Итак, это движение — поворот. Остается вопрос, на какой угол мы повернули? Для ответа на этот вопрос вспомним, что число q2 лежит на окружности, то есть равно cos р + г sin р при некотором значении угла р.

Я утверждаю, что наше движение является поворотом именно на угол р. Потому что точка qi = 1 перешла в точку qiq2 = cos р + + i sin 9?. А раз единица в нее перешла, значит, мы повернули плос­кость на угол р. Ведь комплексное число q\ = 1 + 0* имело в на­чальный момент нулевой угол поворота.

Таким образом, любая точка переходит в точку, которая полу­чается поворотом па угол р соответствовавшего исходной точке вектора.

В частности, если я беру некоторый вектор и умножаю его на вектор cos р + i sin p, то он переходит в вектор, повернутый на угол р. Особый важный случай это умножение на вектор cos7r/2 + *sin7r/2, то есть просто на число i. Умножение вектора на i приводит к тому, что этот вектор поворачивается на 90°. Это особенно важно для тех технических вузов, где изучают ТОЭ (теоретические основы электротехники). Злые языки даже утвер­ждают, что перед основным экзаменом по ТОЭ там производится предэкзамен: у студента, заснувшего на лекции, над ухом стре­ляют хлопушкой и грозно спрашивают: УМНОЖЕНИЕ на *? Он должен сразу ответить: ПОВОРОТ НА 90 ГРАДУСОВ! (рис. 152).

Рис. 152. Умножение на i это поворот на 90°.

И окончательно. При умножении комплексных чисел углы складываются. Это правило, которое мы вывели, позволя­ет нам увидеть все арифметические операции над комплексными числами. А именно, при сложении комплексных чисел складыва­ем их как вектора по правилу параллелограмма. При умноже­нии длины векторов перемножаются, а углы поворотов скла­дываются. Слегка почесав в затылке, можно даже сказать так: при делении комплексных чисел их длины делятся, а углы поворота вычитаются друг из друга.

Сейчас будет бонус. Наконец-то мы запомним две зловредные формулы.

Давайте возьмем еще одну точку, лежащую на единичной окружности: сояф + isint/j. Куда она перейдет при умножении на cos р + i sin 93?

Она перейдет в точку той же окружности, но повернется на угол р. То есть суммарный угол для произведения будет (ф + ip). Получается, что произведение

(cos ip + i sin ip) (cos ф + i sin ф)

равно cos(p + ф) + i sin(9? + ф).

Теперь раскроем скобки:

(cos ip + i sin ip) (cos ф + i sin ф) =

= cos if cos ф + cos pi sin ф + i sin ip cos ф + i sin pi sin ф =

= (cos pcos ф — зтрзтф) + *(cos рзтф + sin93cos ф).

С другой стороны, это произведение равно cos(p + ф) + i sin(9? + ф). Получается, что

cos(p + ф) + i sin(9? + ф) =

= (cos рcos ф — зтрзтф) + *(cos рзтф + sin93cos ф).

Но если два комплексных числа равны друг другу, то веще­ственная часть равна вещественной, а мнимая — мнимой:

cos (р + ф) = cos^cos'i/; — зтрзтф, sin(9? + ф) = cos р sin ф + sin р cos ф.

Это и есть те «зловредные» формулы, которые доставляли вам головную боль в школе, всем поголовно. Они очень легко выводят­ся с использованием комплексных чисел.

Некоторые соображения о преподавании математики в школе.

У каждого человека есть некие безумные идеи, в которые он свято верит. Я свято верю в то, что школьная математика должна быть устроена следующим образом.

Преподавание математики начинается с движений, причем сразу же вводится понятие группы движений — сперва прямой и окружности, затем плоскости. Давайте без обиняков это назы­вать своими именами — группа движений изучаемого объекта. Потом следует полная характеризация этих групп движений че­рез то, сколько у тех или иных движений имеется неподвижных точек.

Есть такая теорема «о трех гвоздях». Если три точки плоско­сти остаются неподвижными при движении, то движение является тождественным преобразованием, то есть оно вообще ничего не ме­няет. Для прямой и для окружности имеются очевидные аналоги этой теоремы, которые еще проще.

