2п² = т² ± 1.

Можно ли такое уравнение решить в целых числах или нет? Мы пишем символами, поэтому далеко продвинулись в математике. Но все идеи буквально, буквально все подряд были в этих шести томах. Если чего-то в них не было, то, видимо, оно было в пропав­ших. Но мы уже не узнаем этого.

Диофант — человек, оставивший фантастическое наследие. В 1651 году Пьер Ферма читал книгу Диофанта по целочисленной арифметике. Читал и комментировал ее на полях. А сын Ферма издал книгу с комментариями своего отца. На полях был кладезь математических сокровищ. В частности, в одном месте было обна­ружено следующее. У Диофанта решалось в целых числах урав­нение а² + Ь² = с². То есть он пытался выяснить, может ли быть так, что все числа целые? Древним было хорошо известно, что та­кое может быть. Например, числа (3, 4, 5), и много-много других примеров.

Первое решение, возможно, даже имело практическое примене­ние 2,5 тысячи лет назад. Берем веревку, делим ее на 12 равных частей, завязываем узелки в местах деления. После чего связы­ваем веревку в кольцо и делаем из нее треугольник так, чтобы на одной стороне было 5 узелков, на другой 4, а на третьей — 3.

И вот вы получили прямой угол кустарными средствами. Это очень важно.

Землемеру этого хватит. Всё. У него веревка с 12 узлами есть, и отлично. Но математик всегда хочет пойти до конца. Все ва­рианты найти, все целые а, Ь, с — такие, что получается прямо­угольный треугольник. Задача древнейшая. Ответ был известен еще древним индусам. «Пифагоровы тройки» — вот как называ­ются эти решения. Интересно то, что в этом месте слева на полях было написано рукой Ферма приблизительно следующее: «Вместе с тем, невозможно разложить никакой куб в сумму двух кубов, ни­какую четвертую степень в сумму двух четвертых степеней и во­обще никакую произвольную степень числа в сумму двух таких же степеней. Я нашел этому факту поистине удивительное дока­зательство, но на полях оно не поместится». Это — начало истории величайшей загадки математики — великой теоремы Ферма.

Ферма утверждает, что при п большем, чем 2, уравнение

х^п + у^п = zⁿ

не имеет решения в целых числах. То есть, конечно, можно взять х = у = z = 0. Или, если мы поставим х = 0, тогда у и z могут быть любыми одинаковыми. Но это всё неинтересно. А вот если ноль запретить, то если мы ищем среди положительных целых чисел х, у, z решения этого уравнения, то их нет, вообще нет. Ни одного, ни одной тройки (ж, у, z), ни для какого п, большего чем 2, то есть ни при п = 3, ни при п = 4, ни при каком п.

Эта загадка была страшно популярной среди широких масс на­селения — уж больно просто формулируется эта теорема (да еще какой-то чудак завещал крупную сумму тому, кто справится с до­казательством теоремы Ферма). Но и опытные математики были озадачены. Дело в том, что все утверждения, которые Ферма оста­вил без доказательства, оказались правильными (их все доказали после его смерти), а с этим творилось черт знает что: начали все сходить с ума, потому что всё кажется просто, и хочется взять ручку и начать писать. Вот вы мне не поверите, но когда мне было 10 лет, я этим занимался, честно. Но всё это безумие продолжалось только до 1994 года.

В 1994 году она была полностью доказана нашим с вами со­временником математиком Эндрю Уайлзом. На самом деле ему предшествовали 30 разных имен, которые долго в разных местах подстраивали большое здание. А он просто понял, в каком месте нужно сшить то, что уже известно. В частности, безусловную важ­ность здесь сыграла московская школа алгебраической геометрии. Последним был Уайлз, но в принципе это — всемирное творение.

Сейчас доказательство великой (или, как еще говорят, послед­ней) теоремы Ферма входит в книгу А. А. Панчишкина, Ю. И. Ма- нина «Введение в современную теорию чисел». Толстенная слож­нейшая книга по теории чисел, 7-я глава целиком посвящена тео­реме Ферма.

Ну а теперь фокус-покус, ладно? А то лекция уже кончается.

