Поэтому мы легко находим координаты точек Л/. N: М(4/5,4/5) и iV(4/3,4/3), а также обычное тройное отношение от­резков ОМ : Л / N : NL = 6:4:5 (а не 1:1:2, как было «на мест­ности»), Можно теперь ввести координаты на прямой OL таким образом, что точка М получит координату 6, точка N координату 10, а точка L координату 15. При этом поменяется масштаб, но он на двойное отношение четырех точек влияния не оказывает.

Теперь мы убедимся, что «ДвОты» для точек О, R, S, Т и для точек О, М, N, L будут СОВПАДАТЬ, несмотря на то, что обыч­ные отношения для них не совпали.

В самом деле, для точек О, R, S, Т ДвОт =

Для точек же О, М, N, L ДвОт = ^^ ^

* *

Теперь второй сюжет: построения циркулем и линейкой.

(В 11 классе я на экзамене по геометрии получил такое зада­ние, что даже и циркулем пользоваться было нельзя. Третий сю­жет, который мы рассмотрим, — это построение одной линейкой. Циркуль отменяется. Есть только линейка. Здесь всё еще веселее. Я расскажу про одну конкретную очень красивую задачу. Но об этом — ниже.)

Помните ли вы о построениях циркулем и линейкой? Построе­ния циркулем и линейкой выводят на весьма сложные математи­ческие закономерности. Что мы умеем строить циркулем и линей­кой? Можно, например, построить равнобедренный треугольник, если известны длина основания и длина боковой стороны.

Ну, скажем, основание 10 см, а боковые стороны — по 13 см. Линейкой проводим любую прямую, циркулем делаем на ней в лю­бом месте засечку. Циркулем же измеряем основание (10 см) и де­лаем па прямой вторую засечку, предварительно установив иглу циркуля в первую. Берем раствор циркуля равным длине боковой стороны (13 см) и ставим иглу циркуля сначала на левый край основания, проводя достаточно длинную дугу в верхней полуплос­кости, а затем на правый край (и проводим дугу до пересече­ния с первой дугой). Взяв линейку, соединяем точку пересечения дуг сначала с левой точкой основания, а потом с правой (см. рис. 114).

Рис. 114- Построение равнобедренного треугольника с помощью циркуля и линейки.

В общем, всё это быстрее сделать, чем описывать. Если Вы уста­ли, вот вам задачка. Один школьник перепутал, что такое 10 см основание или боковая сторона. И из-за этого построил не тот тре­угольник, что было нужно. Как вы думаете, что сильнее искази­лось (в процентах) из-за рассеянности: площадь треугольника или его периметр? (Ответ: площадь изменилась больше, чем на 15 про­центов, а периметр менее, чем на 10 процентов.)

Можно построить квадрат. А вот можно ли построить пра­вильный пятиугольник с данной стороной? Это не очень про­сто. Но можно. Пифагорейцы уже умели строить правильный пя­тиугольник. Правильный шестиугольник построить совсем про­сто: строю окружность с радиусом, равным заданной стороне 6- угольника. Теперь делаю подряд 6 засечек на окружности окруж­ностью того же радиуса. О чудо, шестая попадает прямо в то место, откуда мы начали. Так уж вышло! Далее прикладываем линейку к первым двум засечкам и проводим отрезок, их соединяющий. Потом то же делаем для следующих двух засечек, и т. д., пока не получим все 6 сторон шестиугольника (см. рис. 115). Итак, пра­вильный шестиугольник построить просто. Треугольник триви­ально. квадрат очень просто, пятиугольник сложно, но можно. Вопрос. Можно ли построить правильный семиугольник? Древние сломали миллион копий в спорах и потратили кучу часов, пытаясь решить эту задачу, но решена она была только в XIX веке!

На самом доле, кроме этой задачи, древние оставили нам еще три известные проблемы.

Трисекция угла. Дан какой-то угол на плоскости. Надо раз­делить его на три равные части. Знаменитая проблема древних; примерно в том же начале XIX века было доказано, что трисек­ция угла с помощью циркуля и линейки невозможна.

