Рис. 145. Сложение комплексных чисел.

Точки (х, у) и (г, t) задают нам два вектора на плоскости, выхо­дящие из начала координат. Если сложить два вектора, получится вектор с координатами (х + z,y + t).

В школе это называют правилом параллелограмма.

Сумма двух точек плоскости строится так. Берем век­торы, порождаемые нашими точками, и складываем их по правилу параллелограмма.

Вычитание от сложения практически не отличается:

(х + yi) — (z + ti) = (х + yi) + (—z — ti) = (x — z) + i(y — t).

Вектор, порождаемый точкой (z.t), развернется в другую сторо­ну туда, где достроен смежный параллелограмм (рис. 146).

Итак, операции плюс и минус определены и всегда осуществи­мы. Также видно, что у каждого числа есть противоположное к по­му: (х + yi) и (—х — yi). С точки зрения сложения и вычитания система уже построена и ведет себя очевидным образом. Теперь переходим к гораздо более интересной теме. А именно: умноже­ние и деление комплексных чисел.

Рис. lJ_t6. Вычитание комплексных чисел.

Я хочу узнать, как должно выглядеть умножение

(х + yi)(z + ti).

Будем пользоваться распределительным законом, который мате­матики называют дистрибутивным. Проще говоря, разрешается раскрывать скобки: а(Ь + с) = аЬ + ас (как учили в школе).

А также (о, + Ь)(с + d) = ас + Ьс + ad + bd.

Правило дистрибутивности вынуждает нас так умножать. По­тому что так делается в вещественных числах. Давайте попробуем перемножить два комплексных числа

(х + yi)(z + ti) = xz + xti + zyi + yti².

Теперь давайте вспомним, что г² = — 1,

(х + yi)(z + ti) = xz + xti + zyi + yti² =

= xz + xti + zyi — yt = (xz — yt) + (xt + yz)i.

Мы научились умножать. Произведением точек с координатами (х. у), (z.t) служит точка на плоскости с координатами (xz — yt, xt + yz).

Но этого для нас мало, потому что мы не видим, где «живет» на плоскости точка с такими координатами. Мы должны увидеть

ее, попять, как ее построить. Как получить ее из векторов, поро­ждаемых точками (ж,у), (z,t). Какие у этих векторов характери­стики? У них есть длины и углы поворота (отклонения) от оси х. Пользуясь этими данными, мы должны получить новый вектор (xz — yt, xt + yz).

Нам нужно провести некоторое исследование. Для этого разра­ботаем терминологию.

У комплексного числа точки на плоскости первая коорди­ната называется вещественной частью, а вторая мнимой. Мни­мой ее называют потому, что, когда начинали с комплексными чи­слами общаться, считали, что числа i не существует. Существуют только вещественные числа. Остальные не существуют, они как бы у нас в воображении, imaginary numbers. С тех пор у комплексных чисел есть действительная и мнимая части.

Рассмотрим еще такую конструкцию. Для каждого вектора рисуется вектор, симметричный относительно вещественной оси. Точка (х:у) перейдет в точку (х, —у) (см. рис. 147).

Рис. Ц7. Векторы, симметричные относительно оси абсцисс.

Числу х + уг естественным образом сопоставляется число x — yi, которое лежит по другую сторону от вещественной оси.

Числа вида (х + уг) и (x — yi) называются сопряженным,и. Чему равно произведение этих чисел?

(х + yi)(x — yi) = х² + у².

Что такое х² + у² в геометрическом смысле? Это длина век­тора, обозначающего наше комплексное число, возведенная в ква­драт. Квадрат длины комплексного числа, рассматриваемого как вектор, равен произведению его самого и ему сопряженного.

И еще одна выкладка. Интересно, что получится, если я перем­ножу векторы, сопряженные к нашим исходным векторам:

(х — yi)(z — ti) = (xz — yt) — (xt + yz)i.

