Условия задачи следующие: по земле быстрее бегает ученик; а пока он в воде, его скорость V в четыре раза меньше скорости бега учителя W, т. е. V =

Вопрос. Кто победит? Строгое решение, которое я придумал на олимпиаде, состоит в следующем. Нам дано, что скорость уче­ника в воде в четыре раза меньше скорости учителя на берегу. Давайте нарисуем окружность в четыре раза меньшего радиуса, чем бассейн. Ученик по этой окружности плывет ровно с такой же угловой скоростью, с которой учитель бегает по берегу (рис. 125).

Рис. 125. Учитель пыхтит, учопик плывет не торопясь.

Если я еще чуть-чуть уменьшу окружность, угловая скорость ученика будет больше угловой скорости учителя. Тогда через не­которое время можно добиться того, что учитель и ученик будут на противоположных сторонах (рис. 126).

Рис. 126. Вот так и спасся ученик. А если бы бассейн был квадратный?

В этот-то момент ученик и рванет к берегу. Ему надо про- ·1

плыть радиуса, а учителю пробежать тх радиусов (так как это

как раз длина полуокружности). Затраченное на это время равно

О 75 0 75

—^7- = 4 · для ученика и — для учителя. Но 4 · 0.75 = 3 тх. Значит, ученик спасется.

Как. кстати, можно доказать, что 7г 3? Если я докажу, зна­чит. ученик сможет убежать. Что такое «пи»? Это длина половины окружности единичного радиуса. Как можно эту длину пощупать?

Был такой древний грек Евклид. Он сформулировал несколь­ко принципов работы с геометрией пять постулатов (то есть правил, справедливость которых очевидна). Вот четыре из них: 1) между двумя любыми точками можно провести прямую. 2) лю­бую прямую можно неограниченно продолжать в любую сторону.

из любой точки любым радиусом можно нарисовать окружность.

все прямые углы равны. В формулировке употребляется слово «равенство». Несмотря на то. что оно так просто звучит, это чрезвычайно сложная математическая концепция.

Первые двадцать восемь теорем книги Евклида «Начала» бы­ли сформулированы и доказаны только с использованием четы­рех постулатов. Он чувствовал, что с пятым постулатом что-то не так. Сейчас я его сформулирую: через любую точку, не лежа­щую на данной прямой, можно провести, прямую, параллельную данной, и только одну. То есть прямую, которая не будет пересе­кать данную. У этого постулата длиннющая интереснейшая исто­рия.

Вернемся к числу тт. Окружность это кривая, соединяющая две точки. Так вот. но одной из аксиом Евклида, отрезок прямой, который соединяет две точки, короче любой кривой, их соединяю­щей. Рассмотрим вписанный шестиугольник. Каждая сторона пра­вильного шестиугольника равна радиусу, то есть 1 (рис. 127).

Рис. 127. Почему 7г больше трех.

Он дает нижнюю оценку для числа тт. Число тг больше суммы трех сторон шестиугольника. А это как раз три. Так что ученик точно спасется от учителя-нреследователя.

Чтобы точнее оценить значение 7Г. достаточно привести в при­мер какой-нибудь правильный вписанный многоугольник, у кото­рого сумма половины сторон еще больше, например, правильный 8-угольник. Сейчас мы найдем сумму его 4 сторон. Тогда само чи­сло 7г должно быть еще больше полученного значения.

Правильный 8-угольник, вписанный в круг радиуса 1. может быть разбит на 8 одинаковых равнобедренных треугольников с еди­ничными боковыми сторонами и с углом 45° между ними. Отсюда легко подсчитать (с номощыо так называемой «теоремы косину­сов») что сторона этого 8-угольника имеет длину \/2 — \/2- Значит, сумма четырех его сторон равна и 3.0615. Следовательно, точное значение 7г превосходит 3.0615.

А для того, чтобы оценивать число тг всё точнее и точнее, нужно «увеличивать число сторон до бесконечности».

Рассмотрим еще один пример бесконечности. Будем суммиро­вать числа, обратные к квадратам натуральных чисел:

1 + 1+1 +J_ + J_ +

9 16 25

Эта сумма коночная но величине, но бесконечная но количеству

111

слагаемых. (В отличие от суммы 1+2 + ^ + у + -- -. которая неогра­ниченно возрастает но величине но мере увеличения количества слагаемых.) В принципе, оба утверждения совершенно неочевид­ны, так как мы не знаем, каким правилам подчиняются суммы с неограниченным количеством слагаемых. Сейчас я докажу, что сумма обратных квадратов натуральных чисел не может превы­шать числа «2».

