В старой шутке спрашивается, способен ли Господь, будучи всемогущим, создать такой тяжелый камень, который он сам не сможет поднять. В вопросе содержится теологическая ловушка. Ответите «нет», и вы недооцените способность Господа творить; скажете «да», и вы неуважительно выскажетесь о его физической силе. Это называется «парадокс» – рана, которую логика наносит сама себе. Это довод, в котором кажущиеся правильными предположения приводят с помощью такой же с виду правильной логики к совершенно идиотическим заключениям.

И если вы думаете, что теология кишит парадоксами, то подождите, пока встретитесь с математикой.

«Труба Гавриила» (или «рог Гавриила»), мой любимый парадокс в математическом анализе, получил свое название в честь архангела Гавриила. Его труба, которая передает на землю послания с небес, чудесна и ужасна, конечна и бесконечна; это связующее звено между смертным и небесным. Такое название очень подходит объекту, обладающему внутренним противоречием.

Чтобы создать трубу, вначале начертите кривую, соответствующую уравнению y =1/x. Когда расстояние по оси х растет, высота по y падает. Когда x = 2, y = ½. К тому времени, когда х добирается до 5, y падает до 1/5. И так это и продолжается вдоль всей оси.

Вскоре x становится достаточно большим, а y – совсем крошечным. Когда х равен миллиону – что соответствует примерно 10 км пройденного пути, – у падает до толщины клеточной мембраны.

К тому времени, когда х добирается до миллиарда – то есть если вы читаете эту книгу в Лос-Анджелесе, то он находится где-то около Москвы, – y составляет По моим расчетам, это половина ширины атома гелия.

Тем не менее кривая движется, так и не пересекая ось, к неисчислимому горизонту, который мы называем «бесконечность».

Теперь мы должны закрутить эту кривую вокруг оси х, чтобы, рисуя тело вращения, получить трехмерную фигуру. Эта имеющая веретенообразную форму красота – собрание неисчислимого множества дисков, каждый из которых бесконечно тонок, – и есть труба Гавриила.

Как и любой трехмерный объект, «труба» позволяет провести два вида измерений. Во-первых, мы можем измерить ее объем – то есть какое количество кубических единиц воды требуется, чтобы ее наполнить. Во-вторых, мы можем измерить площадь ее поверхности – иначе говоря, сколько рулонов оберточной бумаги потребуется, чтобы ее завернуть.

Итак, сперва объем. В физической реальности бесконечный объект не может иметь конечный объем; нам нужна труба, которая становится тоньше атома, так что даже самые лучшие моторные навыки не позволят ее удержать. Но математика располагает другим видом реальности, где такое проявление ловкости – дело обычное. Поэтому, используя стандартные методы, мы получаем интеграл который равен π. Таким образом, объем трубы Гавриила составляет 3,14 кубических единицы с поправкой в ту или иную сторону.

Теперь площадь поверхности. Интеграл получается несколько более ужасающим: Но он только немного больше, чем куда менее пугающий интеграл Оказывается, все это равно… ну, какого-то определенного числа нет. Он неограниченно растет. И поскольку площадь поверхности немного больше этого интеграла, то мы можем заключить, что площадь трубы Гавриила равна ∞.

Вот мы и оказались на пороге противоречия. У трубы Гавриила есть конечный объем, то есть вы вольны заполнить ее краской, вы это можете. Тем не менее у нее нет конечной площади поверхности: при всем желании у вас не получится ее покрасить.

Но… если вы наполните ее краской, не будет ли это значить, что каждая точка поверхности окрашена?

Как и то и другое одновременно может быть правильным?

Первым, кто исследовал эту парадоксальную фигуру, был итальянский математик XVII в. Эванджелиста Торричелли. Вместе со своими приятелями Галилеем и Кавальери он прокладывал «королевскую дорогу через математические чащи», используя новомодную на тот момент математику бесконечно малых величин. «Очевидно, – писал Кавальери, – что плоские фигуры должны пониматься как куски, сплетенные из параллельных линий, а объемные тела – как книги, состоящие из параллельных страниц».

Эти ученые были поглощены бесконечными суммами, бесконечно тонкими элементами и странными объектами, такими как труба Гавриила, которая также известна как «труба Торричелли».

Это был математический анализ, выбирающийся из своей колыбели.

В то время орден иезуитов создал достойную восхищения систему университетов по всей Европе. Это были не просто хорошие учебные заведения, это были католические школы. «Для нас, – сказал один из лидеров ордена, – уроки и научные занятия – это нечто вроде крюка, на который мы будем ловить души». В этой учебной программе математика играла главную роль. «Без сомнений, – заявил один из иезуитов по имени Клавий[61], – математические дисциплины занимают среди всех остальных первое место».