Вещественная часть не изменилась, а мнимая поменяла знак. Было (xz — yt, xt + yz), стало (xz — yt, —xt — yz). Получается, что если мы берем произвецение двух сопряженных, то полу­чается сопряженное к их произвецению (рис. 148).

Рис. lJ_t8. Математики сказали бы так: умножение комплексных чисел «уважает» операцию сопряжения, и наоборот. Можно вначале сделать сопряжение каждого сомножителя, а потом перемножить их. а можно вначале перемножить, а после сделать сопряжение перемноженных. Ре­зультат будет одинаковым.

Хотелось бы уметь делить одну точку на плоскости на дру­гую точку. Это тоже совсем не сложно, если, конечно, не делить на ноль. Но на ноль мы и раньше не могли делить. Так что ни­чего удивительного в том, что мы не будем делить на 0, нет. Зна­чит, так. Попробуем разделить на число, которое не равно нулю.

Используем основное свойство дроби: дробь не изменится, если и числитель, и знаменатель умножить на одно и то же число. В качестве такого числа мы возьмем число, сопряженное к z + ti:

x + yi _ (х + yi)(z — ti) _ z + ti (z + ti)(z — ti)

_ (xz + yt) + (yz — xt)i _ xz + yt _| yz — xt. ~ ⁺

Итак, мы получили комплексное число в стандартном виде: веще-

xz + yt, yz — xt

ственная — — и мнимая — — части.

z +t z +t

Всё. Теперь мы умеем делить, умножать, складывать и вычи­тать — всё как с обычными действительными числами. Однако мы пока не видим, как геометрически это выглядит, а это очень важно и чрезвычайно полезно.

Давайте все-таки это поймем. Для этого перемножим

(х + yi)(z + ti)(x — yi)(z — ti).

Если я буду перемножать почленно, то получится

(x+yi)(z+ti)(x-yi)(z-ti) = [(xz-yt)+(xt+yz)i][(xz-yt)-(xt+yz)i\.

Обратите внимание, получились сопряженные комплексные чи­сла — значит, их произведение равно

(х + yi)(z + ti)(x — yi)(z — ti) =

= [{xz-yt) + (xt+yz)i][(xz^yt)^(xt+yz)i}) = (xz-yt)* + (xt, + yzf.

А если я вспомню, что от перемены мест множителей произведение не меняется, и переставлю скобки, то получу

[(_Ж + уг)(х - yi)][(z - ti))(z + ti)] = (х² + y²)(z² + t²).

Но мы же умножали одно и то же, значит, результаты совпадают:

(ж² + y²)(z² + t²) = (xz - yt)² + (xt + yz)².

Это таинственное правило иногда изучается в школе как одно из правил сокращенного умножения. Но смысл его скрывается. Можно честно раскрыть все скобки и получить верное равенство. Совершенно честно, без всяких комплексных чисел. Но если вы сделаете это без комплексных чисел, то природа явления будет не видна и непонятна. А с номощыо комплексных чисел мы го­ворим. что (xz — yt)² + (xt + yz)² квадрат длины вектора, ко­торый является произведением исходных векторов (х,у) и (z.t). А (х² + у²) и (z² +t²) квадраты длин самих исходных векторов. Если я извлеку корень из этих длин, то получится, что

длина вектора произведения равна произведению длин исходных векторов

sj (xz — yt)² + (xt + yz)² = sj (x² + y²)(z² + t²).

Мы узнали, что при перемножении комплексных чисел их длины перемножаются. Осталось выяснить, куда будет напра­влен вектор произведения. Вопрос, что же происходит с углами поворота каждого из сомножителей?

Сейчас я могу только сказать, что мое произведение лежит где-то на окружности радиуса, равного произведению длин наших векторов. Но где именно? Сейчас мы рассмотрим преобразование плоскости. Давайте нанесем на наши оси координат единичную окружность. На этой окружности «живут» точки 1. —1, i и —* (рис. 149).

