Цепная дробь (или алгоритм Евклида, который ее породил) мо­жет быть изложена геометрическим образом. Полезно знать, какая геометрия за этим стоит. Ниже я ее изображу.

Немного уточню теорему Лагранжа, что приблизит нас к тер­мину алгебраические числа. Что такое рациональное число? Мы договорились, что это «целое делить на целое» (то есть Щ). Мож­но написать и по-другому. Рациональное число — это корень (то есть решение) уравнения т ^ пх = 0.

17

Например, -g- — корень уравнения 17 — 5ж = 0. Подставьте

17

х = -g- и проверьте это.

К чему мы приходим? К более широкому подходу. Рациональ­ные числа — это корни вот таких линейных уравнений, то есть уравнений первой степени с целыми коэффициентами.

Корнем какого уравнения является число «корень из двух» (обозначим его просто К)? Нужно написать выражение с иксом, у которого целые коэффициенты, такое, что при подстановке по­лучится 0. Вот оно: ж² — 2 = 0.

Оно 2-й степени. Вот я и говорю поэтому: К — число не рацио­нальное. Ведь это уравнение нелинейное, оно второй степени.

А если я напишу: ж¹⁰ ^3 = 0?

Что я получу на выходе? Корень 10-й степени из 3. Число не ра­циональное, удовлетворяющее уравнению, где слева стоит много­член с целыми коэффициентами.

Напишем произвольное уравнение 2-й степени: ах² + Ьх + с = О (тут, конечно, «а» не равно нулю).

Такое уравнение вы, без сомнения, изучали в школе. Но вы из­учали его для произвольных а, Ь, с. А мы будем рассматривать только целые. То есть многочлен, в котором целое число раз взя­та единица (либо минус единица) — получилось «с», потом целое число раз взят х (с тем или иным знаком) — это будет «Ь», и це­лое число раз взят ж² (это — «а»). Решаем квадратное уравнение по известной формуле:

_ ± л/6² — 4ас ^Х ~ 2а '

Мы получили выражение, использующее при своем построении операцию извлечения квадратного корня один раз. Так вот, теоре­ма Лагранжа звучит так: если х является решением уравнения

ах² + Ьх + с = О

с целыми коэффициентами, то тогда его цепная дробь будет ли­бо конечной (если вдруг решение окажется рациональным), либо периодической. Верно также обратное утверждение. Если цепная дробь устроена так, что у нее, начиная с некоторого места, возника­ет периодическое повторение целых частей, то она удовлетворяет такому уравнению с целыми коэффициентами.

А вот теперь, опираясь на эту теорему, я могу вам дать основное определение. Число называется алгебраическим, если оно является корнем хотя бы одного уравнения с целыми коэффициентами про­извольной длины. Не обязательно квадратного, как у нас, а про­извольного (многочлен любой степени).

А трансцендентное число — это число, которое не является алгебраическим. С этим связана долгая история. Стоял вопрос, существуют ли трансцендентные числа вообще. Древним грекам было известно, что длина диагонали квадрата не является рацио­нальным числом. Это было очень неудобно древним. Но, с другой стороны, она удовлетворяет элементарному квадратному уравне­нию, то есть является алгебраическим числом. Возникает вопрос: все ли числа алгебраические? Ответ — нет. Математик Ж. Ли- увилль, живший в середине XIX века, просто выписал конкретное число и доказал, что оно не является алгебраическим. С этого всё и началось. На самом деле алгебраических чисел неизмеримо меньше, чем не алгебраических, то есть трансцендентных.

Грубо говоря, если вы возьмете вещественную ось и случайно воткнете в нее булавочку нулевой толщины, вы практически на­верняка попадете в неалгебраическое число.

Мы с вами на 3 лекции какую-то задачу решали с какой-то железкой (помните? — которую надо куда-то отправить, чтобы она встала в вертикальное положение). Если вы эту железку на­угад взяли где-то, со свалки, установили на шарнир и стали отпра­влять ровно с той силой, чтобы она за бесконечное время встала в вертикальное положение, то сила, наугад взятая, будет транс­цендентная. На самом деле сама железка тоже будет трансцен­дентной по своей длине. Есть самая большая загадка, которая обычно совершенно не понятна людям, не занимающимся мате­матикой. Как это — бесконечности могут быть разные? Вот как можно представить, что бесконечности разные? Вроде бесконеч­ность, она и есть бесконечность. Они все одинаковые. Это один наивный взгляд. Другой наивный взгляд на вещи состоит в том, что, наоборот, почти все бесконечности разные. Вот, скажем, возь­мем множество всех натуральных чисел и множество всех целых чисел. Каких больше?

Слушатель: Целых.