Завершим вкратце классификацию движений плоскости. Если у движения имеются две различные неподвижные точки, то непо­движной окажется и вся прямая, их соединяющая, а само пре­образование будет являться отражением относительно этой прямой. Если у движения ровно одна неподвижная точка, то это движение является поворотом. Если неподвижных точек нет, мы получаем два вида движения: параллельный перенос и сколь­зящая симметрия. Больше никаких движений плоскости нет.

Это — теорема Шаля, которая должна входить во все школь­ные программы. После того, как это прошли, нужно приступать к комплексным числам. Надо сразу сказать, что плоскость — это комплексные числа, образующие поле. Все основные алгебраи­ческие понятия должны быть введены прямо в детском саду, чтобы потом в школе уже было можно браться за дело34.

После изучения комплексных чисел выводятся правила умно­жения и сразу — переход к тригонометрии. Тригонометрия — это просто операции с комплексными числами, лежащими на окруж­ности.

А дальше можно переходить к более интересным вещам, напри­мер, к диофантовым уравнениям.

Обсудим, при чем тут комплексные числа (которых Диофант не знал) и диофантовы уравнения? На вещественной оси есть числа специальной природы, называемые целыми. Они «живут» на одинаковом расстоянии в обе стороны от 0 до бесконечности. Это числа 0, ±1, ±2, ±3, ±4 и так далее. Между ними «живут» вся­кие другие числа, которые нас пока сейчас интересовать не будут (рис. 153). Диофантовы уравнения это уравнения, которые на­до решать в рациональных либо в целых числах. Мы ограничимся целыми решениями. На прошлой лекции мы рассматривали сле­дующее уравнение

2 , 2 2 X + у = Z .

Мы его решили двумя способами: с помощью анализа делимости в обычных целых числах и с помощью алгебраической геометрии. Есть еще и третий способ.

Рис. 153. Рошотка целых чисел на числовой оси (такого рода решетки бывают и на плоскости).

Подобно тому, как среди вещественных чисел можно выделить замечательное семейство целых, можно выделить не менее замеча­тельные семейства и среди комплексных чисел. Чем целые числа принципиально отличаются от вещественных? В них (во множе­стве целых чисел) нельзя делить. Иногда получается разделить, а иногда нет. Анализ того, что на что делится, приводит к со­держательной и красивой науке: к простым числам, к основной теореме арифметики и, в конечном счете, к решению этого самого уравнения х² + у² = z².

Теперь мы живем на плоскости, и хотелось бы сделать что- нибудь подобное во множестве комплексных чисел. Давайте по аналогии распространим целые числа на плоскость. Как будут выглядеть целые числа на плоскости? Скажу по секрету, что па плоскости имеется огромное количество числовых систем, ко­торые обобщают и продолжают целые числа. Можно построить числовые системы разными способами, и они все чрезвычайно важ­ны для многих диофантовых уравнений. Различные диофантовы уравнения требуют различных числовых систем. Но самое про­стое это рассмотреть комплексные числа, у которых просто обе части (и вещественная и мнимая) являются целыми числами (рис. 154).

Рис. 154- Загадочные гауссовы числа: среди них есть «простые», но как раз они-то и оказались самыми загадочными.

Узлы этой сетки и есть «целые числа» на плоскости. Первым их рассматривал Гаусс, мы назовем их Z[t\. Z — значит «целое», [*] — конкретное комплексное число, присовокупленное к целым.

Он к целым числам прибавил число i и спросил себя: а какие тогда должны быть числа еще взяты? Если мы взяли i и взяли 1, то мы должны, конечно, взять их сумму 1 + i. Потому что мы должны уметь складывать, вычитать и умножать (если хотим действовать по правилам обычных целых чисел). Ясно, что эти требования нас в конце концов приведут ко взятию произвольных целых кратных числа сложенных с любыми целыми (обычными) числами.

Числа вида а + Ы, где а, b — целые числа, называют гауссовыми числами. Складывать и вычитать их можно «покомпонентно», то есть (а + Ы) ± (с + di) = (а ± с) + (Ь ± d)i. При этом «на выходе» получаются снова Гауссовы числа, потому что сумма и разность целых чисел всегда являются целыми числами.

