Мое первое прикосновение к Неберущемуся Интегралу состоялось весной, когда я учился в десятом классе.
Группа выпускников собралась в коридоре. Они были вооружены ручками и покрывали плакат закорючками, подписями и выдернутыми из контекста цитатами высказываний нашего учителя физики мистера Риахи. Это был обширный коллаж, полный шуток, которых я не понимал, шуток, которые я понимал наполовину, и шуток, которые мне очень хотелось понять.
Среди всего этого хаоса я заметил необычную мешанину символов:
Я указал на нее:
– Что это?
– Это интеграл e в степени – х в квадрате, – объяснил Дэвид, не прояснив ничего.
– Так в чем же шутка? – спросил я.
– ШУТКА В ТОМ, ЧТО ОН НЕБЕРУЩИЙСЯ, – ответила Эбби, которая всегда разговаривала, словно писала большими буквами.
– А-а-а-а-а… его проверяли? Никто не смог его решить?
Они захихикали.
– АХ, НЕДОУЧКА БЕН, ТРЕТИЙ ИЗ ТРЕХ, – обратилась ко мне Эбби (так оно и было: Бен Копанс и Бен Миллер стояли передо мной в алфавитном списке). – КАКОЙ ТЫ НЕВИННЫЙ И ТРОГАТЕЛЬНЫЙ!
– Как бы то ни было, если под проверкой ты имеешь в виду «когда-либо во Вселенной», – задумчиво сказал Барт, – то да. Его проверяли. И никто не смог его решить.
– То есть это как… делить на ноль? – спросил я.
– Скорее как делать из круга квадрат, – ответил Дэвид.
– ЭТО КАК ДОЖДЬ В ДЕНЬ ТВОЕЙ СВАДЬБЫ! – уточнила Эбби. – КАК ДЕСЯТЬ ТЫСЯЧ ЛОЖЕК, КОГДА ВСЕ, ЧТО ТЕБЕ НУЖНО, – ЭТО НОЖ!
Эбби была права. Если вернуться в детство математического анализа, Иоганн Бернулли писал об угрозе неберущихся интегралов. «Иногда мы не в состоянии сказать с полной уверенностью, можем ли найти интеграл заданной величины». В XIX в. математик Жозеф Лиувилль сказал об этом с определенностью: некоторые интегралы взять нельзя. Например, или ∫ ln (lnx) dx, или У этих интегралов нет чистых решений, точнее говоря, они «неразрешимы в элементарных функциях». Соберите все синусы, все косинусы, все логарифмы и кубические корни, какие вам захочется, но ни одна из стандартных алгебраических «отмычек» никогда не подойдет к формуле. Это замок без ключа, загадка без ответа, жесткий стейк в мире 10 000 ложек.
Я смотрел на символы. Большая загогулина не значила для меня ничего, пока еще нет. «Мы начнем матан через девять месяцев, – заметил ранее мой друг Роз, – и ты знаешь, что это означает: кто-то залетел от моего графического калькулятора». Шутку Роза я понял, но шутка выпускников ускользнула от моего ума.
Перенесемся на восемь лет вперед.
Моя первая работа в качестве преподавателя заставила меня задуматься о торговле подержанными автомобилями на окраине китайского квартала Окленда. Однажды на третий год преподавания я показал своим ученикам продвинутого курса математического анализа неберущийся интеграл: ∫ e−x2 dx. В витиеватых и напыщенных выражениях я разъяснил его нерешаемость.
– Спойлер! – выкрикнула Адриана.
Несколько студентов покачали головами.
Но Бетсайда задала мне провокационный вопрос:
– Так у него нет области под кривой?
Ага, хорошая задачка! Думаю, никто не удивился, что я был небрежен и понятия не имел, как ответить на этот вопрос. Выяснилось, что у функции e−x2 есть чрезвычайно красивый график.
Если вы возьмете конкретную ограниченную область – скажем, от 0 до 1, или от 0,9 до 1,3, или от –1,5 до 0,5, то в самом деле найдете ответ.
