Вопросы математического кодирования — это вопросы пример­но такого же типа, как и задача о разложении простого числа в сумму двух квадратов. И вот долгожданный ответ на поставлен­ный выше вопрос.

Теорема. (Ферма — Эйлер — Гаусс. Гаусс здесь упомянут по­тому, что он ввел Гауссовы числа и установил простым образом все три эквивалентности, приводимые в формулировке.)

«Обычное» простое число (не комплексное) р является суммой двух квадратов, то есть р = х² + у² (х и у — обычные целые числа), тогда и только тогда, когда р перестает быть простым в гауссовой системе чисел Z[i]. И происходит это тогда и толь­ко тогда, когда либо р = 2, либо число «р» имеет, остаток 1 при делении на 4, то есть р = 4fc + 1.

У Гаусса несколько «царских результатов». Он называл их раз­ными именами. Например, есть некий закон про поведение остат­ков при делении одних чисел на другие. Гаусс назвал его «золотым результатом», «золотой результат Гаусса». Связь между предста­вимостью простого числа р в виде суммы двух квадратов и его «поведением» в системе Гауссовых целых чисел — это королевская теорема Гаусса. Как следствие, «сокращая одну из эквивалентно­стей» в теореме выше, получаем как раз теорему Ферма — Эйле­ра: Простое число в обычных натуральных числах явля­ется суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда оно имеет остаток 1 при делении на 4. Это мгновенно вы­числяемая характеристика. Например, 97. При делении на 4 дает остаток 1: 97 = 96 + 1 = 4 · 24 + 1. Значит, по нашей теореме оно должно представляться в виде суммы двух квадратов. Так и есть: 97 = 81 + 16 = 9² + 4².

Возьмите число, в котором 25 цифр. Проверьте, что оно имеет остаток 1 при делении на 4, это очень просто. Проверить, что оно простое, немножко сложнее, но тоже не очень долго. Так вот, если вы узнали, что оно простое, и вычислили, что оно имеет остаток 1 при делении на 4, то вы можете спорить на любую сумму с любым неверующим Фомой, что есть два числа, суммой квадратов кото­рых исходное число является. Никакого полного доказательства этой теоремы, кроме как через гауссовы числа, мне не известно (существует, говорят, по крайней мере 6 доказательств).

Давайте вернемся к пифагоровым тройкам. Пифагоровы тройки очень красиво находятся с помощью гауссовых чисел. Предполо­жим, есть тройка ж, у, z обычных целых чисел, которые являются сторонами прямоугольного треугольника, то есть

2,2 2 Ж + у = Z .

Опять рассмотрим прямоугольный треугольник, наименьший в се­мействе. Иными словами, ж, у, г попарно взаимно просты, у них нет общих делителей. Тогда довольно просто показать, что (ж + уг) и (ж—yi) — также взаимно просты (это следует из разной четности ж и у).

То есть у гауссова числа и сопряженного ему гауссова числа нет общих делителей.

Вспоминаем прошлую лекцию: (х + уг)(х — уг) = z².

Произведение равно квадрату некоторого числа. Значит, все (Гауссовы) простые множители числа г входят в него в четной степени. Это означает, что в левой части уравнения стоит, с точ­ностью до обратимых множителей, произведение двух квадратов.

Этот прием применяется во всех похожих структурах, не только в гауссовых числах. Если мы можем доказать основную теорему арифметики, то будет верен и этот замечательный результат: если произведение двух взаимно простых чисел равно квадрату, то ка­ждое из этих чисел является квадратом с точностью до умноже­ния на обратимые числа 1. /. — 1 и —i (для гауссовых чисел) или до умножения на любые другие обратимые числа (если целые чи­сла — не гауссовы).

Заметая «под ковер» исследование дополнительных обратимых множителей, делаем вывод, что

(х + yi) = (т + га)² = т² + 2 mni — п² = (т² — п²) + 2 mni.

Комплексные числа равны в том и только том случае, когда их вещественные и мнимые части равны:

х = т² — п², у = 2 тп.

Отсюда уже нетрудно вывести и формулу для гипотенузы Пифа­горова треугольника: г = т² + п².

Вот мы и получили «формулу индусов». Через гауссовы числа она выводится почти в одну строчку.

