В основе каждого раздела математики лежит правило, настолько глубокое, что оно становится известно как фундаментальная теорема. Оливер Нил, математик-исследователь, когда-то выявил более 150 таких кратких основных законов в различных областях, начиная с геометрии – a2 + b2 = c2 – и заканчивая арифметикой – каждое число можно разложить на простые множители (и «Бойцовским клубом»: «первое правило “Бойцовского клуба” – не упоминать о “Бойцовском клубе”». Я шучу: Нил, конечно же, выполнил это правило, не включив его в свой список). В любом случае во всей этой тверди оснований самая великая теорема из всех относится, как вы уже догадались, к тригонометрии.
Да нет, я снова пошутил. Математический анализ здесь на голову выше всех остальных. И первым математиком, который подарил нам фундаментальную теорему матана, была Мария Гаэтана Аньези[46].
Мария родилась в 1718 г., и к 1727 г. она бегло говорила на французском, греческом, латинском и иврите, не считая родного тосканского диалекта. Также она по праву прославилась своей речью, которую хотя и не написала, но перевела на латынь, запомнила и рассказала. Речь была посвящена защите прав женщин на образование, и ее главным аргументом, как я подозреваю, была сама личность оратора.
Отец Марии наслаждался ее успехом. Он был разбогатевшим купцом и видел в способностях дочери потенциальную возможность повысить социальный статус всей семьи.
Вскоре Аньези – старший ребенок в семье, где у нее было 20 братьев и сестер, – стала достопримечательностью обеденных мероприятий, которые называли conversazioni. Буквально это слово переводится как «разговоры», но более точное его значение – «вечеринки умников». Между музыкальными интерлюдиями гостей приглашали обсудить со вступившей в подростковый возраст Марией вопросы науки и философии. Она выступала с импровизированными речами об оптике Ньютона или движении приливов, затем вела беседу, отвечая на вопросы собравшихся о метафизике или математических кривых. После, в конце вечера, всех обносили шербетом! Даже не знаю, что это было: тоска типа урока латыни или же веселуха типа тусовки с мороженым на уроке латыни.
Очевидно, сама Аньези пребывала в смешанных чувствах. Учиться, спорить и болтать о науке? Она была руками и ногами за. Привлекать к себе внимание, соревноваться и выбивать для себя социальный статус? Этого не так уж сильно и хотелось. К 20 годам Мария выторговала у отца освобождение от conversazioni. Вместо этого она проводила время, работая в больницах, обучая неграмотных женщин чтению и помогая бедным и больным. Ну, знаете, все эти занятия бунтующей против родителей дочери.
В 30 лет Аньези опубликовала свою первую и единственную книгу «Основы анализа для итальянской молодежи» (Instituzioni Analitichead Uso della Gioventù Italiana). Первоначально книга задумывалась как способ обучить математике младших братьев Марии, но потом превратилась в нечто большее – способ обучить математике младших братьев кого угодно. «Она пришла к мысли, – говорит историк Массимо Маззотти, – что может работать над более амбициозным проектом – введением в математический анализ, который проведет новичка от начал алгебры к новым дифференциальным и интегральным методам. Это стало бы великолепной работой по обобщению…»
В самом деле, труд должен был стать самой полной, доступной и хорошо организованной книгой, когда-либо написанной по математическому анализу, а также первой работой, объединяющей интеграл и производную под одной обложкой. Такой всеобъемлющий охват позволил Аньези подчеркнуть маленький и давно известный факт. То, что даже можно назвать фундаментальным фактом.
Итак, перейдем к фундаментальной теореме матана.
Для математиков обратные процессы – это действия, которые отменяют друг друга, уравновешивая противоположности. Представьте, что вы прибавляете 5, а затем отнимаете 5. Первое действие приведет вас от А к В, а второе – от В к А.
То же самое происходит с умножением и делением на 3. Возьмите любое число, умножьте на 3, а потом разделите на 3. Дайте я угадаю: вы получили то самое число, которое было вначале! Мне стоило бы податься в экстрасенсы, правда?
В математике очень много подобных противопоставленных пар. Возведение тройки в квадрат дает 9, квадратный корень из 9 возвращает тройку. Геометрическая прогрессия превращает 2 в 100, логарифм делает из 100 снова 2. Год занятий наполняет невежественный разум знаниями, лето возвращает его к первоначальному состоянию.
Фундаментальная теорема математического анализа – это простой и потрясающий факт: производная и интеграл противоположны друг другу. Я не вкладываю в эти слова обычного, фигурального смысла. Это не то же самое, что сказать «Гермиона и Рон – полные противоположности друг другу», потому что она рассудительна, а у него горячая голова, она девушка, а он парень, она умна, а он… ну, в общем, Рон. Нет, я говорю о противоположности в точном математическом смысле.
Я объясняю это студентам на примере из физики. Скажем, у нас есть функция положения: мы точно знаем, где находилась наша машина в каждый момент времени в течение двух последних часов.
Можем ли мы исходя из этой информации определить скорость машины? Конечно! Просто посмотрите на угол наклона графика. Это называется дифференциацией или взятием производной.