Тогда почему интеграл «неберущийся»? Потому что нет хорошей формулы для определения этой площади. Наша волшебная палочка – фундаментальная теорема математического анализа, которая вычисляет интегралы, беря антипроизводные, – здесь оказывается просто бесполезным прутиком. Машите ею хоть сотню лет: никакого магического ответа так и не появится.
– Мой графический калькулятор может это сделать, – сказал Ю Ханг. – То есть, если судить по вашим словам, он умнее всех математиков в мире.
– Ну… – я закашлялся. – Он определенно быстрее аппроксимирует интегралы через суммы Римана.
Самое лучшее, что мы можем сделать с такими функциями, – это аппроксимация. Мой тон выдавал мои предрассудки. Аппроксимация – это не настоящее решение. Она приблизительная. Второразрядная. Не считается.
– А вы уверены? – подзуживал Ю Ханг. – Этот калькулятор, кажется, умнее меня.
Когда урок закончился, я выскользнул из класса через заднюю дверь, которая в стиле Нарнии вела в кабинет статистики. Ее я преподавал первый год и все время спотыкался. Все мои инстинкты были чисто математическими, все доказательства и абстракции для статистики не подходили. Я чувствовал себя так, как будто перепутал виды спорта, словно учу детей сбивать подпрыгивающим теннисным мячиком кегли.
– Средний рост взрослого мужчины в США составляет 178 см, – начал я, – а стандартное отклонение – 9 см. Как много мужчин по нашим ожиданиям могут при этом иметь рост, по крайней мере, 2,14 м?
Как и очень многое в статистике, эта задача основывается на пологом уклоне кривой нормального распределения, также известной как колоколообразная кривая[64]. Ее широко распространенная форма описывает ошибки в измерениях, диффузные частицы, показатели IQ, количество осадков, результаты большого количества подбрасываний монеты, а также, с некоторыми оговорками, рост человека. Итак, начинаем.
Шаг 1: 2,14 м – это 214 см.
Шаг 2: Это на 36 см больше среднего значения.
Шаг 3: Это четыре стандартных отклонения от среднего роста.
Шаг 4: Мы обращаемся к таблице в конце учебника и узнаем, что четыре стандартных отклонения соответствуют процентилю… Хм, в действительности таблица обрывается на 3,5 стандартных отклонениях. Упс!
Шаг 5: Извинившись, я вытаскиваю ноутбук и запускаю Excel, который может провести нас за край таблицы. Наш ответ – 0,999968. Другими словами, люди ростом 2,14 м встречаются в США с 99,9968 процентиля – приблизительно 1 на 30 000 человек.
Мы анализировали этот результат – иначе говоря, спорили об относительных преимуществах Шакила О'Нила[65] по сравнению с Яо Мином[66], – когда меня вдруг осенило, что без всякого плана или предварительного намерения я провел два следующих друг за другом и очень разных урока по одной и той же теме.
Видите ли, кривая нормального распределения, которую мы используем, выглядит так:
Это просто сглаженная версия графика функции: она сдвинута и приплюснута, но в душе остается той же самой функцией. Что означает: у нее нет интеграла. И тем не менее мы тут сидим и ее интегрируем. Каждый день. Постоянно.
Не обращая никакого внимания на невозможность, вся статистика основывается на интегрировании того, что не может быть проинтегрировано. Каждой части населения (например, тем, чей рост находится в промежутке между 178 см и 188 см) соответствует область под кривой.
Природу не волнуют формульные антипроизводные. Таблицы в учебниках, заложенные в Excel формулы, графический калькулятор в рюкзаке Ю Ханга – все эти инструменты позволяют делать хорошие численные приближения. По большей части, это все, что вам нужно. Как подытожил Альберт Эйнштейн, «наши математические затруднения Бога не беспокоят. Он интегрирует эмпирически».
