Ричард Фейнман ненавидел уроки математики. Вся проблема была в том, что перед тем, как дать ученику решить задачу, учитель всегда представляет метод, которым ее следует решать. Где здесь приключение? Любой дерзкий проект становится вялым и безжизненным – государство тупиц, созданное тупицами и для тупиц.

С другой стороны, математический клуб он обожал. Это была игровая площадка, школа колдовства обманщиков и волшебства импровизации. Для решения задач требовалась только алгебра (никакого математического анализа), но для каждой был окольный путь. Если ученик пытался применить стандартный метод, ему не хватало времени. Вместо этого нужно было найти короткую дорогу, упрощающую решение. Например…

Конечно, вы можете продираться через арифметику. Но значительно быстрее изменить точку зрения и сделать течение реки системой координат. Стать шляпой.

Производные немного похожи на уроки математики у Фейнмана. В любом учебнике, стоящем той бумаги, на которой его напечатали, и даже в некоторых, которые и того не стоят, вы найдете четкий и определенный список формул дифференцирования. Применяйте эти законы, и вы не сможете ошибиться.

А что же насчет интегралов? По фундаментальной теореме математического анализа они являются антипроизводными, или производными наоборот. Производная х² равна 2х, интеграл 2х равен х². Но, как вы знаете, если когда-нибудь пытались провернуть обратно фарш, склеить разбитую вазу или – что в самом деле невозможно – отменить подписку на журнал, вряд ли это получится. Интегрирование, по тому же принципу, наполнено множеством интересных исключений. В матане его можно считать аналогом математического клуба Фейнмана.

«Не важно, насколько обширна таблица интегралов, довольно редко удается найти в ней тот самый интеграл, который нужен» – так говорится в необычайно самокритичных «Стандартных математических таблицах». Например, проверьте вот эти два: Не беспокойтесь о частных случаях, просто посмотрите: эти вопросы похожи, и, таким образом, ответы на них должны быть похожи. По крайней мере, ответы должны быть одного уровня сложности. Поэтому если первый из них arctg (x), то второй должен быть…

Хм…

Проверяю свои заметки…

Хорошо, проверяю интернет…

Ну ладно, я должен был догадаться…

Это

Надо же, как все обернулось!

Если дифференцирование – это правительственное здание с сияющими окнами и снабженными аккуратными табличками конференц-залами, то интегрирование – заколдованный дом с привидениями, полный странных зеркал, скрытых лестниц и неожиданных потайных ходов. Не существует никаких безошибочных правил, чтобы безопасно пройти через него, есть только беспорядочное собрание разнообразных инструментов.

Математик Огастес де Морган поэтично подвел итог подобным соображениям таким образом:

Общее интегрирование – только память о дифференцировании. Различные ухищрения, через которые проявляет себя интегрирование, – это не изменения неизвестного в известное, а переход от форм, в которых память не сможет служить нам, в те, с помощью которых она выполнит свою работу.

На первый взгляд новичку непонятно, что же делать с Но используйте замену переменной – обыденный метод интегрирования, – и эта досадная загадка станет достаточно безобидной которую можно найти в любой таблице общеизвестных интегралов. На самом деле ничего не изменилось, кроме используемого языка, имени переменной.

Решение в том, чтобы изменить систему координат. Стать шляпой.

Самостоятельно изучая интегрирование в дальнем углу кабинета физики в своей школе, Фейнман так и не научился некоторым стандартным методам. Вместо этого он собрал инструменты, позволяющие уйти с проторенной дорожки, – такие изящные, но малоизученные маневры, как «дифференцирование под знаком интеграла».

«Я использовал эту чертову штуку снова и снова», – писал Фейнман позднее, после получения Нобелевской премии по физике.

В Массачусетском технологическом институте и Принстоне однокашники Фейнмана обращались к нему с интегралами, которые они не могли взять. Фейнман решал их, часто прибегая к этому мощному трюку. «С интегралами я заработал себе великолепную репутацию, – писал он, – и все потому, что мой набор инструментов отличался от того, что было у всех остальных». С производными все танцуют один и тот же танец, но интегралы дают каждому проявить свой собственный стиль.

Во время Второй мировой войны Фейнман присоединился к группе ученых, работавших в Национальной лаборатории в Лос-Аламосе[47]. Он переходил из подразделения в подразделение, осваивал азы и везде чувствовал себя бесполезным. Однажды один из исследователей показал ему интеграл, который загнал всю команду в тупик на целых три месяца. «Но почему вы не решите его, использовав дифференцирование под знаком интеграла?» – спросил Фейнман. На всю задачу ушло полчаса.

