2²’* + 1 (где к = 0,1, 2, 3,...).

Например, простое число 17 удовлетворяет этой формуле, если взять к = 2.

В заключение дам вам простую задачу. Докажите, что если есть некоторое простое число р и простое число q, и можно построить р-угольник и q-угольник, то можно построить и pq-угольник.

Наконец, вот третий сюжет, который мы рассмотрим: постро­ение одной линейкой. Циркуль отменяется. Есть только линейка. Здесь всё еще веселее. Казалось бы, с линейкой многого не достиг­нешь: она может лишь соединять две уже данные точки прямой!

А водь ость небезынтересные задачки. Например: на плоскости да­на неравнобочная трапеция. С номощыо одной линейки разделить пополам верхнее и нижнее основание этой трапеции. Здесь, кажет­ся. совсем не за что ухватиться. Ну. проведем две диагонали в этой трапеции. Ну. продолжим боковые стороны трапеции до пересече­ния. Получили две новых точки. Ну. соединим их тоже. А даль­ше что?

Оказывается, больше ничего. Последняя из построенных пря­мых аккуратно делит оба основания пополам. Да только как это доказать?

Докажем это «методом Декарта». Разместим эту трапецию в до­статочно удобной системе координат на плоскости (рис. 120).

14

12

ю

8 .

О 2 4 6 8 10 12

Рис. 120. Для решения задачи проведены 5 очевидных прямых, послед­няя из которых (пунктирная) как раз и разделит оба основания пополам.

Как следует понимать выражение «удобная система»? Ну. на­пример. такая: весь объект целиком лежит в первой четверти, как можно больше вершин лежат на оси иксов, а одна из них является точкой (0.0). Сам объект задан при этом несколькими параметра­ми. через которые легко выразить различные части объекта, а так­же можно отразить некоторые особенности расположения частей объекта.

при подстановке у = 4 и у = 0 даст абсциссы построенных то­чек. Они окажутся равными 6.5 и 5 соответственно и разделят оба основания нашей трапеции аккурат пополам!

Разобранная выше задача когда-то давалась на школьных олимпиадах примерно для 7 класса. Но когда «широкие массы абитуриентов и репетиторов» познакомились с методом ее реше­ния, кто-то додумался, как ее «слегка изменить» и дать для 10 класса.

Задача. Дана неравнобочная трапеция. С помощью одной ли­нейки разделить нижнее основание на 41 равную часть.

Решение этой задачи тесно опирается на решение предыдущей и вполне может быть найдено школьником 7 класса. Делим оба основания пополам, затем тем же методом — на 4 равные части. А потом на 8 равных частей, и т.д., пока не получим 64 равных части (и на верхнем, и на нижнем основании). После чего дела­ем замечательный трюк: на верхнем основании отсчитываем ров­но 41 часть из 64 и проводим линейкой НОВУЮ БОКОВУЮ ЛИ­НИЮ. Получилась новая трапеция, у которой верхнее основание аккуратно разделено на 41 равную часть. Соединяем точки деле­ния верхнего основания с точкой пересечения боковых сторон но­вой трапеции. Получится 40 прямых линий, продолжения которых аккуратно делят на 41 равную часть нижнее основание.

Видите, какие «волчьи ямы» нам готовят на олимпиадах. Но мне досталась еще более плохая. В ней даже не было точек, через которые можно провести прямые. Прямые надо было проводить наобум, но ответ при этом получить не «наобумный», а вполне конкретный.

Расскажу про эту очень красивую задачу. Я получил ее на экза­мене по геометрии в 11 классе школы № 57. Мой учитель дал мне эту задачу: нарисована окружность и дана точка вне этой окружности (рис. 121).

Построить с помощью линейки касательную к окружности, проходящую через данную точку. Дальше случилось следующее: я нарисовал, как это делать, но, по некоторой причине, доказать

Рис. 121. Води прямые «туда, но знаю куда» и построй касательную.

по смог. (О причине я вам скажу позже, это будет детективная история.) Я получаю за экзамен три балла, а учитель алгебры говорит: «Нет. наверное, у Савватеева было помрачение... давайте четыре поставим».

Давайте посмотрим.

Дана линейка, окружность и точка. Что делать? Можно про­вести несколько прямых, «секущих» окружность. Я провел три прямые «почти наобум» и получил шесть точек на окружности. Затем их накрест соединил и получил еще две точки (рис. 122).

Дальше я соединил эти точки, и мне «внутренний голос» под­сказывает. что точки, которые получились на окружности, как раз и есть точки касания.

Да. говорит мне экзаменатор. это правильная конструк­ция. Докажи. Докажи, что это точки касания.

