Еще на заре цивилизации люди заметили, что любое нагретое тело служит источником тепла. Если тело разогреть до очень высокой температуры (накалить), оно начинает испускать видимый свет. На языке волновых представлений тело при постепенном нагревании сначала испускает тепло — невидимые инфракрасные лучи, затем — световые волны: красного, оранжевого цвета и далее по спектру Долгое время процессы испускания тепла и света люди использовали на практике, не умея объяснить суть происходящих явлений.

Первый крупный шаг в теоретическом исследовании свойств равновесного излучения был сделан немецким физиком Г.Р. Кирхгофом. Было известно, что в равновесных условиях спектр излучения зависит от вещества тела. Г.Р. Кирхгофу удалось доказать, что в природе действуют общие законы излучения нагретых тел, которые не зависят от их природы, формы и размеров.

Опираясь на представления об объемной плотности излучения и и спектральной (объемной) плотности излучения ρ_ω, которые для сплошного спектра в интервале частот от 0 до + ∞ связаны соотношением:

Г.Р. Кирхгоф показал, что при постоянной температуре ρ_ω совершенно не зависит от природы и свойств тел. Немецкий физик подчеркивал, что особенность равновесного излучения обусловлена непосредственно вторым началом термодинамики (см. т. 2, глава 3, п. 3.4.4). В частности, свойства равновесного излучения он объяснял, исходя из постулата о невозможности создания вечного двигателя второго рода. Кирхгоф полагал, что нельзя получить энергию за счет передачи тепла от холодного тела к горячему.

^{Схема, иллюстрирующая соотношение между падающим, отраженным и испускаемым излучением} 

Если на тело падает излучение, то определенная его часть неизбежно отражается от поверхности раздела между телом и средой, а остальная часть проникает внутрь тела. Доля всей падающей энергии для фиксированного интервала частот ω, ω + Δω, которая остается внутри тела и превращается в тепло, называется поглощательной способностью A_ω. Энергия, излучаемая единицей площади поверхности за 1 секунду, называется испускательной способностью E_ω.

Установленное Кирхгофом соотношение:

I_ω = E_ω/A_ω = (c/8π)r_ω, (5.2)

где I_ω — спектральная яркость, c — скорость света в вакууме, означает, что отношение испускательной способности тела к его поглощательной способности, пропорциональное спектральной плотности равновесного излучения, для всех тел одно и то же.

Тело, которое обладает максимальным значением A_ω, равным единице, Кирхгоф назвал абсолютно черным. Пользуясь уравнением (5.2) при A_ω = 1, можно получить:

I_ω = E_ω = (c/8π)r_ω, (5.2)

Это означает, что испускательная способность E_ω абсолютно черного тела является универсальной функцией частоты и температуры:

ρ_ωdω = F(ω, T)dω (5.4) 

^{Модель абсолютно черного тела}

Дальнейшая задача заключалась в раскрытии явного вида этой функции. После ряда важных работ российских физиков В.А. Михельсона и Б.Б. Голицина наиболее значительный шаг в этом направлении был сделан Вильгельмом Вином, который в своей работе, помимо термодинамического подхода, воспользовался электромагнитной теорией света. Немецкий физик показал, что спектральная плотность излучения черного тела должна иметь максимум, а длина волны, соответствующая этому максимуму, обратно пропорциональна абсолютной температуре тела:

Несмотря на присутствие неявной функции F(ω/T) формула Вина ведет к некоторым совершенно определенным количественным соотношениям. Прежде всего, при помощи соотношения (5.5) можно рассчитать интегральную плотность излучения u и перейти к известному закону Стефана-Больцмана.

u = αT⁴. (5.6)

Чаще всего результаты расчетов Вина представляют в виде так называемого закона смещения:

b = λ_maxT, (5.7)

где b = 2,9∙10^–5 м∙К — постоянная Вина; λ_max — длина волны, на которую приходится в спектре максимум излучения.

Используя закон смещения, по измеренной кривой распределения энергии по частотам стало возможным определять температуру тела. Таким способом, например, была установлена температура Солнца.

В 1896 г. В. Вин предложил эмпирическую формулу для определения интегральной плотности излучения

где c₁ и c₂ — коэффициенты, определяемые опытным путем.

Анализируя уравнение (5.8), целый ряд известных физиков своего времени доказали, что кривая спектральной плотности всегда имеет максимум, который смещается при повышении температуры, что соответствовало закону Вина [формула (5.7)]. Вместе с тем, из экспериментов следовало, что формула (5.8) справедлива только в области больших длин волн (при низких температурах). 

