Вот я и утверждаю, что корень из двух именно такое чи­сло. Возьмем 4 квадрата со стороной единичка. И составим из них новый квадрат (рис. 60).

Какой площади один маленький квадратик?

Слушатель: 1.

Какой площади будет получившаяся фигура?

Слушатель: 4.

А.С.: Теперь я делаю следующее. Я провожу диагонали (см. рис. 61) и спрашиваю вас. чему равна площадь получившегося вну­три квадрата?

Слушатель: 2.

А.С.: Почему? Потому что в каждом маленьком квадратике ровно половину взяли, а половину не взяли. Итак, совершенно очевидно, что площадь этой фигуры вдвое меньше, чем у боль­шого квадрата. С другой стороны, мы знаем, что если у квадрата сторона а, то площадь его равна а · а = а².

Нам нужно найти сторону квадрата с площадью 2. А это и есть корень из двух. Значит, если у квадрата сторона 1, то его диагональ имеет длину «корень из двух» (рис. 62).

Рис. 62. Сторона внутреннего квадрата равна корню из двух по двум причинам: алгебраическая причина теорема Пифагора и определе­ние корня; геометрическая причина соотношение площадей наружного и внутреннего квадратов равно двум.

А.С.: Из школьного курса вы знаете теорему Пифагора.

Слушатели: Да.

А.С.: Теорема Пифагора говорит, что квадрат гипотенузы ра­вен сумме квадратов катетов16. Давайте я покажу доказательство этого без единой формулы. Теорему Пифагора не нужно доказы­вать формулами, ее нужно просто узреть, увидеть, она видна. Вот смотрите, я беру вот такое равенство: а² + Ь² = с².

щади и из площади второго квадрата те же 4 площади. Значит, площади оставшегося должны быть одинаковыми. В одном случае остается с², а в другом — сумма а² + Ь². Значит,

2 , 1,2 2 а + о = с .

Теорема Пифагора доказана. Но это было небольшое отступление. Я хотел сказать, что диагональ квадрата со стороной 1 по теореме Пифагора равна корню из двух, согласно тому, что я нарисовал, она и в самом деле ему равна. Древние ничего не могли с этим числом поделать. Потому что, если отложить отрезок, равный на­шей диагонали, от нуля, то вы попадете в точку, которая заведомо не равна никакому числу вида Щ. Ни при каких тип. Вы пере­берете все целые числа, и в числителе, и в знаменателе, и никогда не получите число, которое в точности совпадет с корнем из двух.

Есть очень много разных доказательств этого факта, и одно из них совершенно геометрическое. Мы разберем ниже два разных доказательства.

Мы сейчас придумаем некую процедуру, которую мы приме­ним к любому рациональному числу, и она всегда будет конечной. А дальше, я вам покажу, что та же самая процедура для числа «корень из двух» никогда не прекращается, тем самым это чи­сло не может быть рациональным

Слушатель: То есть это несуществующее число?

А.С.: Существующее, но не в этом круге подозреваемых лиц. Это число существует, и оно очень нервировало греков, они не хо­тели допустить, что оно существует. Однако они отлично знали, что оно нужно для вычислений, но не выражается в виде отноше­ния целых чисел. Они не понимали, что с ним делать. Вроде чи­сло не существует, а оно-таки есть. Оно не должно существовать, но оно существует. Числа, которые не представляются в виде Щ, называются иррациональными.

Что такое вообще «иррациональность»? Нелогичность. Нера­зумность. Иррациональное поведение, например. Но в математике, в отличие от философии, есть совершенно конкретные объекты, иррациональные числа. Это такие числа которые не представля­ются в виде Щ-. Тем не менее, они вполне себе логичные и очень даже разумные.

Слушатель: А числа тип, они целые?

А.С.: Целые. Непременно целые числа. Иррациональные чи­сла — это числа, которые не являются отношением двух целых чисел. Рациональное число — это отношение двух целых.

Есть еще одно труднопроизносимое слово, оно тоже в философ­ском смысле кое-что означает. Слово «трансцендентно». Что же оно означает в житейском (не математическом) смысле?

Слушатель: Находится за пределами.

А.С.: За пределами чего бы то ни было.