Теперь сотрите все с вашей воображаемой доски. Представьте, что мы начали с функции скорости: мы точно знаем, как быстро ехала наша машина в каждый момент времени в течение последних двух часов.
Можем ли мы из этой информации определить, как менялось положение машины, то есть как быстро она двигалась? Разумеется! Пройденное расстояние – это просто область под кривой. Этот процесс называется интегрированием или взятием интеграла.
Таким образом, производная и интеграл – поиск угла наклона кривой и поиск области под ней – противоположны друг другу. Первая извлекает одно мгновение из потока времени, второй восстанавливает поток, собирая его по капле.
Но это мое объяснение, а не то, которое дала Аньези. Молодая женщина из XVIII в. не ездила на автомобилях. На самом деле в своей книге она вообще отказалась от каких-либо физических объяснений.
Не то чтобы Мария была безразличной или небрежной учительницей. Однажды, когда отец заставил ее во время послеобеденных посиделок читать наводящую ужас научную лекцию, она извинилась перед гостями, сказав, что «не любит публично говорить о таких вещах, когда на одного увлеченного человека приходится двадцать умирающих от скуки». Нельзя сказать и что она не любила физику саму по себе, – черт возьми, в ней она была местным знатоком. Так почему же она отказалась от примеров из физики, которые помогают сделать математический анализ конкретным и наполнить его смыслом? Неужели братья никогда не спрашивали ее о том, как «это можно приложить к реальному миру» и не задавали вопрос: «А как нам это использовать?»
Может, они это и делали, но для Аньези математика не была связана с практикой. Это был священный путь к Богу. Чистое логическое мышление давало человечеству опыт познания божественного, приближения к вечной истине. Для такого набожного человека, как Аньези, только это имело значение. Зачем же марать небесное земным, геометрию физикой?
Рафинированный подход Аньези дал жизнь бессмертному творению. «Терминология и условные обозначения настолько хорошо подобраны и современны, – пишет историк математики Хоакин Наварро, – что не надо добавлять ни одной запятой, чтобы они стали понятны современному читателю». Чтобы оценить точку зрения Аньези на фундаментальную теорему математического анализа, рассмотрим интеграл как сумму бесчисленных крошечных прямоугольников, размещенных под кривой графика.
Производная измеряет изменение всей этой области, другими словами, размер последнего прямоугольника, который присоединился к линии горизонта.
Но учитывая бесконечно малое dx, размер этого прямоугольника всего лишь высота кривой.
Это значит, что если вы (1) начнете с кривой, (2) интегрируете ее и (3) дифференцируете, то вернетесь к тому, с чего начали. Хотя это кажется непохожим на наш разговор об автомобиле выше – эти два примера иногда рассматривают как «первую фундаментальную теорему» и «вторую фундаментальную теорему», – обе дороги ведут в одном направлении. Опять же, производные и интегралы действуют, как яд и антидот или карандаш и ластик.
Согласно фундаментальной теореме, весь математический анализ – это один гигантский символ инь-ян.
Аньези понимала единство противоположностей лучше, чем кто-либо другой. Только посмотрите, какие тождественные сущности она воплотила: математику и мистику, католическую традицию и зачатки феминизма, изучение науки и религии. Она даже соединила самых ярых противников – Ньютона и Лейбница, чья вражда все еще горела ярким пламенем, когда Мария приступала к своей книге. Как никто другой, Аньези сумела объединить флюксии англичанина с дифференцированием немца, добившись такого идеального слияния, что один из кембриджских профессоров математики срочно выучил итальянский, чтобы перевести ее шедевр на английский.
Мария не воспринимала ничего из вышеперечисленного как противоречие. Маззотти пишет, что «само по себе отнесение науки и религии к противоборствующим силам для Аньези не имело смысла». Это наша эпоха разделила разум и веру. Аньези думала по-другому.
В 1801 г., когда нетерпеливый профессор из Кембриджа переводил ее книгу, он ошибочно принял слово versiera (термин, который моряки используют для обозначения паруса) за его омоним, сокращение от avversiera (ведьма). Таким образом, математический график определенного вида стал известен англоговорящим читателям как «ведьма Аньези». Это навеки сохранилось как свидетельство гениальности Марии и недостатков любительского перевода.
Сегодня фундаментальная теорема математического анализа, возможно, самое сильное и широко распространенное упрощение в математике. С ним интеграл – эта утонченная сумма бесконечного количества стремящихся к нулю частей – становится просто антипроизводной. Мы можем забыть замысловатые линии крыш Римана, искусные преобразования Лебега, геометрические маневры Евдокса и Лю Хуэя. Это просто обратная сторона производной. Мы словно много лет регулярно взламывали дверь, чтобы попасть в дом, и, наконец, узнали о существовании ключей.
Но не этим прославилась Аньези. «Для нее математический анализ был способом отточить разум так, чтобы он мог по достоинству оценить Господа, – пишет Маззотти. – Она верила в рассудочную духовность, а не в нелепую набожность или порожденное воображением суеверие». Через этот трезвомыслящий взгляд мы получаем лучшее представление о математическом анализе – дисциплине одновременно практической и по своей природе прекрасной.
В этом смысле нас всех можно отнести к итальянской молодежи.