Рис. 149. Единичная окружность на комплексной плоскости.

Рис. 150. Нижний катет равен cos tp, правый равен siny.

Точка данной окружности определяется углом, на который по­вернулся вектор единичной длины. Косинус это координата по оси X, синус по оси у. В учебниках пишут, что косинус это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Но здесь гипоте­нуза имеет длину 1. Поэтому косинус равен просто горизонтально­му катету. А синус это отношение другого катета к гипотенузе. Гипотенуза имеет длину 1, и синус это просто второй катет.

А теперь я совершу обещанное преобразование: умножу все точ­ки плоскости на комплексное число cos р + imnp.

Напомню, что при умножении комплексных чисел длина полу­чаемого вектора равна произведению длин перемножаемых

sj(xz — yt)² + (xt + yz)² = sjx² + у² \Jz² + t².

Подставим слева в формулу cos р и sin р вместо z к t

sj(х² + у²)(cos² (р + sin² ip) = \J(xz — yt)² + (xt + yz)².

Ho cos² p + sin² p = 1 (основное тригонометрическое тождество, следствие теоремы Пифагора). Получаем

\/(х² + У²)( 1) = \J(xz - yt)² + (xt + yz)².

Мы домножаем па единицу, а значит, длина вектора не изменяется.

Получается, что при умножении на число cos ip + i sin ip любое комплексное число остается на той же окружности, на которой оно лежало.

Комплексное число «жило», например, в точке А, на рассто­янии \Jх² + у'² от точки (0,0); после преобразования оно будет «жить» на той же самой окружности в какой-то другой точке В. но на том же расстоянии от (0,0) (см. рис. 151).

Похожим образом показывается, что для любых двух точек плоскости умножение на cos p+i sin 93 не изменит расстояния между ними.

Рис. 151. В = A - (cos tp + i sinyj)

Иными словами, умножение на число cos p+i sin р, примененное ко всем точкам плоскости, является движением плоскости.

Давайте попробуем понять, что же это за движение.

Для простоты изложения по ходу дела точки плоскости я буду называть комплексными числами, а комплексные числа точка­ми плоскости. Это позволит стереть некоторый налет «мнимости», остающийся в выражении комплексные числа.

Пусть qi = х + yi, qi = z + ti два комплексных числа, вто­рое из которых не равно ни нулю, ни единице, но при этом лежит на единичной окружности (то есть имеет модуль, или длину, рав­ную единице). Второе число, q-2, мы на время всего рассуждения зафиксируем, а первое число, qi, будем «перебирать», подставляя всевозможные комплексные значения.

С помощью формулы Ц\Ц2 мы сконструировали некоторое пре­образование точек плоскости: любая точка сц при этом преобра­зовании переходит в точку Ц\Ц2- Ключевое утверждение состоит в том, что у этого преобразования будет только одна неподвижная точка: q\ = 0 (то есть только одна точка останется на месте).

Проведем доказательство этого утверждения. Допустим, какая- то точка q\ осталась на месте. Это означает, что q\ = qiq2- Пере­несем оба выражения в левую часть, получим:

71 (1 - ?2) = 0.

Мы договорились, что q2 ф 1, а тогда 1 — q2 ф 0, и на этот множитель можно сократить обе части равенства. Следовательно, q\ = 0, что и утверждалось. Таким образом, наше преобразование плоскости является движением (что было установлено выше) и оставляет на месте ровно одну точку, а именно точку q\ = 0.

Один из примеров движения плоскости ровно с одной неподвиж­ной точкой хорошо известен: это — поворот на некоторый угол относительно неподвижной точки. Но, может быть, одними пово­ротами дело не ограничивается? Этот вопрос исследовал француз­ский математик М. Шаль. Оказалось, что ничего, кроме поворо­тов, в этой ситуации быть не может. Принимая его исследования на веру,33 делаем вывод, что изучаемое преобразование является поворотом.