Слушатель: То есть иррациональное поведение — это поведе­ние странное, но всё же в каких-то рамках. А трансцендентное — это что-то за пределами понимания окружающих.

А.С.: В математике трансцендентные числа — это тоже опре­деленный термин. Им противопоставляются алгебраические числа. Согласно строгому математическому определению, алгебраическое число — это корень многочлена с целыми коэффициентами. Транс­цендентным числом называется такое число, что ни один много­член с целыми коэффициентами не обнуляется при подстановке вместо переменной х этого числа.

Внутри множества алгебраических чисел живут как все раци­ональные, так и корни любой степени и много, много чего еще. Очень много разных чисел. И вот трансцендентные — это те чи­сла, которые не являются алгебраическими. Выдумать неалгебра­ическое число достаточно трудно. Сначала думали, что все чи­сла алгебраические. А в XIX веке произошел взрыв в математи­ке, было обнаружено огромное количество неалгебраических чи­сел — но это было только в XIX веке. Примером трансцендент­ного числа является знаменитое число «пи» — длина окружно­сти с диаметром, равным 1. Доказательство трансцендентности одного-единственного числа «пи» занимает 10 лекций на 4-м кур­се мехмата МГУ. Очень мало людей на Земле, которые знают это

целой части дробная часть не окажется равна нулю. Если этого никогда не случится, то исходное число окажется разложенным в бесконечную цепную дробь.

21

Итак, продолжим разложение числа — в цепную дробь:

Стоп, машина. После выделения целой части из числа 2 дробная

21

часть равна нулю. Значит, числу ^ «суждено» разлагаться в ко­нечную цепную дробь. Если кто не верит, можете упростить эту «6­этажную» дробь, сделав из нее обыкновенную. Конечно, она будет 21

равна 7^7.

10

Эту операцию придумал Евклид. Называется она — разложе­ние числа в «цепную дробь». Обратите внимание. На последнем

1

шаге мы попали в целое число 2 при переворачивании дроби На этом всё заканчивается, так как из целого числа не удастся выудить дробную часть.

Другой пример:

1? ^{= 1 +} Ж ^{= 1 +} ^ ^{= 1 +} 77Т--

„ 3 1 + 1

2

Опять пришли к целому числу. Ура. Закончили.

Евклид утверждал, что для любой дроби за конечное число ша­гов мы придем к целому числу. Попробую это пояснить «без фор­т, . . 17284 мул». Вы берете какую-то очень большую дробь, например, ·

Что происходит в процессе, предложенном Евклидом? Мы про­сто несколько раз делим с остатком, и всё. На каждом шагу мы получаем «нечто» плюс что-то меньшее, чем то, на что мы делим. Идея в том, что на каждом шагу числа будут уменьшаться. Числи­тель и знаменатель целые положительные числа, и они будут уменьшаться. Но целое число, любое положительное целое число, не может бесконечно долго уменьшаться, оно в конце концов «за­кончится». Оно придет к нулю за конечное число шагов.

То есть любое рациональное число непременно порождает ко­нечную цепную дробь. А теперь я возьму и покажу, что корень из двух порождает бесконечную цепную дробь.

Вот этот фокус-покус. Если «корень из двух» рациональ­ное число, то процедура, которую я только что проводил, должна закончиться. Берем корень из двух. Между какими целыми чи­слами он расположен? Вспомним, что, согласно теореме Пифагора, корень из двух это длина диагонали квадрата с единичной сто­роной. Поэтому он расположен между 1 и 2 (см. рис. 65).

Значит, корень из двух = 1 + дробная часть (она примерно равна 1,4142 - 1 = 0,4142).

Что я сделал? Прибавил единицу и отнял единицу. Больше ни­чего не делал. То есть я выделил целую часть из «корня из двух» (дробная же часть записана в скобках; она равна примерно 0,414).

Для получения дробной части я взял окружность радиуса 1, провел ее до пересечения с диагональю, и всё (см. рис. 66). Эта часть, без сомнения, меньше единицы. Далее для краткости обо­значим «корень из двух» через К. А выражение К — 1 обозначим за С. Значит, С 1. Поэтому будем эту часть «переворачивать»:

С = А- = ¹ 1 К + 1'

С

Поясню, почему — превратилось в К + 1.

