Если число (2^Р^1) простое, то число 2^р-1(2^р^1) —совершенное.

И что вы думаете? Так оно и оказалось! А потом за дело взялся Эйлер и доказал теорему посложнее: любое четное совершенное число можно записать в таком виде. Чтобы вас немного «попу­гать», давайте проверим формулу Евклида при р = 13. Получает­ся четное число 33550336. Странные цифры, правда? Кто не верит, что это число совершенное, проверьте.

А с нечетными не всё так хорошо. Когда я учился в матклассе, у нас были листочки с задачами. И вот на одном, лист,очке была задача с тремя звездочками: «Докажите, что нечетных совершен­ных чисел не существует».

Я посидел дома денек, другой. Пришел в школу и говорю учите­лю: «Что-то... я не могу доказать, честно...» А он, мне в ответ: «А... Да, это никто не может доказать! Я на всякий случай дал. Вдруг кто-нибудь решит... »

Вот такая проблема! Существуют ли нечетные совершенные чи­сла? Компьютеры пока перебирают варианты. Если компьютер найдет, то проблему снимут. А если не найдет, то надо доказывать, что их не существует. В конце этой темы я хочу задать задачу- шутку (а решение — не шутка): бывают ли совершенные числа, которые в десятичной системе записываются одними семерками?

Напоследок две решенные недавно задачи.

Возьмем много-много одинаковых шаров. Начнем приставлять их друг к другу с разных сторон (в пространстве).

Сколько одинаковых шаров можно приставить вплотную к од­ному шару такого же размера? Она называется задачей Ньюто­на. Ньютон очень долго переписывался с Д. Грегори. Ньютон был уверен, что можно приставить только 12 шаров, а Грего­ри утверждал, что 13. В результате доказали, что 13-й шар чуть- чуть не влезает. Ну, разумеется, возникает естественный вопрос, а в 4-мерном пространстве сколько шаров влезет? Задача решена в 2013 году нашим соотечественником О. Мусиным. Он еще жив и вполне себе в рабочем настроении. То есть в 4-мерном простран­стве она решена, а в 5-мерном, кажется, еще нет.

А теперь, наконец, Гипотеза Пуанкаре.

Что мы знаем о нашем мире? Во-первых, что он 3-мерный. Во- вторых, у него нет края. Края в том смысле, в котором его воспри­нимает таракан, подползая к краю стола. Мир везде одинаковый. То есть таракан ползет по сфере или по бесконечной плоскости. А люди «ползают» по трехмерной сфере или по бесконечному про­странству (а где именно — надо бы уточнить).

А еще наш мир ориентированный. То есть что бы вы ни делали в этом 3-мерном мире, ваша правая нога никогда не станет левой.

Исследования в области теоретической физики (так называе­мые уравнения космологии Фридмана и других ученых) не исклю­чают того, что наш мир конечен. Можно даже представить себе, что сверхдалекие звезды, которые видны справа и слева от Зе­мли — это одни и те же звезды. И, может быть, мы сможем увидеть на небе Землю, улетая от нее вертикально вверх, долго-долго летя и возвращаясь на эту же Землю с другой ее стороны! Это трудно себе представить, но такая гипотеза не противоречит современным научным данным.

Наше пространство, возможно, является искривленным, то есть служит примером нетривиального трехмерного многообразия. Мо­жет ли к нему быть применена гипотеза Пуанкаре, доказанная Пе­рельманом? Вернемся к «двумерным мирам». Если я беру камеру от колеса (рис. 108), продеваю в него нитку и завязываю, то я ни­когда не смогу ее снять. А если я завяжу нитку на сфере, я сниму ее без проблем. Всё, что нам осталось предположить про наш мир, чтобы применить к нему гипотезу Пуанкаре, это принять на веру, что в нашей вселенной «трюк с завязыванием петли» не пройдет, и любую петлю можно стянуть. Описанное свойство поверхности сферы, но не камеры! носит название односвязности23.

Рис. 108. Пусть наш Космос имеет форму «бублика», только не дву­мерного. а трехмерного, расположенного в пространстве более высокой размерности. Как бы могли подтвердить этот факт земные космонавты? По наличию «дыры» в этом бублике.

Так вот, если наш трехмерный мир конечен и односвязен, то мм попадаем в условия теоремы, Пуанкаре Перельмана. И тогда он обязательно является 3-мерной сферической поверхностью 4­мерного пространства-шара.