Квадратура круга. Что значит «квадратура круга»? Дан круг. Нужно построить квадрат с такой же площадью. Пусть радиус круга г равен единице, тогда его площадь S равна 7г (по формуле S = 7гг²). Значит, нужно построить квадрат со стороной, равной т/ж. Эта задача эквивалентна задаче построения числа ж. которая тоже была решена (в отрицательном смысле), но только в конце XIX века. Почему она была решена позже, чем другие задачи, оста­вленные нам древними? Потому что люди очень долго не понимали структуру числа тт. В начале XIX века было доказано, что можно построить те и только те точки плоскости, у которых обе коорди­наты могут быть получены из единицы за конечное число опера­ций плюс, минус, умножить, разделить, взять квадратный корень. Берете единицу. Вам разрешается ее складывать с самой собой. Так получатся все натуральные числа. Если будете вычитать все отрицательные. Рассмотрим дроби. Дроби математики назы­вают специальным термином рациональные числа. То есть это

числа, которые представляются в виде «целое делить на целое».

Например, число 2 рациональное, так как может быть пред-

4

Рис. 116. Изображение чисел вида при п = 2. Если т четно, полу­чаются целые числа (обозначены кружками). Все прочие числа такого вида изображены вертикальной черточкой.

ставлено, как у или То есть все целые числа также являются рациональными. Давайте посмотрим, где будут жить точки «целое число пополам». Во-первых, будут жить в целых, потому что лю­бое целое, это как бы «удвоенное целое пополам». Во-вторых, они будут жить посередине между соседними целыми (рис. 116).

-0,5 0,5 1,5 2,5

-10 12 3

А если я еще раз разделю пополам? Я могу нарисовать, где жи­вут числа, полученные из целых делением на 3, на 5, на 1000 и т. д. Но удивительным фактом, который был известен уже древним, является то, что не все числа можно представить в виде дроби. Например, я построю квадрат со стороной 1 и возьму его диаго­наль. Ни одна обыкновенная дробь не равна длине диагонали ква­драта. Заметьте, что число, равное диагонали квадрата, строится циркулем и линейкой (так как сам квадрат циркулем и линейкой мы построить можем).

Но оно не является рациональным числом. Это было помещено в первой части книги. То есть мы умеем теперь строить квадратные корни, потому что диагональ квадрата выражается квадратным корнем.

Любое рациональное число можно построить циркулем и линей-

11

кой. Давайте, например, построим —Знак минус просто означа­ет. что число надо откладывать не вправо от нуля, а влево. Чтобы

1 построить достаточно построить ^ и отложить этот отрезок

раз. А чтобы построить у. придется использовать очень удоб­ную :теорему Фалеса (которая изучается в школе). Сейчас мы ею воспользуемся.

Теорема Фалеса (в простейшей формулировке). Если на одной из двух прямых в плоскости отложить последователь­но несколько равных отрезков и через их концы провести парал­лельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки (рис. 117).

Рис. 117. Дво прямые (горизонтальная и наклонная) выходят из начала координат и поросочоны системой параллельных прямых. Если на одной из прямых мы отсекли равные отрезки, то на другой прямой отрезки тоже будут равны между собой (Теорема Фалеса).

Мне дан единичный отрезок. Отложу его по горизонтальной оси от начала координат и проведу произвольную наклонную прямую (тоже из начала координат) (рис. 117).

На этой прямой отложу от начала семь равных отрезков (не­важно. какой длины) и конец последнего отрезка соединю с концом единичного (горизонтального) отрезка.

После этого провожу прямые, параллельные той. что соединила концы горизонтального (единичного) отрезка и наклонного отрез­ка. и проходящие через конец предпоследнего из семи отрезков; затем через конец пред-предпоследнего. и так далее.

По теореме Фалеса получается, что все получившиеся на гори­зонтальном единичном отрезке кусочки равны друг другу то

1

есть мы получили

Корень строится немножко сложнее. Беру произвольное число

а, которое я уже построил циркулем и линейкой и из которого

Рис. 118. Отрезок и = 5 отложен между х = —3 и х = 2; единичный отре­зок между х = 2 и х = 3. Строим полуокружность радиуса 3. Проводим перпендикуляр из точки х = 2 до точки пересечения с окружностью. Это и есть отрезок длины \/5. Все три треугольника прямоугольные, и все они подобны друг другу.

Теперь я рассматриваю новый отрезок длины а + 1 как диаметр окружности. Делю его пополам (это мы делать умеем) и строю верхнюю полуокружность.

Из точки х = 2 (отделяющей отрезок «а» от отрезка 1) восста­навливаю перпендикуляр. Получаю отрезок с концами на окруж­ности и отрезке.

Теорема: длина полученного отрезка равна \/5.