Берем нашу цепную дробь для «корня из двух»:

Обрубаем, получаем приближенное значение для корня из двух:

Такую дробь можно превратить в некоторое рациональное число, то есть в некоторое отношение двух целых чисел. Сейчас превра-

не могу, так как квадрат; 5, 6, 7, 8 — могу, 9 — не могу, 10, 11, 12, 13, 14, 15 — могу, 16 — не могу, и так далее. Уравнение такого вида (см. подробнее об этом в следующей лекции) носит назва­ние уравнение Пелля. И, как обычно это бывает, Пелль не имеет к нему никакого отношения. В математике очень много фактов на­звано именами людей, которые никакого отношения к этому факту не имели. Шутки ради это явление математики тоже назвали «те­оремой». Вот, получилось так, что эту теорему назвали теоремой Арнольда. Она самоприменимая (то есть Арнольд не является ав­тором этой теоремы). Шутливую «Теорему Арнольда» придумал, вроде бы, Николай Николаевич Константинов и назвал теоремой Арнольда специально для того, чтобы она была самоприменимой, чтобы она тоже называлась не именем человека, который ее вы­думал, а другим. Математики мыслят логически, даже когда они шутят!

Давайте все-таки, чтобы вас убедить, пообрубаем эту дробь в разных местах. Смотрите. 1 — это ведь «1 разделить на 1». Если подставить в уравнение (4) т = n = 1, то что получится?

I² = 2 · I² - 1

(то есть (4) выполняется).

3

Обрубаем дальше. Будет

Подставляем: 9 = 2 · 4 + 1.

Обрубаем еще раз. Получаем Подставляем.

49 = 2-25 - 1.

Вы видите, что теорема верна.

Гуманитарию уже не надо доказывать теорему, он уже «видит», что она верна. Но математику нужно ее доказать, нужно устано­вить, что это действительно всегда будет так. Мало того, оказыва­ется, что все такие обрубания дадут вам решения этого уравнения, и других решений в задаче нет. Вообще никаких.

Слушатель: Ну, или мы просто не нашли?

А.С.: Нет. Доказали, что больше не существует.

Ну, последний фокус-покус. Но берегитесь, он страшный. Знае­те ли вы, что такое бином Ньютона? Это — правило, по которому раскладываются выражения, в которых вы много раз умножили одну скобку на себя. В школе проходят (а + b)(a + b) = а² + 2аЪ + Ь². Еще проходят: (а + Ъ)(а + Ь)(а + Ь) = а³ + 3а²Ь + 3ab² + Ь³. Но есть некая формула, которая верна всегда, для любого количества ско­бок. Считается, что ее придумал Ньютон, но на самом деле ее, ско­рее всего, знали и до него. Просто он ее огласил. Так вот, бином Ньютона тоже помогает искать решения уравнения т² — 2п² = ±1. Ниже мы снова за К обозначим корень из двух.

Возьму (1 + К)² = 1 + 2К + 2 = 3 + 2К. Решением будет пара (т = 3, п = 2), и мы уже выше встречались с ним. Но, может, это случайно так совпало?

Возведение в куб вас должно уже убедить. Имеем:

(1 + К)³ = 1 + ЗК + 6 + 2К = 7 + 5К.

Не правда ли, это следующее решение нашего уравнения? Здесь т = 7, п = 5.

Возведем в четвертую степень. А это всё равно, что возвести два раза во вторую, один раз в нее мы уже возводили.

(1 + К)⁴ = (3 + 2К)² = 9 + 12К + 8 = 17 + 12К.

Проверяем:

17² = 289,

12² = 144,

144 · 2 = 288.

Получается: 289 = 288 + 1.

Это работает!

До встречи на лекции 4.

Лекция 4

А.С.: На прошлой лекции я сказал кое-что про решение урав­нения вида х² — 2у² = ±1. Тогда обозначения были другие. Но на то это и математика, что «хоть горшком назови». В этой лек­ции переменные, значения которых мы ищем, будут обозначаться «ж» и «у». Теперь кое-что уточним. Можно взять вместо числа

любое натуральное число т и записать аналогичное уравнение: х² — ту² = ±1.

В принципе, почти ничего не изменится в общем ходе решения. Единственный вариант, при котором будут различия, это когда т представляется в виде квадрата натурального числа (4, 9, 16, 25...), — тогда такое уравнение по неким очевидным причинам никаких решений, кроме ж = ±1, а у = О, не имеет.

В самом деле, попробуем найти нетривиальные решения урав­нения х²^9у² = ±1, то есть ж-ж = (3у)-(3у)±1. При «у», не равном нулю, получается, что квадраты двух целых чисел «ж» и «3у» от­личаются на единицу. Так мало они отличаться НЕ МОГУТ. Даже квадраты соседних целых ненулевых чисел (скажем, М и М + 1) отличаются больше, чем на 1, а именно: отличие их равно 2М + 1, причем М не равно 0.