А.С.: «В два раза больше», если вы думаете «в наивном ключе» о бесконечности. Или, так же наивно: «Чисел, которые делятся на 3, в 3 раза меньше, чем всех натуральных чисел». А и тех, и других — бесконечно много.

Оказывается, математика дает безжалостный ответ, совершенно безжалостный: целых чисел столько же, сколько натуральных. Как говорил один шутник: «На этот вопрос есть два мнения — одно из них Мое, а другое — Неверное». В отличие от обычного шутни­ка, с которым можно и поспорить, с математическими «шутками» не поспоришь, ибо они обоснованы строгими доказательствами.

Слушатель: Кстати, и алгебраических чисел столько же.

А.С.: И алгебраических чисел тоже столько же, сколько нату­ральных. И рациональных чисел столько же, сколько натураль­ных, потому что единственный правильный способ, единственный непротиворечивый способ придать значению «столько же» какой- то научный смысл это установить между двумя множествами взаимно однозначное соответствие. То есть каждому целому сопо­ставить некоторое натуральное и наоборот. Сделать это для мно­жеств целых и натуральных чисел весьма просто (рис. 68):

То ость вы сможете все целые числа перенумеровать. У вас ка­ждое целое число в конце концов получит один однозначно опре­деленный номер. Да. кажется, что целых чисел вдвое больше, чем натуральных, но это неправда, на самом деле и тех. и других оди­наковое количество. Мы их пересчитали (и ни одного не пропу­стили). Грубо говоря, целые числа можно перечислить. Все целые точки плоскости тоже можно перечислить (рис. 69).

Начинаю с точки (0.0) это будет моя 1-я точка, и дальше по спирали. И в конце концов каждая целая точка плоскости полу­чит свой один-единственный уникальный номер. Все номера будут заняты, все целые точки плоскости будут перечислены. Представь­те себе, что у вас есть комната, в которой бесконечное количество стульев, и в нее заходит бесконечное количество учеников, как по­нять. что это одинаковые количества?

Слушатель: Посадить учеников на стулья.

Рис. 69. Начнем с точки (0.0) и будем обходить ее постепенно расширя­ющимися оборотами. Каждому из узлов при этом присваивается какой- нибудь не повторяющийся номер: точке (0.0) номер 1. точке (1.1) номер 2. и так далее.

А.С.: И если они займут все стулья, каждый ученик сидит на одном стуле, все стулья заняты, и стоящих учеников нет. то вы констатируете тот факт, что стульев и учеников одинаковое количество.

Врезка 7. Как Кантор размышлял о «взаимно-однознач­ных» процессах

Выше было доказано, что учеников «ровно столько, сколько стульев» (притом и тех. и других бесконечное количество). Но ведь тем же способом я сейчас докажу, что учеников (то бишь натуральных чисел) БОЛЬШЕ, чем стульев (то бишь целочислен­ных точек на плоскости). В самом деле: ученика номер 1 я вообще отправлю домой «как лишнего», на первый стул посажу ученика № 2. на второй ученика № 3, и так далее. Итак, я доказал два взаимоисключающих факта: 1) что учеников и стульев одинаковое количество; и 2) что учеников БОЛЬШЕ, чем стульев. А захотел бы доказал бы и что 3) стульев БОЛЬШЕ, чем учеников. Так что же. для бесконечных множеств, что ли. в принципе нельзя сказать, какое из них «больше»?!

Другой бы ученый на том и успокоился. Но гениальность Кан­тора позволила ему найти верную дорогу в этом мраке. Он спро­сил себя: а как было с этими теоремами для конечных мно­жеств? Для конечных эти три теоремы несовместимы друг с дру­гом, и любая из них может быть использована для выяснения, какое из множеств больше: учеников или стульев. А какой же из трех надо пользоваться для сравнения бесконечных множеств? Оказалось, что для бесконечных множеств надо взять за осно­ву способ 1: если хоть каким-то образом удалось установить взаимно-однозначное соответствие между учениками и стульями, значит, торжественно объявляем эти два множества «равномощ­ными» и не поддаемся ни на какие провокации типа «способа 2» или «способа 3». Только так можно построить непротиворечивое сравнение множеств по мощностям. «В наказание» за это Кантору пришлось доказать несколько труднейших теорем, которые, к со­жалению, не только нельзя «по-простому» пояснить гуманитари­ям, но даже и у будущих математиков (студентов 2-го курса мех­мата МГУ) с пониманием их доказательства возникают большие проблемы. Но хотя их трудно понять и воспроизвести, их уже не­льзя «запретить» подобно тому, как пифагорейцы хотели «запре­тить» иррациональные числа — ведь Кантор всё обосновал строго математически, а другие с этим согласились.