Но для полноценной работы с новыми числами нужно уметь их друг на друга умножать. Чудо состоит в том, что при перем­ножении Гауссовых чисел по обычным правилам перемножения комплексных чисел «на выходе» снова получаются Гауссовы, то есть целые комплексные числа. Читателю книги доставит удоволь­ствие самостоятельно перемножить два Гауссовых числа, чтобы увидеть, что целочисленность вещественной и мниной частей ре­зультата умножения сохраняется.

Кроме того, новые числа удовлетворяют всем тем же принци­пам умножения, вычитания и сложения, которые верны для обыч­ных целых чисел (потому что новые числа — это «подмножество» комплексных чисел, а последние этим правилам подчиняются).

В то же время из-за того, что мы акцентируем внимание на их «цельности», то есть целочисленности, у нас появляются нетриви­альные моменты, связанные с их делимостью друг на друга (анало­гично тому, как в системе обычных целых чисел разрабатывается теория делимости, теория простых чисел и разложение на простые множители).

В частности, можно определить понятие простого гауссова чи­сла.

Так вот, оказывается, что всё, что мы знаем про целые числа — делимость, простота, основная теорема арифметики — удивитель­ным образом переносится на '/■{']■ то есть на систему Гауссовых чисел. Любое Гауссово а + Ы с целыми а и Ъ единственным обра­зом раскладывается в произведение простых чисел, которые уже ни на что не делятся.

Небольшое замечание: на числа 1, г, —1 и —г делятся все Гауссо­вы числа, так же, как в целых числах на прямой все числа делятся на 1 и — 1. Например, (а + Ы) : % = b — ai. Это чуть-чуть услож- пяет ситуацию, потому что однозначность разложения на простые множители выполняется лишь с точностью до умножения и деле­ния на 1л’, —1 и —Потому что с точки зрения теории делимости (а + Ы) и {Ь — ai) это один и тот же простой множитель.

Для целых чисел на комплексной плоскости вообще появляет­ся много фокусов, которых не было для целых чисел на прямой. Например, число 2 перестало быть простым. Ибо оно раскладыва­ется на множители 2 = (1-И’)(1—*). Кстати, из геометрии это тоже следует (рис. 155).

Рис. 155. Вот чудоса-то: сумма чисел (1 + г) и (1 — г) равна их произве­дению! Но обычное число 2 похитрее будет: 2 + 2 = 2- 2 = 2².

По правилу умножения мы должны взять произведение двух длин. Длина вектора 1 + i равна длине вектора 1 — и обе равны \/2. так как это гипотенуза прямоугольного треугольника с еди­ничными катетами. Значит, у произведения должна быть длина у/2 · у/2 = 2.

Посмотрим, что произойдет с углами. При умножении углы складываются. Но они у нас противоположные по знаку, значит, при сложении получится 0. То есть при умножении мы получим вектор длины 2, направленный по оси X. Обратите внимание, что мы невзначай нашли одно из решений уравнения в комплексных числах: г + w = zw (подпись к рис. 155).

Какие еще числа перестают быть простыми? Например, число 5. Теперь 5 = (2 + *)(2 — *) = 2² + Г². А число 3 можно разложить на множители или нет? Есть ли тут какое-то общее правило?

Оказывается, есть. Более того, ответ на заданный вопрос тес­нейшим образом связан с вопросом про «обычные» целые числа.

а именно: какие простые числа можно представить в виде суммы двух полных квадратов — то есть двух чисел, из которых можно нацело извлечь квадратный корень? Потрясающим образом этот вопрос решается введением Гауссовых чисел и изучением их ариф­метики.

Окинем еще раз взглядом наши построения. Мы ввели ком­плексные числа. Потом в них выделили семейство «целочислен­ных» комплексных чисел и назвали их гауссовыми. Там развили делимость, научились делить с остатком, обнаружили «Основную теорему арифметики». Зачем? Ответ таков: некоторые вопросы из арифметики обычных целых чисел можно решить только че­рез гауссовы числа.

Какие простые числа представляются в виде суммы двух ква­дратов? Эта задача чрезвычайно важная в теории кодирования. (Здесь под словом «кодирование» понимается запись информа­ции в таком виде, чтобы ее не смогли прочесть посторонние ли­ца. А «посторонние лица» обычно очень интересуются методами «взлома» использованного кода.) Человек, который что-то знает про кодирование/декодирование, может взять и разрушить систе­му Пентагона в два щелчка мыши (вот вам и готов международный конфликт).