Что такое касание в терминах геометрии? Касание прямой и окружности в терминах школьной геометрии означает, что пря­мая и (полная) окружность пересекаются в одной точке. Имеют одну общую точку. Как же это можно доказать? Сейчас я вам по­кажу такое доказательство, что у вас от него пойдут по коже му­рашки. Но. во-первых, на экзамене я его не дал; а во-вторых, надо

сделать предварительные пояснения, что такое «проективные пре­образования» (не входящие в общеобразовательный курс обычной средней школы). Ну и, кстати, это же обоснование можно было сде­лать обычным «методом Декарта» (то есть, рассмотрев некоторую систему прямоугольных координат). Правда, при этом останется «за кормой» истинная красота решения этой задачи.

Врезка 10. Проективная геометрия — новый мир мате­матики

Что такое «проекция», знают многие. Это — тень, которая от­брасывается на плоскость предметом, освещаемым точечным ис­точником света — либо находящимся недалеко (и тогда лучи све­та, исходящие из него, расходятся), либо лежащим на бесконечном расстоянии (тогда лучи света параллельны). Пример для первого случая — свет небольшой настольной лампы. Для второго — сол­нечный свет. Однако тень от непрозрачного предмета может при­вести к заблуждению. Например, можно изготовить такой пред­мет, от которого тень, отбрасываемая вдоль оси X, имеет форму квадрата, вдоль оси Y — форму круга, а вдоль оси Z — равно­бедренного треугольника. Чтобы изготовить такой предмет, возь­мите деревянный цилиндр (с высотой, равной диаметру) и акку­ратно стешите топором с двух сторон дерево так, чтобы снизу остался круг, а сверху он превратился бы в отрезок, по длине равный диаметру круга. Поэтому при практическом применении проективной геометрии возникает проблема, как рисовать пунк­тирные линии, чтобы лучше понять структуру изучаемого пред­мета и в то же время не сильно загромоздить чертеж этими лини­ями.

Когда математики попытались дать себе более ясное предста­вление о том, что же такое есть «проекция», они ужаснулись. Оказалось, что тенью от окружности может служить не окруж­ность, а эллипс («сплющенная окружность») и даже просто отре­зок. И длина этого отрезка может быть больше диаметра окруж­ности. Но это были еще только цветочки. Оказалось, что проекци­ей эллипса может оказаться... бесконечная кривая, называемая «ветвь гиперболы». Таким образом, понятие проекции неизбежно включало в себя бесконечно удаленные точки (и они спокойно мо­гли переходить в обычные точки, и наоборот). Но тогда возник во­прос — в каком же «мире» мы изучаем проективную геометрию: на прямой, на плоскости, в пространстве? Ответ: не на прямой, а на проективной прямой. Она получается из обычной прямой до­бавлением одной новой точки: бесконечно удаленной. Казалось бы, от этого добавления прямая оказалась «еще более бесконечной» (ведь она была бесконечной и без добавления новой точки). Но, как выяснили топологи, полученный объект по своим свойствам совпадает с обычной окружностью. А ведь ее мы не считаем бес­конечной!

Второй вопрос: а как теперь быть с плоскостью? ОТВЕТ: не с плоскостью, а с проективной плоскостью. Она получается из обычной плоскости «подклеиванием» к ней «бесконечно удален­ной прямой», составленной из различных бесконечно удаленных точек. Так она, наверное, бесконечная? Нет, не бесконечная. Но очень необычная. Гуляя по проективной плоскости, можно совер­шенно незаметно перейти с одной стороны плоскости на другую. Точнее говоря, на ней НЕТ «одной» и «другой стороны» — сторона у нее только одна. Подумайте над этим! Допустим, гуляли по этой плоскости два совершенно одинаковых близнеца: Alexey Savvateev и Алексей Савватеев. Кто-то из них остался стоять на месте, а дру­гой тем временем быстро пробежался по проективной плоскости и оказался с другой стороны — как раз под первым из близнецов. Представляете, как они жестоко поспорили — кто из них стоит нормально, а кто — вниз головой? ПОДСКАЗКА. Раз они живут на этой плоскости, то их рост (как и толщина проективной плос­кости) равен 0 см.

Насчет проективного пространства. Вы уже догадались, что для его получения надо к обычному пространству «подклеить» бесконечно удаленную плоскость, состоящую из бесконечно уда­ленных точек. Во всех случаях при проективном преобразовании вновь добавленные точки могут спокойно переходить в старые точ­ки, и наоборот. Они никак не отличаются друг от друга. Вы ска­жете: «Такого не может быть, потому что не может быть никогда! Как же можно одну перепутать с другой? Ведь прежние точки бы­ли близким к нам, а эта связана с бесконечностью, то есть очень далекая».

Так вот. В проективной геометрии НЕТ таких понятий, как «близкий» и «далекий». Ее выдумали для других целей. Так что все точки (в пределах понятий этой науки) одинаковы. Зато в ней есть свои важные понятия: прямая, плоскость, точка, двойное от­ношение и многое другое. Например, есть такое понятие, как КО­НИКА. Что это за зверь? Это не один зверь, а сразу три — в нашей обычной геометрии они назывались «эллипс», «гипербола» и «па­рабола». А в этой геометрии они НЕРАЗЛИЧИМЫ.