Для всех остальных т прием, которым мы пользовались ранее при решении этой задачи, срабатывает. А прием этот был такой: нужно корень из т разложить в цепную дробь. То есть выделяем целую часть, потом «переворачиваем» оставшуюся дробную часть, получаем число, большее единицы, в нём опять выделяем целую часть, и так далее:

Я сказал в лекции 3, что для получения решения уравнения мы можем обрубить дробь в любом месте, привести к виду «це­лое число разделить на целое», и числа, которые получатся в чи-

слителе и знаменателе, будут нашими решениями. И для т = 2 это действительно можно делать на любом месте. Но если это утверждение применить для других значений т, то получится, что я немного обманул вас. Есть теорема, доказанная Ж. JI. Лагран- жем, которая утверждает, что если мы разложим корень из числа, не являющегося квадратом, в цепную дробь, то цепная дробь на­чиная с некоторого места начнет повторяться. Появится период.

Врезка 6. О бессилии «наблюдения» без «доказатель­ства»

Понятие периода последовательности не такое простое, как хо­телось бы думать. Более того, это понятие демонстрирует бессилие прикладной математики для установления фактов чистой мате­матики. Например, допустим, что прикладной математик изуча­ет поведение следующей последовательности десятичных цифр: 2223222322232223. .. Что скажет при этом «совсем простой наблю­датель»? То, что имеется период «2223», состоящий из 4 цифр. Бо­лее «утонченный наблюдатель» возразит: не будем спешить, пона­блюдаем дальше за поведением этих цифр хотя бы до 34-го места. Сказано-сделано: получили

22232223222322237 22232223222322237...

Что, убедились?! Период-то имеет длину не четыре, а семнадцать! Но обиженный «простой наблюдатель» возразит: погодите радо­ваться. Понаблюдаем теперь хотя бы до сотого места. И увидели, что на 69-м месте (после семерки на 68-м месте) стоит не цифра 2 (как они оба ожидали), а цифра 0. Вот тут-то они призадумались... А есть ли вообще период у этой последовательности? И может ли «простое наблюдение» дать обоснованный ответ на этот вопрос? КОНЕЧНО, НЕТ! — скажет им чистый математик. Если у нас в ре­зультате наблюдения появилась гипотеза, что период равен 2223, то надо остановиться, проверить, есть ли научные предпосылки для доказательства этого (либо для опровержения этого), и про­должать исследование дальше. И если возможную длину периода не удалось определить или ограничить сверху никакими «наблю­дениями», это вовсе не означает, что последовательность неперио­дическая! Это означает, что пока что чистому математику не уда­лось решить эту проблему (может, потому, что он плохо ее решал).

Это, конечно, не означает, будто бы мы не доказали, что для разложения «корня из двух» период начинается сразу, и длина его равна единице, а сам период равен «2». В данном случае не про­сто повторяются числа 2222..., начиная со второго места, а повто­ряются условия для повторения этого числа. Ниже мы не будем углубляться в эту философскую проблему, а просто предположим, что уже «кем-то» доказано наличие именно периода такой длины, и именно из таких чисел.

Мы раскладывали для самого простого случая, и в нём сразу пошел период: целые части со второго места равны 2, 2, 2, и т. д. Если бы я обрубал цепную дробь в любом месте для любого т, я совершил бы ошибку. А на самом деле обрубать нужно ровно в конце периода, то есть в том месте, где начинается повторение. Начало периода — это как раз самое большое число. В этом месте и нужно обрубать, игнорируя весь последний отрезок дроби, начиная с самого большого числа. Например, в идущем ниже примере мы доходим до 4 и обрубаем. В следующий раз можем обрубить перед второй четверкой, и т. д.

Но это был модельный пример, не относящийся ни к какому т.

Например, бывает, что повторение начнется на 7 или 8 ступень­ке дроби, или еще дальше. Число 61, среди первых 100 чисел, самое неприятное в нашем смысле. Ибо -\/б1 очень долго раскладывается

в цепную дробь, пока не повторятся условия, обеспечивающие ци­клическое повторение всех выделяемых далее целых частей. И по­этому самые маленькие решения уравнения ж² — 61 у² = ±1 будут больше миллиарда.

В костромской области каждые полгода проводится школа для сильных школьников. Вот они у нас где-то за часик этот корень из 61 раскладывали. Потом еще минут десять сворачивали дробь, и на выходе получали два числа порядка миллиарда. Которые, если подставить в наше уравнение, чудесным образом дают реше­ние уравнения Пелля.