Я стоял у белой доски с маркером в руке. За молнией прозрения, как всегда, последовал медленный, раскатистый гром сожаления. Я хотел распахнуть дверь, которая отделяла кабинет математического анализа от кабинета статистики. Я хотел объяснить, каким дураком я был, покаяться в своем математическом шовинизме. «Абстрактные формулы, – хотел прокричать я, – не обязательно лучше конкретной аппроксимации! Бог интегрирует эмпирически, и эта правда делает нас свободными!»
Что удержало меня, кроме того, что этим я поставлю под вопрос свое психическое здоровье или (что примерно то же самое) прерву урок химии мистера Флеминга, это мысль об ухмылке Ю Ханга. «Я же вам говорил! – съязвил бы он. – Калькуляторы умнее математиков!» Не могу сказать за всех представителей моей профессии, но в моем случае я знал, что он был прав.
И снова переместимся во времени, теперь уже в сегодняшний день.
Я сижу в моем любимом кафе, потягиваю кофе сильной обжарки и занимаюсь «сбором информации» для книги, которую вы держите в руках (то есть отлыниваю от ее написания), и тут натыкаюсь на интеграл, названный в честь Карла Гаусса, как и многие другие вещи, которых он не открывал:
Кажется, из неберущегося интеграла есть исключение. Если заданная область включает в себя всю цифровую прямую от самого дальнего конца слева до самого дальнего справа, от одного неизмеримого горизонта до его недостижимого зеркального отражения, тогда ответ найти возможно.
Это, как ни странно, квадратный корень из π.
Скопление причудливых символов (е, π, ∞) немного напоминает мне о тождестве Эйлера eπi + 1 = 0. Таким помешанным на математике ребятам, как я, хочется расцеловать это уравнение от восхищения. Констанс Рид[67] называла его «самой знаменитой формулой в математике»; Тед Чанг[68] описывает «чувство благоговейного восхищения в тот момент, когда прикасаешься к абсолютной истине»; Кит Девлин[69] даже сравнивает уравнение с «сонетом Шекспира, который каким-то образом ухватывает саму сущность любви».
Ничего не могу поделать с собой и задаюсь вопросом: где же восторженные рукоплескания в адрес решения интеграла Гаусса? Я пишу в Twitter:
Мне нравится тождество Эйлера так же, как музыка Beatles – с робким чувством того, что, возможно, они привлекают слишком много внимания.
Но интеграл Гаусса! Посмотрите на эту красоту, ребята! Это Moody Blues[70] всех уравнений с е и π!
Это только одна проблема. На самом деле я не знаю, почему эта формула верна.
Мне нравится считать себя любопытным исследователем. Также мне доводится жить с профессиональным математиком, в чьем разуме по полочкам разложено множество знаний, которыми я не обладаю. Но – и в этом парадокс моей семейной жизни – эти точки не соединяются. Я почти никогда не прошу жену чему-то меня научить.
Возможно, у меня просто нет такой привычки. Возможно, асимметрия обучения не согласуется с динамикой брака. Возможно, я менее любопытен, чем мне кажется, или во мне больше глупой гордости. Или, может быть, за время, прошедшее с 2003 г., я перестал быть ребенком, который всегда старается понять смысл любой шутки, и стал взрослым, который притворяется, что и так все понял.
В любом случае, сегодня я спрашиваю.
Тарин улыбается, берет купон со скидкой на крем-сыр и на обратной стороне показывает мне, как решается интеграл Гаусса. Возведите все в квадрат, примените теорему Фубини; переведите в полярные координаты, и – вуаля – результат налицо. Квадратный корень из π.
– Так интеграл неберущийся, – говорю я, – за исключением одного случая, когда он таким не является.
Где-то среди 10 000 ложек затесался один нож.
– О, – выдыхает Тарин, переворачивая купон, – нам не нужен был крем-сыр?
Я встаю, чтобы проверить содержимое холодильника, и это мгновение исчезает в вечности.