Но не просто любая математика: она должна была быть евклидовой. Евклидова геометрия развилась с помощью четкой логики от самоочевидных предположений до нерушимых заключений без единого сбоя или парадокса. «Теоремы Евклида, – говорил Клавий, – сохраняют… свою истинную чистоту и неоспоримую несомненность». Иезуиты видели у Евклида модель самого общества, где власть папы является неопровержимой аксиомой.

Что касается работы Торричелли, иезуиты не относились к числу его фанатов. Историк Амир Александер в своей книге «Бесконечно малые: как опасная математическая теория сформировала мир» (Infinitesimal: How a Dangerous Mathematical Theory Shaped the World) объясняет: «Тогда как евклидова геометрия являлась строгой, чистой и неопровержимо верной, новые методы были наполнены парадоксами и противоречиями и с равной вероятностью вели как к ошибке, так и к истине». Иезуиты считали трубу Гавриила анархистской пропагандой, угрозой порядку. «У них была тоталитарная мечта о неопровержимой истине и цели, которая не оставляла места сомнениям и спорам», – говорит Александер. Как подытожил Игнатий[62], еще один иезуит того времени: «То, что кажется нам белым, черно, если так говорит Церковь».

Таким образом, папа запретил бесконечно малые. Торричелли стал математическим преступником, а труба Гавриила – интеллектуальной контрабандой.

Ирония в том, что этот парадокс не так уж трудно разрешить. Как труба Гавриила может иметь внутреннюю часть, которую можно наполнить краской, и внешнюю часть, которую нельзя покрасить? Все это зависит от того, как мы думаем об этом процессе.

Как объясняет математик Роберт Гетнер, парадокс строится на предположении о том, что «площадь поверхности» соответствует тому, что нужно покрасить. Но окрашивание не является двумерным. «Если мы планируем покрасить комнату, – пишет он, – мы не будем просить 1000 квадратных метров краски». Как и бумага, окраска трехмерна. У слоя краски есть толщина, пусть и очень маленькая.

Поэтому первый подход: позволить толщине слоя краски постепенно исчезать, становиться все тоньше и тоньше вместе с трубой Гавриила. Пользуясь этим предположением, возможно покрыть поверхность конечным количеством краски. Парадокс разрешен.

Или, если хотите, вы можете выбрать другой подход. Предположим, что для слоя краски нужна некоторая минимальная толщина. (Это больше похоже на окрашивание в физическом мире; например, краска не может лечь слоем толщиной в от размера атома.) Таким образом, двигаясь вниз по оси, труба истончается до субатомных масштабов, но со слоем краски этого не происходит. В конце концов он станет в миллиарды раз толще окрашиваемого предмета. Это возвращает нас к нашему первоначальному выводу, что трубу невозможно покрасить. Только теперь еще и невозможно наполнить ее краской, потому что в определенный момент она становится тоньше, чем самая маленькая частица краски.

Если следовать этому предположению, то трубу невозможно ни окрасить, ни наполнить краской. И снова парадокс разрешен.

Я не могу однозначно сказать, совершили ли иезуиты начала XVII в. религиозную ошибку. Но я полагаю, что с математикой они ошиблись. Парадокс – это не то, чего следует бояться, и не то, что нужно истреблять. Это повод поразмыслить, приглашение к изучению.

Парадоксы произрастают не только в отдающих плесенью закоулках теологии и математики, но также, по словам профессора в области предпринимательства Марианны Льюис, и в корпоративной обстановке. Элементы, которые «кажутся вполне логичным, если рассматривать их отдельно» – краткосрочные цели, долгосрочный прогноз, стратегический приоритет, – становятся «иррациональными, противоречивыми и даже абсурдными, если совместить их». Это не обязательно плохо. «Парадоксы дают пищу способности к творчеству, – пишет Льюис. – Понимание парадокса может содержать ключ к тому, как справиться со стратегическими затруднениями и даже стать лучше, столкнувшись с ними». Парадокс – это песчинка, которая помогает создать жемчужину теории.

Дуглас Хофштадтер, автор книги «Гедель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда»[63], пошел дальше. «В стремлении уничтожить парадоксы любой ценой, – пишет он, – слишком много внимания уделяют плоской последовательности и логичности и слишком мало тому причудливому и замысловатому, что придает вкус жизни и математике». Парадоксы прекрасны сами по себе, а работы Эшера хороши и без краски. Или, в данном случае, с бесконечным окрашиванием.