четырехмерного пространства, в котором лежит трёхмерный объект. В общем случае у формулы тот же вид В^Р + Г^Т + ... и так далее, в n-мерном пространстве, кото­рое довольно сложно представить. Если изучить, что происходит при стирании вершины, ребра, грани, трехмерной грани, будет об­наруживаться, что значение нашего выражения не изменится. Вот основываясь на примерно таких вещах, но гораздо более сложных, была установлена справедливость гипотезы Пуанкаре.

В 2002 году, когда доказали гипотезу Пуанкаре, газета «Изве­стия» напечатала о ней статью. Помнится, в СССР было 2 основ­ных газеты: «Правда» и «Известия». И все знали, раз написано в газете «Известия», значит факт. Но в 2002 году «Известия» от­ступили от этого замечательного правила, написав математиче­скую формулировку гипотезы Пуанкаре в таком виде, в котором она являла собой полную чушь. Они не удосужились позвонить ни одному грамотному математику и очень сильно опозорились (впрочем, мало перед кем).

А теперь — обещанное в первой лекции доказательство того, что в футбольном мяче ровно 12 пятиугольных лоскутков.

Рисуем на сфере картину футбольного мяча. Он должен состо­ять из шестиугольных и пятиугольных лоскутков. В любой верши­не должны сходиться ровно 3 ребра. В остальном он может быть совершенно произвольным.

Давайте обозначим за ж — число шестиугольников, за у — чи­сло пятиугольников.

Сколько тогда граней у нашего многогранника, нарисованного на сфере, то есть на футбольном мяче?

Слушатель: Граней?

А.С.: Да.

Слушатель: х + у.

А.С.: Правильно. Ровно столько, сколько в сумме количеств шести- и пятиугольников.

Г = х + у

(Г — количество граней).

Чему равно количество вершин и чему равно количество ребер? Посчитаем наивно. Сколько вершин у шестиугольника?

Слушатели: 6.

А.С.: 6. Всего х шестиугольников. Значит, у всех шестиуголь­ников вершин...

Слушатель: 6ж.

А.С.: А у пятиугольников?

Слушатель: Ъу.

А.С.: Значит, пишем 6ж + 5у, но это не совсем то, что надо.

Обозначим поэтому не «В», а «М»,

М = 6ж + Ьу.

А.С.: Почему это не то, что надо?

Слушатели: Потому что вершины совпадают.

А.С.: Если мы разрежем мяч на лоскутки или, наоборот, не на­чнем сшивать, то сколько будет вершин у всех лежащих на столе лоскутков? Именно столько, 6ж + Ьу. А когда мы сошьем, некото­рые вершины совпадут. Что надо сделать с этим числом, чтобы получить правильное число вершин?

Слушатель: Разделить на 3.

А.С.: Да. Правильно, потому что ровно — не больше не меньше, а ровно — 3 разных грани сходятся в каждой вершине:

р ₌ ^м ₌ 6ж + Ьу 3 3 '

Сколько ребер? Первый вопрос: сколько ребер до того, как мы сшивали? Столько же, сколько было до сшивания вершин:

М = 6ж + Ьу.

У любого многоугольника вершин и ребер одинаковое количество. А на что делить?

Слушатели: На 2:

_D _ 6х + Ьу = 2 '

Каждое ребро мы считали ровно два раза.

Теперь мы воспользуемся формулой Эйлера. Формула Эйлера утверждает, что В — Р + Г = 2. Подставим в нее выражения через «ж» и «у»:

6х + Ьу 6х + Ьу

д—^ 2 +Х + У = 2.

Цель этой формулы — доказать, что у = 12. Давайте решать.

6ж : 3 = 2ж, 6ж : 2 = Зж,

2ж — Зж + ж = 0.

Иксы ушли. Осталось уравнение относительно «у»:

f-| + у = ²-

Умножим все уравнение на 6, чтобы избавиться от знаменателя. Умножим и правую, и левую часть. Справа будет 12. Слева будет: 10у — 15у + 6у. Отсюда

у = 12.

Чудеса, да? И никакого мошенничества!

Слушатель: Что-то тут есть от фокуса.

А.С.: Курс «Математика для гуманитариев» — это курс черной магии плюс ее разоблачение. В чем здесь фокус? Природа фоку­са в том, что сократились все шестиугольники. Получается, они ни на что не влияют. Можно любое количество шестиугольников вклеить дополнительно в любой футбольный мяч, так как все х сокращаются9. А с «у» вы не можете сделать ничего, потому что сколько бы пятиугольников ни было у нас в запасе, их количество должно удовлетворять уравнению. А математики еще 3 тысячи лет назад научились решать линейные уравнения. У этих уравнений в нормальной ситуации всегда одно решение: у = 12 — единствен­ное решение нашего уравнения. Поэтому сколько бы вас ни проси­ли сшить футбольный мяч из 11 пятиугольников — не получится. Слушатель: А если пятиугольников будет 24?