Обычная сфера радиуса 1 задается уравнением: х² + у² + z² = 1.

А 3-мерная того же радиуса вот так: х² + у² + г² + к² = 1. (По­думайте, почему координат на единицу больше, чем размерность!)

Раньше это была гипотеза Пуанкаре и относилась она только к топологии. Теперь это теорема Пуанкаре Перельмана. И теперь ее можно пытаться применять в космологии.

Раздел II

«Знание геометрии артиллеристу и инженеру необходимо, а каждому, кто только чему-нибудь учиться хочет, нужно; сия наука есть истинное основание всем наукам в свете, она научает нас здраво разсуждать, вер­но заключать и неопровергаемо доказывать; она сохраняет нас от многих заблуждениев, ибо геометристу труднее какое-нибудь предложение дока­зать обманчивыми доводами, нежели философу.

Эвклидовы элементы суть основании сей несравненной науки — не­обходимо учащимся предлагать должно, и стараться, чтоб они их знали совершенно...»

Всеподданейший доклад генерал-фельдцейхмейстера графа П. И. Шу­валова об учреждении при артиллерии шляхетного кадетского корпуса с классом военной науки (1757 г.)

Лекция 1

А.С.: Сейчас мы рассмотрим несколько сюжетов. Некоторые мы разберем сразу, а некоторые оставим и потом к ним вернем-

Первый сюжет называется фотосъемка.

Давайте представим себе такую ситуацию: на прямой дороге расположено несколько контрольных пунктов (КП). Над этим от­резком дороги непрерывно идет аэрофотосъемка (рис. 109).

-о—о о—

КП-1 КП-2 КП-3

Рис. 109. Участок усиленного наблюдения.

И вот однажды сверху засекли шпиона (рис. 110).

объект

-о—о—·—о—

КП-1 КП-2 КП-3

Рис. 110. «Возле самой границы овраг. Может, в чаще скрывается враг!»

Требуется понять, где конкретно он находится на дороге. Из ви­зуальных соображений ясно, между какими двумя КП находится шпион, но нам нужна точная координата. Мы видим только фо­тоснимок. Мы можем запросить некоторое количество информа­ции. например, мы можем запросить координаты некоторых КП. Вопрос: сколько координат нам для этого достаточно запросить. Задача вполне практическая. Фотосъемка достаточно сложное преобразование, относящееся к проективным.

Что это такое? Давайте немного разберемся (см. рис. 111).

При фотографировании происходит перенос каждой точки мест­ности вдоль лучей по направлению к точке съемки. Прямая, ко­нечно. переходит в прямую при таком проецировании. Но вот со­отношения отрезков-расстояний становятся другими.

Ясно, что одной координаты для опеределения местоположения недостаточно. Фокус в том. что двух координат тоже недостаточно.

Рис. 111. Схема аэрофотосъемки. Два четырехугольника это область, снимаемая на фотопленку (внизу), и границы кадра фотопленки (ввер­ху). Эти две плоскости, как правило, не параллельны друг другу. Из-за этого искажаются соотношения расстояний между точечными объекта­ми. Прямая внизу охраняемая дорога, на которой расположены три КП (достаточно далеко друг от друга). Черный кружок указывает на ме­сто обнаружения подозрительного точечного объекта. Пунктирные линии изображают отраженные лучи света, исходящие от точечных объектов на дороге и фиксируемые на кадре пленки.

А вот три координаты в самый раз. Потому что у этого преобра­зования у проецирования есть то. что математики называют «инвариант».

Если вкратце сказать, «о чём» математика, то она о том. чтобы выявлять инвариантность ситуации. То есть какие-то соотноше­ния. которые остаются неизменными. Вот вы так измерили (рас­стояния между КП). так сфотографировали, этак сфотографиро­вали некоторое соотношение координат точек на всех снимках будет одно и тоже. Я сейчас просто напишу, что остается неизмен­ным. На самом деле это можно строго доказать.

На всех фотографиях, для любых фотоаппаратов неизменным остается так называемое двойное отношение «ДвОт» четырех то­чек (три из них координаты КП, четвертая координата подо­зреваемого в шпионаже). Оно выражается формулой

„ (z — х) (t — х)

ДвОт = ) ( : )- ( (см. рис. 112). (5)

{z - у) (* - у)

Если но знаешь, ни за что но угадаешь! Это число, которое можно взять и посчитать. Оно будет одинаковым и для местности, и для фотографии. Поэтому я запрошу координаты трех КП, потом вычислю соотношение на фотографии (на которой отражены и по­ложения КП, и расположение неизвестного объекта), приравняю его к выражению с реальными координатами и точно определю реальную координату искомого объекта (а именно, число z).