Теперь — пара слов про великую теорему Ферма. Такие ме­тоды, как тот, который мы сейчас рассматривали, развивавшие­ся весь XIX век, не привели к решению великой теоремы Ферма для всех показателей. Привело совершенно другое соображение. Соображение такое: если бы существовала тройка а, Ь, с такая, что а^п + Ъ^п = с”, то существовала бы некоторая, как математики выражаются, эллиптическая кривая с набором свойств, которые противоречат ее природе. Это — доказательство великой теоремы Ферма в одной фразе. Правда, к этой «одной фразе» придется до­бавить фраз 20-30, чтобы хоть слегка пояснить, что это за зверь такой — эллиптическая кривая, и, главное, какое отношение она имеет к великой теореме Ферма.

Ну и последний сюжет.

Диофант решал самые разные уравнения. Некоторые он сфор­мулировал, но был не способен решить. А точнее, решения некото­рых из них не найдены в первых 6 томах. Мы ничего не знаем про оставшиеся 7 томов, и я не удивлюсь, если в них было всё, что по­том открывали в XVII, XVIII, XIX веках. В частности, Эйлер стал рассматривать одно из тех уравнений, которые Диофант не решил. Может, ли быть так, что квадрат некоторого натурального чи­сла отличается от куба другого натурального числа на единицу? То есть требуется решить в целых числах уравнение

а² = Ь³ ± 1.

То, что квадрат одного числа просто равен кубу другого, очень легко представить себе, если а = с³ и b = с², при некотором целом с. В самом деле, тогда

а² = (с³)² = _С6 = (с²)³ = Ь³.

Возьмем, например, с = 3. Тогда а, = 27, b = 9: 27² = 9³ = 729. Так что эта задача неинтересная. Правда, число 729 напоминает мне один разговор.

Однажды два математика беседовали в кафе. Один другому го­ворит: «На свете нет ни одного числа, которое не было бы чем-то удивительным, просто ни одного». А второй отвечает: «Ну, как же? Ну, я возьму навскидку 1729. Что интересного в числе 1729?» А второй посмотрел на него и сказал: «Ты сам не догадываешь­ся, насколько удивительное число ты назвал! Это первое из нату­ральных чисел, которое двумя разными способами представляется в виде суммы двух кубов».

Пальцем в небо ткнул и попал в число 1729. И вот что оказа­лось. Действительно, 1729 = 9³ + 10³, и 1729 = 12³ + I³. Второй математик был сражен этим аргументом.

Так вот, бывает ли, чтобы куб и квадрат отличались на единич­ку?

Допустим, ваш ребенок играет в кубики. Он сложил из них боль­шой куб, а вы украли у него один кубик. Тогда ребенок взял, раз­валил куб и сложил большой огромный квадрат. Может ли такое быть? Эйлер полностью решил эту задачу (а² = Ь³ ± 1).

Решим только одно уравнение из двух, потому что другое очень сложное: а² = Ь³ + 1 — сложное, а² = Ь³ — 1 простое.

В обоих случаях можно выписать ответ в явном виде.

У второго уравнения решений нет, кроме тривиальных: а = О и b = 1. Мы это сейчас докажем. А у первого, кроме тривиальных (а = 1 и b = 0), решением является пара (2,3). Ведь З² = 2³ + 1. Других решений нет. Эйлер и это доказал, но весьма сложным путем.

Разберем простой вариант:

а² = Ь³ — 1, а² + 1 = Ь³, (а + i)(a — i) = Ь³.

Могут ли у (а + i) и (а — г) быть общие множители? Пусть (а + i) и (а — г) делятся на какое-то простое гауссово число. Тогда их разность

(а + г) — (а — i) = а + г — а + г = 2г

тоже на него делится.

Простых гауссовых чисел, которые делят число 2i, всего одно: (1 + г). Есть еще 1 — г, но это «то же самое простое число», ибо 1 — г = (—г)(1 + г) — то есть, одно получается из другого умноже­нием на обратимое.