Я сам никогда не изучал этот метод, поэтому обратился к Google. Мои изыскания привели к Math 55 в Гарварде – «возможно, самому сложному математическому курсу для студентов-бакалавров в стране», если верить «Википедии». Среди преподавателей курса есть лауреаты Филдсовской премии (например, Манджул Бхаргава), преподаватели Гарварда (например, Лиза Рэндалл) и Билл Гейтс (ну, то есть Билл Гейтс). «Это определенно своего рода культ, – сообщил студенческой газете Harvard Crimson Раймонд Пьерхамберт, когда-то изучавший курс, а теперь ставший преподавателем Оксфорда. – Я воспринимал его скорее как суровое испытание, а не уроки математики». Инна Захаревич, теперь преподаватель Корнеллского университета, сохранила более приятные воспоминания. «Там меня заставляли заниматься моим любимым видом размышлений, – говорит она. – Брать базовую вещь, которая, как я считаю, мне известна, и действительно очень, очень, очень серьезно над ней размышлять».

В 2002 г. 18-летняя Захаревич прочитала воспоминания Фейнмана. «Я не знала, что такое дифференцирование под знаком интеграла. Я спросила отца, и мы обсудили подход в целом». Затем в один прекрасный день в октябре преподаватель курса Math 55 Ноам Элкис показал студентам формулу:

В математике символ! не выражает энтузиазма. Он говорит об операции «факториал», которая означает «перемножьте все натуральные числа от 1 до этого числа».

Очень круто. Очень мило выглядит. Но это определение чрезвычайно ограниченно: оно имеет смысл только для целых чисел.

В начале XVIII в. Леонард Эйлер нашел новый способ определить факториал – тот самый интеграл, который Элкис показал студентам Math 55. Это обещало распространить понятие на все числа и позволить вам вычислить π! или 1,8732! или √^– 2! – в общем, все, что вашей душеньке угодно.

Есть только одна проблема: можем ли мы быть уверены, что новое определение полностью соответствует старому? Как мы узнаем, что они равны для таких чисел, как 3 и 11?

Захаревич смотрела, как Элкис развертывает стандартное доказательство равенства на примере: повторяющееся, утомительное применение интегрирования по частям. Это широко распространенный и в данном случае достаточно тяжеловесный метод. «Я была подавлена, – вспоминает Захаревич, – потому что доказательство было таким безобразным».

Она была ответственной ученицей и повторила все грубые алгебраические рассуждения на проведенной в тот же день контрольной. Но на обороте Инна написала альтернативное доказательство, применив любимый метод Фейнмана. «Я действительно хотела, чтобы Элкис знал это на будущее», – объяснила она. В доказательстве, которое я воспроизвожу ниже, скорее для красоты, чем с какой-либо еще целью, Захаревич вводит новый параметр, берет производную относительно него, а затем позволяет ей снова раствориться в тени. Эта производная – как совершенно незнакомый человек на дороге, который меняет вашу лысую покрышку, а затем уезжает, а вы так и не успели сказать ему спасибо.

Элкису это понравилось. Пылая учительской гордостью, он опубликовал доказательство в интернете, где спустя 16 лет на него наткнулся я.

«Применять это, – признает Захаревич, – действительно скорее искусство, чем наука».

Уверен, Фейнман одобрил бы подобное доказательство. Это полная дискредитация уроков математики и триумф математического клуба, более хитрого подхода, который определял все в жизни ученого. Возьмите его более позднюю работу в школьных советах. Как вспоминал биограф Джеймс Глик:

Он предложил первоклассникам учиться сложению и вычитанию примерно так же, как он вычислял сложные интегралы, – то есть выбрав любой метод, подходивший для решения этой задачи. В то время принято было считать, что «ответ не имеет значения, пока используется правильный метод». В понимании Фейнмана ничего хуже невозможно было придумать. «Ответ – это все, что имеет значение», – говорил он. Целая куча методов всегда лучше, чем один общепринятый.

Фейнман любил демонстрировать свой набор трюков. Однажды он предложил коллегам по Лос-Аламосу сформулировать любую задачу за десять секунд, пообещав вычислить решение меньше чем за минуту с точностью до 10 %. Его друг Пол Олам задел гордость Ричарда, спросив о тангенсе 10¹⁰⁰ (гугола), что потребовало бы вычислить 1/π с точностью до сотни цифр после запятой: слишком много даже для будущего нобелевского лауреата.

В другой раз Фейнман похвастался, что всё, что другие могут решить традиционным методом интегрирования по контуру, он сможет решить другими способами. Он выдержал несколько трудных задач и спасовал, только когда Олам – эта великолепная Немезида – дал «этот чертов огромный интеграл… Он развернул его так, что решить можно было только с помощью интегрирования по контуру! – вспоминает Фейнман. – Он всегда побеждал меня таким образом!». В этом вся радость и разочарование интегралов: никто – возможно, за исключением Пола Олама, – не может знать все трюки.