О

Я возьму числитель и знаменатель и домножу на одно и то же число (это не изменит значения дроби). Я числитель и знаменатель умножу вот на такое число: К + 1. Помним, что К · К = 2. Начинаем открывать скобки:

1 (к +1)· 1 _ к + 1 _k + i__fm С “ (К + 1)-(К-1) K-K^l“2^1^{_K + i}-

А теперь, по общему правилу, выделяем целую часть.

Между каким двумя целыми числами находится \/2 + 1? Слушатель: Между двойкой и тройкой.

А.С.: Конечно. Поэтому, если я по правилу Евклида выделяю из него целую часть, то она равна?

Слушатель: 2.

Не правда ли, мы уже сталкивались выше с такой дробной частью? Слушатель: И так до бесконечности будет повторяться?

А.С.: И так до бесконечности. Значит, исходное число — не ра­циональное.

Мы получим бесконечную цепную дробь:

Только бесконечное число шагов приведет вас к числу, равно­му К*. Но не конечное — а значит, число К иррационально, что и требовалось доказать. Теперь вы знаете, что есть такие числа, страшные числа, которые не представляются в виде «количество яблок поделить на количество гостей».

Мы еще вернемся к цепным дробям, ибо в них прячется истин­ная бесконечность.

Пока что дадим стандартное книжное доказательство того, что корень из двух — число не рациональное. Проводится оно от про­тивного.

Предположим, что из них точно будет нечетным. Потому что если оба четные, значит, можно было еще раз сократить на 2.

Рассмотрим квадрат равенства (3):

Получим т² = 2п².

Это значит, что если на сетке нарисован квадратик с целочи­сленной стороной, то в нём количество единичных квадратиков такое же, как удвоенное количество квадратиков какого-то друго­го квадрата с целочисленной стороной (рис. 67).

Рис. 67. Что-то но получается нарисовать два таких квадрата. II это неспроста!

Значит, если К рациональное число, то т² = 2п² верное равенство. Тогда т число четное, потому что оно делится на 2. Но если т делится на 2. то это значит, что т = 2к для некоторого целого числа к. Тогда т² = 4к².

Подставим в т² = 2п² значение для т². Получим 4к² = 2п².

Сократим на 2. получится 2fc² = п².

Но тогда п тоже делится на 2. А значит, мы в начале этого про­цесса недосократили. Но мы же договорились досократить всё. что возможно. В этом и заключается противоречие с тем фактом.

что в выражении -\/2 = Щ- можно добиться того, что хотя бы одно из чисел т, п будет нечетным.

То, что л/2 никогда не представляется в виде Щ, на самом деле означает то же самое, что равенство т² = 2п² всегда неверно. Никогда не получится взять один квадрат с целыми сторонами, умножить его площадь на два и получить другой квадрат с целыми сторонами (удвоенной площади). Ни для каких целых чисел.

Попробуем копнуть этот вопрос поглубже.

А может ли быть так, что они почти будут равны, например, т² = 2n² ± 1?

Вдруг мы сможем взять какие-нибудь огромные числа, возве­сти их в квадрат, умножить одно из них на 2 и выяснить, что ре­зультаты отличаются на 1. Может ли такое быть или нет? И если может быть, то насколько часто такое бывает? И можно ли полно­стью описать все пары целых чисел (т, п), которые удовлетворяют уравнению т² = 2п² ±1? Вопрос, который ставился еще древни­ми — он называется «решение Диофантовых уравнений в целых числах».

Диофант жил в Александрии в III веке нашей эры. Он оставил после себя 13 томов математических изысканий, 6 из них худо­бедно, но дошли до нас, 7 — полностью и безвозвратно потеряны. 6 томов его изысканий до сих пор питают умы математиков. Дио­фант писал всё словесно. Примерно так: «Может ли быть такое, что одно число, будучи взятое то же самое число раз (то есть п · п) и еще столько же раз (то есть 2п · п), отличалось бы от другого числа, взятого другое же число раз (то есть т ■ т) всего лишь на единицу?» Так он записывал уравнение