Рассмотрим квадрат со стороной 1. Его площадь также рав-

1

на 1. Теперь рассмотрим квадрат со стороной ^ а площадью ^

1

(рис. 128). Площадь следующего квадрата со стороной - равна -.

О У

Рис. 128. Геометрический смысл исходной суммы.

1

Нам нужно слагаемое -, но я возьму с запасом. Вместо ква-

1 драта со стороной - рассмотрю квадрат со стороной к. И, значит, о L

1

с площадью у. Понятно, что если новая сумма будет конечной, то и исходная тоже должна быть конечной, потому что я увеличил третье слагаемое.

1111 1 Что я сделаю дальше? —г. — . тгг.. ~гг все заменю на 777. От это-

16 ' 25 ' 36 ' 49 16

го сумма опять увеличится. А что такое одна шестнадцатая? Это

1

площадь квадрата со стороной -. Получаем 4 квадратика, так как

мы поменяли четыре прежних слагаемых на четыре раза по (рис. 129).

Рис. 129. Геометрический смысл увеличенной суммы. Как известно.

1+ 1 + 1+ J-+ =1 " " '

2 4 8 16

Следующие восемь слагаемых я заменю на И они займут еще одну полосочку, вдвое меньшей ширины, чем предыдущая.

Следующие шестнадцать слагаемых еще одна полосочка и так далее. Итоговая сумма вся. целиком, будет меньше, чем пло­щадь двух изначальных квадратов. Потому что каждая следую­щая полосочка по ширине вдвое меньше предыдущей. Поэтому вся сумма не больше двух (рис. 129).

Но хотелось бы узнать, чему она на самом деле равна. Ее посчи­тал Леонард Эйлер. Один из величайших математиков в истории человечества. Он выяснил, что сумма обратных квадратов равна

7Г²

и 1.6449. И доказал это с помощью дифференциального и ин­тегрального исчисления. Дифференциальное и интегральное исчи­сления совершают чудеса. Потому что дифференциальное и инте­гральное исчисления это способ простого перешагивания через

бесконечность. Как устроено доказательство? Примерно так: пред-

2

положим, что сумма меньше Тогда она меньше на некоторую величину. Но этого быть не может: мы можем взять так много чле­нов этой суммы, что разница между ней и числом была мень­ше любого наперед заданного числа, в том числе и этой величи­ны. Про бесконечную сумму обычно показывают, что она не может быть больше какого-то числа по одним соображениям, и меньше по другим. На самом деле в доказательстве используются намного

более сложные соображения, связанные с математическим анали-

7Г²

зом, которые и показывают, что эта сумма в точности равна —.

Другая потрясающая страница развития математики связана с пятым постулатом Евклида. Евклид сформулировал пять постулатов. Но многие теоремы он доказал, не используя пятого постулата. Из-за этого геометры стали думать, что пятый посту­лат на самом деле не постулат, а теорема, и он должен следовать из предыдущих четырех. С античных времен до середины XIX ве­ка ученые пытались доказать это. Сначала пытались вывести этот постулат из других, а потом пошли от противного: допустим, 5-й постулат НЕВЕРЕН. Что из этого будет следовать? Некоторых ученых интересовал вопрос: может быть, нам только кажется, что через данную точку можно провести только одну прямую, парал­лельную данной. А на самом деле, если рядом через эту же точку нарисовать еще одну прямую (почти неотличимую от первой), она тоже будет параллельна данной (только мы этого не можем раз­глядеть) (рис. 130).

Рис. 130. Этот пятый постулат дал им всом прикурить!

Значит, если так, то должна быть какая-то непротиворечивая геометрия, в которой пятый постулат будет заменен на альтерна­тивный. Например, что через данную точку можно провести как минимум две прямые, не пересекающие исходную. И вот ученые начинают пытаться привести к логическому противоречию такое предположение. И каждый из них, обнаружив какие-то необыч­ные следствия, говорит: ну а это уже полный абсурд. Например, пятый постулат эквивалентен утверждению, что сумма углов тре­угольника равна 180°. И, если пятый постулат неверен, то в такой геометрии не существует ни одного треугольника с суммой углов, равной 180°. Ну, это же абсурд! Значит, говорили ученые.

всё доказано. Никто не замечал, что абсурд наступает исключи­тельно из-за непривычности этих следствий, а не как логическое противоречие. Возьмите сферу и посмотрите, какая будет сумма углов у треугольника на сфере. Она всегда БОЛЬШЕ 180 граду­сов (нарисуйте треугольник на глобусе и убедитесь в этом! Только учтите, что «прямой» на глобусе является кратчайший путь, то есть «дуга большого круга»). Этот пример показывает, что логи­ческих противоречий в таком факте нет.