Слушатель: А если у нас, допустим, две сферы, маленькая и большая?

А.С.: Как множества точек это одно и то же (то есть они рав­номощны). Объясню на примере окружностей (вместо сфер). Уста­новим взаимно однозначное соответствие (рис. 70).

Школьник маткласса узнаёт всё это, скажем, в 9-м классе. И вот тут у него, как и у Кантора, возникает мысль: а может, любое бесконечное множество можно пересчитать? Тогда все бес­конечные множества одинаковые. Возьмем отрезок [0,1] и пересчи­таем его. Получат ли все точки отрезка номера?

Нет. И это можно формально доказать (Кантор сделал это). Пе­ресчитать точки отрезка невозможно. И так как внутри отрезка заведомо уживается бесконечное число точек вида параметри­зуемое натуральными числами — например, множество чисел ви-

Рис. 70. Проводя лучи из общего центра двух окружностей, устанавли­ваем взаимно-однозначное соответствие между их точками. (Более того, оно же отвечает важному условию: близким точкам одной окружности соответствуют близкие точки другой.)

да. то мы говорим о том. что отрезок имеет как бесконечное мно­жество большую мощность, он больше как бесконечное множество, чем множество натуральных чисел. На отрезке, на окружности, на плоскости больше точек, строго больше, чем натуральных чи­сел. Где-то в конце XIX века Г. Кантор понял, что бесконечности бывают, разные.

Сейчас я докажу, что множество, любое множество (какое бы оно ни было, конечное или бесконечное), и множество его подмно­жеств не одинаковы. (Второе множество ОБЯЗАТЕЛЬНО будет больше по мощности.)

Сначала возьмем конечный случай. Пусть у нас есть множество. Оно состоит (например) из трех чисел: 0. 1 и 2. Подмножество это какая-то компания, составленная из них. Какие могут быть компании? Во-первых, может быть компания, в которой нет ни одного числа. Ну. как говорят, пустое множество. «Никого в нём нет» называется компания. Но математики никак не могут без это­го обойтись, они просто не могут. Без нуля и без пустого множества математика не живет. Что значит «На день рождения пришло пу­стое подмножество гостей»? Это означает, что вы накрыли стол, и никто не явился. Математик скажет: «Ко мне на день рожде­ния пришло пустое множество гостей». Потом, возможно, пришел только господин 0. И сразу множество перестало быть пустым!

Продолжаем «придумывать “компании”. Так сказать, кампа­ния по нахождению компаний (шутка). Возможно, в гости пришел не Господин 0, а Господин 1 или Господин 2. Вот вам уже целых четыре компании: одна пустая и три из одного «человека». Эти последние могут даже побеседовать... сами с собой («с умным че­ловеком и поговорить приятно»).

(пустое множество),

{0}, {1}, {2}.

Какие еще варианты?

{0,1}, {0,2}, {1,2}.

Все варианты перечислили?

Еще могли прийти все. Итого — 8 разных компаний.

{0,1,2}.

Или такая задача. Вы начальник группы. И вы хотите кого-то наградить. Сколькими способами вы можете решить эту задачу? Вы можете наградить одного, можете не награждать никого. Мо­жете наградить двух, можете всех трех. Сколько у вас способов решить эту задачу? У вас 8 вариантов, потому что 8 подмножеств.

Так вот, ни для какого (ни конечного, ни бесконечного) множе­ства нельзя пересчитать подмножества, используя элементы ис­ходного множества. Подмножеств гораздо больше, чем элементов. У нас элементов всего 3, а подмножеств оказалось 8. Не хва­тит. Если элементов было бы 5, то подмножеств будет 32 штуки. Для конечных понятно — не пересчитаешь. Я хочу сказать, что та­кого не может быть ни для каких вообще множеств. Это доказал Г. Кантор.

Смотрите. Как мы могли бы доказывать теорему о том, что мно­жество и множество его подмножеств не одинаковы.

Рассмотрим множество натуральных чисел 1, 2, 3,4 ... И мно­жество всех подмножеств этого множества, например, все четные, или все делящиеся на 3, или все кубы чисел, начиная с тысячи, и т. д.

Используем доказательство от противного (но в несколько не­обычной обстановке). Предположим, что мы смогли пересчитать множество подмножеств. Подмножество четных чисел получило, скажем, номер 15. Подмножество нечетных получило номер 3. Под­множество «Все четные, начиная с десятки» получило номер 156. Числа, делящиеся на 3, как множество, получили номер 1376, от­дельно взятое подмножество из чисел, которые между ста и тыся­чью лежат, получило номер 1000000 и т. д.