Значит, наши числа (a + i) и (a — i), если они не взаимно просты, могут делиться только на (1+г). Но тогда их произведение делится на (1+*)² = 2г. Значит, Ь делится на 2, а Ь³ — на 8. Но тогда а² будет иметь остаток 7 при делении на 8, так как а² + 1 = Ь³. А значит, остаток 3 при делении на 4. А, как мы выяснили на предыдущей лекции, таких квадратов не существует. При делении на 4 квадрат дает в остатке либо 1, либо 0. Поэтому такого быть не может.

Значит, ни одного общего делителя у чисел (а + i) и (а — i) нет. Их произведение является поэтому кубом некоторого гауссова числа. Согласно основной теореме арифметики, из этого следует, что каждое из них само является кубом гауссова числа (снова с точностью до умножения на обратимый элемент 1, i, —1 или i). Но все они тоже кубы, так что сформулированное утверждение верно в точности: скажем, а + г = (т + га)³.

Вдумайтесь, что мы сделали. Мы взяли обычное уравнение в це­лых числах. Зачем-то перешли в гауссовы числа и внутри гаус­совых чисел разложили левую часть на множители. После чего, живя внутри гауссовых чисел, мы сказали, что тогда

а + i = (т + га)³.

При этом а — целое не гауссово число. Гауссово число (а + i) живет на один шаг выше оси х.

Это число должно быть равно кубу некоторого гауссова числа. Теперь вспомним формулу куба суммы и раскроем скобки:

о о о 0 4

а + i = (т + га) = т + 3т ni — Зтп — п i =

= (т³ — 3 тп¹) + *(3m²n — п³).

Комплексные числа равны, значит равны их вещественная и мни­мая части:

а = т³ — 3 mn², 1 = 3 т²п — п³.

Я вернулся из гауссовых чисел в обычные целые числа. С помо­щью гауссовых чисел я сделал вывод, который никогда в жизни не сделал бы без них. Из а² = Ь³ — 1 я получил, что

т²п — п³ = 1.

Теперь уже всё просто:

т²п — п³ = 1, n(3m² — п²) = 1,

п и 3т² — п² — целые числа. Два числа дают в произведении 1 тогда и только тогда, когда они одновременно равны 1 или — 1.

п = ±1, 3 т² — п² = ±1.

Вы заметили, «единицу можно разложить на множители един­ственным способом: либо 1 умножить на 1, либо — 1 умножить на

1». Второй способ неотличим от первого, так как второе реше­ние можно сократить на «обратимое число» (—1). Так что второй случай кажется ненужным для рассмотрения — вроде как получа­ется избыточная аргументация. Но, как будет видно ниже, второй случай отнюдь не лишний.

Мой учитель Саша Шень рассказывал замечательную историю про то, как он стал математиком «из-за избыточной аргумента­ции». Ему подали рыбу, филе (я сам очень долго, лет до 30, ду­мал, что филе — это название рыбы). Так вот. Ему подали филе, и он сказал: «Мама, ну тут кости! Ты можешь вынуть кости?» А мама применила следующий замечательный логический прием, поставив его на дорогу математика. Она сказала: «Так! Саша, во- первых, это филе, и костей в нём быть не может. А во-вторых, где ты видел рыбу без костей?» Саша настолько был потрясен такой «железобетонной» логикой, что после этого стал математиком.

Итак, разберем наши два случая. Хотя они одинаковы с точки зрения единственности разложения на множители, но они не оди­наковы с точки зрения наличия решений!

Первый случай: п = 1, 3т² — п² = 1, следовательно, 3т² = 2. Но т — целое число. Значит, такого быть не может.

Второй случай: п = — 1, 3т² — п² = — 1, следовательно, 3т² = 0. Получаем т = 0.

а + г = (т + га)³ = (0 — *)³ = (^*)³ = г.

Так как а + i = г, то а = 0. Но Ь³ = а² + 1, значит, 6=1.

Это — единственное решение исходного уравнения. Получает­ся, что кроме тривиальных решений, других решений уравнения а² = Ь³ — 1 нет.

Из этой теории можно сделать следующий практический вывод. Если у вас с ребенком вышла такая ситуация, что он сложил из кубиков большой куб, вы украли у него кубик, и он сложит ква­драт, значит, что-то не так. Значит, он кубик «украл обратно» (и их было 729 скорее всего!). Вы можете сказать: «Так, ты похитил у меня кубик!»

Как, папа? Как ты это увидел? Ты, наверное, ясновидя­щий. ..