Доказательство. Обозначим за А и В концы диаметра, за М и С концы проведенного нами перпендикуляра (С ниже, чем М). Треугольник АВМ подобен треугольнику AM С, так как у них острые углы совпадают, а один из углов прямой. (Угол АМВ прямой, как и любой угол, вписанный в полуокружность.) Значит, и третьи углы равны. По той же причине и треугольник АВМ подобен треугольнику МВС. Значит, можно записать отношение катетов малых треугольников

_ х

х а

(где «ж» — длина проведенного нами перпендикуляра); ж² = а, ж = л/а, что и требовалось доказать.

Теперь мы умеем строить всякие страшные «многоэтажные че­моданы». Любое выражение, которое является результатом конеч­ного числа операций плюс, минус, умножить, делить и взять ква­дратный корень, можно построить циркулем и линейкой. Напри­мер,

Основная теорема о построениях циркулем и линейкой

утверждает, что верно и обратное: то есть если какую-то точку удалось построить циркулем и линейкой, то координаты этой точ­ки должны быть получены с помощью конечного числа опера­ций плюс, минус, умножить, разделить и взять корень. Но есть точки на прямой, которые таким образом не выражаются, а зна­чит, и не строятся при помощи циркуля и линейки. Так, число ж не является результатом конечного числа таких операций (ни мил­лиона, ни миллиарда!), и, следовательно, построить его невозмож­но. Доказательство этого факта придумали только в конце XIX ве­ка.

Более чем полвека назад, в начале XIX века придумали до­казательство задачи о невозможности трисекции угла с помощью циркуля и линейки. Идея его такая. Если можно разделить любой угол на три части, то мы могли бы построить угол в десять граду­сов (так как угол в 30 градусов мы построить можем). Но тогда, конечно, мы могли бы построить отрезок, длина которого равна sin 10°.

Рис. 119. sin 10° построить нельзя. Это вам но какой-нибудь sin 72°!

Но доказано, что это число построить нельзя. (Если выразить sin 10° через sin 30°. то получится кубическое уравнение, а для по­строения его решения необходимо уметь строить кубический ко­рень. К сожалению, с помощью циркуля и линейки этого сделать нельзя.) Мы пришли к противоречию, значит, задачу о трисекции угла решить невозможно.

Третья великая задача древности удвоение куба. Вам дан кубик. Нужно построить кубик вдвое большего объема.

Если у исходного куба сторона равна единице, то какая сторона у удвоенного куба? Объем исходного куба равен 1. значит, у удво­енного он равен 2. По формуле V = а:³ получаем, что сторона куба должна быть v^2. Поэтому задача, на самом деле, очень просто формулируется. Построить корень кубический из двух.

Сделать это циркулем и линейкой невозможно. По тем же со­ображениям. почему нельзя произвести трисекцию угла. (Как ни странно, число \/2 циркулем и линейкой построить можно! Уга­дайте. как?) Лет сто назад еще так мало было известно о числах, что математики не имели ответа на самые очевидные вопросы:

например, иррационально ли число \/2^?25 Приходилось чуть ли не по отдельности перебирать такие числа и разбираться с ними.

Весьма трудным оказалось и число 7г, потому что до конца XIX века не было понятно, как оно устроено.

У четвертой великой проблемы, которая была оставлена древними, особенно интересная судьба. Какие правильные много­угольники строятся циркулем и линейкой? Про нее мы говорили чуть раньше и сейчас еще немного поговорим. Древние умели стро­ить правильные треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники и их «производные». Например, десятиугольник или двенадцатиугольник. А вот семнадцатиугольник не умели. Его построил в 1796 году 19-летний (обратите внимание!) Карл Фрид­рих Гаусс. Процедура достаточно сложная. Не буду скрывать. Не­который секрет состоит в том, что построение нельзя придумать, не зная, что такое комплексные числа. Комплексные числа — это такая волшебная палочка. У шаманов есть бубны, а у математи­ков — комплексные числа. Это такая числовая структура, кото­рая помогает на ура решать задачи, кажущиеся нерешаемыми. Ну, при чем здесь комплексные числа, когда мы говорим о семнадца- тиугольнике? Тем не менее семнадцатиугольник строится толь­ко с применением комплексных чисел. Впоследствии (в 1836 г.) Пьер-Лоран Ванцель выявил критерий возможности построения правильного многоугольника. Оказывается, строятся только такие правильные р-угольники (где р — простое число, то есть делится только на единицу и на себя), для которых «р» может быть запи­сано в виде