И в заключение полезно сообщить важную информацию и важ­ную теорему.

Информация. При проективном отображении одной проектив­ной плоскости на другую проективную плоскость любые три точ­ки, лежавшие на одной прямой, превратятся в три точки, ТОЖЕ лежащие на одной прямой.

Теорем,а. Для любых двух четверок точек А, В. С. Г) и М, N, Р, Q (в каждой из четверок любые три точки не лежат на одной прямой) существует ровно одно проективное преобразование /, для которого f(A) = М, f(B) = N, f(C) = Р, /(Ј) = Q.

А теперь как НАДО было решать эту задачу (построить каса­тельную из точки к окружности одной линейкой, см. рис. 121).

Прежде всего, мы выходим из плоскости в пространство. Выби­раем там еще одну плоскость. Я проецирую на нее мою картинку (рис. 123) из некоторой точки А. Причем точка А и новая плос­кость расположены так, что прямая АО и эта плоскость парал­лельны. (О — это точка, в которой пересекаются три произвольно проведенные мною прямые, а также касательная, пока еще мною не построенная.)

Рис. 123. Исходная картинка с гипотетическим построением касательной расположена в «левой» плоскости. Точка пересечения всех прямых на ней обозначена за «О». Точка А еще левее. Прямая АО параллельна правой плоскости, и в ней мы видим ту самую картинку, которая всё и объясняет.

Моя точка О уйдет па бесконечность, так как ей не найдется места на новой плоскости (для того мы и брали прямую АО парал­лельной новой плоскости), окружность превратится в эллине, а все прямые, проходившие через точку О в параллельные прямые. Их точка пересечения ушла на бесконечность, прямые не пересе­каются. а значит, в геометрии Евклида они параллельны. (Мне. конечно, не могли дать эту задачу на школьном экзамене в рам­ках неевклидовой геометрии.)

А теперь смотрите, как все просто. Наша окружность с прямы­ми перешла в следующую конструкцию (рис. 124). На ней пучок параллельных прямых сечет эллине. Требуется построить прямую того же пучка, касательную к эллипсу. Очевидно (и подробно об­основано в пояснении к рисунку), что построение, аналогичное сде­ланному мной, решает данную задачу.

Но свойство касания сохраняется при проектировании: раз пря­мая с эллипсом имеет одну точку пересечения, значит, на прообра­зе (то есть, на исходной плоскости) тоже должна быть одна общая

Рис. 124- На новой плоскости картина проясняется. Все пять прямых (здесь я провел обе касательные) теперь пересекаются в бесконечно уда­ленной точке (то есть, по-школыюму. не пересекаются). Окружность пре­вратилась в эллипс (а могла бы превратиться и в параболу; но нам этого не нужно). Точки касания находятся в самой верхней и в самой ниж­ней точке эллипса. «Кресты» на этом рисунке стали симметричными, поэтому ясно, что их центральные точки, а также точки касания лежат на одной прямой. Значит, и прообразы этих точек лежали на одной пря­мой. Это и есть обоснование того метода решения, который я использовал в этой задаче.

точка. Следовательно, это точка касания. Теорема доказана.

Надо только выйти в пространство. Проектируете, превращаете в параллельный ноток, и всё очевидно.

Почему же я не придумал в школе такое простое решение? Дело в том. что в 11 классе, в котором изучались проективные преобра­зования (а это проективное преобразование), наша учительница литературы Зоя Александровна Блюмина решила набрать гумани­тарный класс. Чем отличается гуманитарный класс от математи­ческого класса? Конечно же. количеством девушек. Понятно, что вся математика для 11 класса была отменена явочным порядком! Все бегали к гуманитарному классу, поболтать. Я всю проектив­ную геометрию прогулял.

* *

Давайте немножко разбавим проективную геометрию. В мате­матике есть некоторое количество неожиданно прикольных задач! Они просто падают с неба. Я помню одну задачу, которую мне да­ли на олимпиаде в 7 классе. Задача про ученика, который сбежал с урока и плавает в круглом бассейне. Учитель его обнаружил в бассейне, подходит к границе бассейна с розгами в руках и гово­рит: «Я тебе сейчас всыплю. Сейчас ты только выйдешь из бассей­на, и я тебе всыплю». А ученик отвечает: «Нет, Вы же не умеете по земле бегать быстрее меня. По земле я от Вас убегу». «Ко­нечно, ты от меня убежишь, но ты же где-то должен высадиться из воды на землю, правильно? Вот там-то я тебя и схвачу за ши­ворот и выпорю розгами». «Ну да, если Вы сможете меня пе­рехватить в момент, когда я буду вылезать из бассейна, то да. Я вылезу в таком месте, где Вас не будет». «Нет, ничего у тебя не выйдет». «Нет, выйдет».