Следующий шаг работы математиков привел к эквивалентности пятого постулата и утверждения, что существует хотя бы два по­добных, но не равных друг другу треугольника. Опять же, на сфе­ре нет такого понятия, как «подобие фигур». Абсолютно нетри­виальное утверждение про поверхность нашей планеты. Нарисуем два треугольника на поверхности земного шара, или на глобусе, например, треугольник Москва — Лондон — Иркутск и треуголь­ник (Нью-Йорк) — (Лос-Анджелес) — (Рио-де-Жанейро). Если мы измерим углы у этих двух треугольников и, например, обнару­жим, что они попарно равны друг другу, то и сами треугольники окажутся равными, то есть совмещающимися движением сферы — поворотом, отражением или их композицией26. А тогда и соответ­ствующие стороны у них будут равными, то есть попарные рас­стояния между городами окажутся одинаковыми! (Разумеется в приведённоми выше примере это не так.)

Таким образом, на сфере (в частности, на поверхности Зе­мли) справедлив Признак равенства треугольников по трем углам. Это можно доказать совершенно строго. (Почему же лю­ди, — даже такие, как Евклид, — этого не замечали? Потому, что их жизненный геометрический опыт ограничивался наблюдением малых участков поверхности Земли — и они казались плоскими.) На сфере вообще много чудес. Например, на сфере, радиус которой равен 1, площадь треугольника равна сумме углов (в радианах) минус 7г. Вот такая вот теорема. Это всё очень красивые резуль­таты сферической геометрии. То есть в «абы-как заданной гео­метрии» все привычные нам утверждения не обязательно верны. Была разработана целая наука, объединенными усилиями многих ученых было выведено двадцать утверждений, эквивалентных пя­тому постулату. Но никакого прямого (логического) противоречия в его отрицании не было. В начале XIX века Гауссу написал пись­мо венгерский математик Янош Бойяи. Он писал, что разработал геометрию без пятого постулата, не видит в ней никаких противо­речий и спрашивал, что ему делать. А Гаусс ответил, что знает, что там нет противоречий, но сказать этого вслух нельзя, потому что «мы разворошим осиный улей, и нас искусают осы». Однако великий русский математик Николай Иванович Лобачевский, рек­тор Казанского университета, в 1829 году написал: «Геометрия, разработанная мною, не только не противоречива, а на самом де­ле всё именно так и происходит во Вселенной». Когда Гаусс узнал, что Лобачевский не побоялся и опубликовал свои результаты, он сразу предложил выбрать Николая Ивановича в иностранные чле­ны германской академии наук и перестал скрывать свои разработ­ки в этой области. Лобачевский построил геометрию с огромным количеством теорем. В частности, одна из теорем гласила, что сум­ма углов в ЛЮБОМ треугольнике меньше 180 градусов! Он даже пытался мерить углы между звездами, чтобы доказать, что сум­ма углов треугольника хоть чуть-чуть, да меньше ста восьмидеся­ти градусов. В одной из современных космологий всё именно так и устроено (но для проверки этого надо делать замеры не в мас­штабах Земли, а в гораздо больших масштабах). Итак, у любого треугольника в геометрии Лобачевского сумма углов меньше 180°. И площадь треугольника равна сто восемьдесят градусов минус сумма углов. То есть сферическая геометрия как бы «выпуклая», а геометрия Лобачевского — вогнутая. Современная топология многим обязана Лобачевскому, потому что он открыл этот «ящик Пандоры». Подведем итог «поумнения» человечества в результа­та исследований 5-го постулата Евклида.

Возможны три типа «геометрий»: 1) геометрия Евклида (сум­ма углов любого треугольника равна 180°); 2) геометрия того ти­па, который исследовал Лобачевский (в ней через точку, взятую вне прямой, проходит МНОГО прямых, не пересекающих данную; в любом треугольнике сумма углов меньше 180°); 3) геометрия то­го типа, который исследовал Риман (через точку, взятую вне пря­мой, не проходит НИ ОДНОЙ прямой, не пересекающей данную; в любом треугольнике сумма углов больше 180°).

И все эти геометрии логически непротиворечивы!

А.С.: Сейчас мы вернемся к Евклиду. Он был не только геоме­тром, но также еще доказал замечательный факт из теории чисел. А именно, что простых чисел — бесконечное количество[27][28]

Давайте сначала поговорим о том, как устроено математиче­ское доказательство, и по каким канонам его можно создавать. Сейчас будет проведено классическое рассуждение от противного. Что такое «от противного»? Давайте представим, что наше утвер­ждение — неверное. Что тогда? Тогда количество простых чисел конечно. Но если их конечное количество, их можно просто пере­числить. Какое первое простое число?