Врезка 9. Как агент ДвОт ловит шпионов.

Обозначим через х, у, t координаты ближайших КП, в районе которых был замечен шпион.

Но тогда надо ответить на два вопроса: где находится нача­ло отсчета, и какая будет единица измерения длины? Ответ: ЭТО НЕ ИГРАЕТ РОЛИ. В самом деле, двойное отношение координат (ДвОт) не изменится, если от всех четырех координат отнять од­но и то же число; оно не изменится также, если все координаты умножить на одно и то же число. Поглядите на формулу ДвОт (формула (5)), и вы сразу поймете, почему это происходит. Итак, давайте запросим координаты точек х, у, t, измеренные в киломе­трах до ближайшей погранзаставы. Допустим, они равны 17, 23, 32 соответственно. А как же мы найдем ДвОт, если «г» нам неиз­вестно? А вот так:

п О = ^ (t-x) ₌ (z — 17) (32 - 17)

Приравнивая буквенное выражение ДвОт к его числовому выра­жению, получаем уравнение первой степени для нахождения «г»:

^{АВ Т} (z-y)'(t-y) (z — 23) ’ (32 — 23) ’

А теперь внимательно изучим кадр аэрофотосъемки, где бы­ли зарегистрированы три КП и один Ш (шпион). Их координаты будем выражать в миллиметрах, а первое КП будем считать на­чалом отсчета (для простоты). Обозначим эти четыре координаты за А, Б, С, Д (где, как мы решили, А = 0). Прочие (ненулевые) координаты мы просто измеряем с помощью миллиметровой ли­нейки, приложенной к фотоснимку. Допустим, мы получили числа (0, 13 мм, 16 мм, 31 мм). Следовательно, мы можем найти ДвОт уже не в виде формулы, а в виде числа:

тт п - (¹⁶^°) (³¹^°) _ о П07

^{Дв Т} (16 - 13) ' (31 -13) ’ '

Ј ~ 17 . JL _ з Qgj

г ^23 15 ’

Отсюда получаем г и 24,4 км.

После чего агент ДвОт сообщает начальнику погранзаставы, что подозрительного человека имеет смысл поискать на рассто­янии 24 км и 400 м от заставы. Где он и был найден спящим под кустом, чтобы, дождавшись ночи, начать свою деятельность.

Свойства ДвОт станут понятнее, если рассмотреть следующий пример (рис. 113).

Здесь производится «одномерная» фотосъемка линии ORST из точки К на «линию кадра» OMNL. Конечно, в реальной ситуации будет не линия, а плоскость кадра, и лежать она будет значитель­но ближе к точке К. Но суть дальнейшего исследования можно изложить и на таком условном рисунке.

Рис. ИЗ. Изображен прямоугольный равнобедренный треугольник КОТ. Длина катета равна 4 единицы. Из прямого угла опущена высота OL на гипотенузу. Из верхней вершины треугольника К проведены две пунк­тирные линии KR и KS, делящие основание на отрезочки длиной 1.

и 2 ед. Основание треугольника лежит на плоскости, которую фото­графирует самолет (рис. 111). вершина К местоположение самолета, а высота OL лежит в плоскости, в которой находится кадр фотоплен­ки (вторая плоскость случайно может оказаться параллельной первой; но гораздо чаще этого не случается). Точки пересечения линий KR и KS с высотой 0L обозначены за М и N соответственно. Длины отрезков

ОМ, MN, NK равны 6а. 4а. 5а соответственно, где а = (для

полноты картины!).

Прежде всего отметим, что если бы линия кадра была парал­лельна фотографируемой линии, то соотношение расстояний ме­жду точками 0. R. S. Т и точками 0. М. N. L было бы одинаковым (и равным 1 : 1 : 2). и никакого «двойного отношения» нам бы не понадобилось.

В случае же, когда параллельности плоскостей нет. произойдет искажение этого соотношения.

Вычислим, насколько сильным оно будет. Уравнения прямых KR. KS легко получить по формуле «уравнение в отрезках»:

+ 1 = 1 (KR) и ^ + ^ = 1 (KS).24 Уравнение же высоты и того проще — оно имеет вид «у = ж».