На рубеже XIX–XX вв. лорд Рэлей на основе статистического закона о равномерном распределении энергии по степеням свободы вывел другое соотношение, которое было призвано определить спектральную зависимость плотности излучения для абсолютно черного тела:

ρ_ω(T)dω = (2ω²/πc³)∙kTdω

где k — постоянная Больцмана.

Поскольку в уточнении формулы (5.9) принимал участие Дж. X. Джинс, она получила название закона Рэлея-Джинса. Эксперименты показали, что в области малых длин волн (или при высоких температурах) спектральная плотность излучения пропорциональна температуре в соответствии с законом Рэлея-Джинса. Однако попытки распространить зависимость (5.9) на всю область частот неизменно приводили к абсурду: интегрирование ρ_ω(T) по всем частотам от нуля до бесконечности приводило к бесконечно большой плотности энергии излучения. Это означало, что тело должно излучать энергию до тех пор, пока его температура не упала бы до абсолютного нуля. Такой результат находился в принципиальном противоречии с экспериментом, поскольку равновесие между излучением и его материальными центрами возможно при любой температуре. Кроме того, в условиях равновесия плотность излучения очень мала по сравнению с плотностью энергии, заключающейся в материальных телах.

Согласно закону Рэлея-Джинса, значительная часть энергии в спектре теплового излучения приходится на его коротковолновую (ультрафиолетовую) область, что также коренным образом противоречило эксперименту. Такое несовпадение теоретических и экспериментальных данных один из основателей квантовой механики Пауль Эренфесш назвал «ультрафиолетовой катастрофой», или парадоксом Рэлея-Джинса.

Таким образом, подводя итог всему сказанному выше, следует подчеркнуть, что в теории теплового излучения классическая физика потерпела решительное поражение. По образному выражению известного физика X. А. Лоренца, «уравнения классической физики оказались неспособными объяснить, почему угасшая печь не испускает желтых лучей наряду излучением больших длин волн».

К концу XIX в. существовали две формулы, каждая из которых соответствовала экспериментальным данным в ограниченном участке спектра, но ни одна из них не описывала всю экспериментальную кривую. Среди физиков, пытавшихся найти явный вид функции и_х или w_u), который согласовывался бы с экспериментальными данными, был немецкий физик-теоретик Макс Планк.

^{Макс Планк (1858–1947)}

В октябре 1900 г. ему удалось сначала чисто эмпирически найти формулу, которая хорошо согласовывалась с опытными данными. В двух предельных случаях (для длинных и для коротких волн) она соответственно переходила в формулу Рэлея-Джинса или в уравнение Вина:

где a и b — коэффициенты, получаемые эмпирическим путем.

М. Планк понимал, что полученное им соотношение являлось «лишь счастливо обнаруженной интерполяционной формулой»^{459}. Позднее немецкий ученый писал: «…с самого дня ее установления передо мной возникла задача — отыскать ее подлинный физический смысл»^{460}. В результате нескольких недель напряженнейшей работы на основе чрезвычайно смелой гипотезы М. Планку удалось прийти к новой формуле. Результаты теоретических расчетов были обнародованы на заседании Немецкого физического общества 14 декабря 1900 г. Ученый предложил невозможную с точки зрения классической физики идею: энергия макроскопических систем может принимать только определенные, дискретные значения. При этом электромагнитное излучение испускается и поглощается только порциями — квантами (первоначально немецкий физик-теоретик назвал их элементами энергии). При выводе своей формулы Планк схематизировал излучающие материальные центры, рассматривая их как линейные гармонические осцилляторы всевозможных частот, несущие электрический заряд, при посредстве которого они могут обмениваться энергией с окружающим электромагнитным полем.

На основании этой гипотезы Планк вывел формулу для объемной спектральной плотности излучения в следующем виде:

 где h — постоянная Планка, k — постоянная Больцмана.

Как видно на рисунке, с ростом температуры максимум функции (5.11) смещается в сторону малых длин волн.

Закон излучения Планка продемонстрировал прекрасное согласие с экспериментальными данными. Для случая, когда hν = ħω >> kT, т. е. для высоких частот или низких температур, уравнение Планка (5.11) совпадало с формулой Вина (5.8). C помощью формулы (5.11) стал возможным расчет интегральной плотности излучения u [уравнение (5.6)]. При этом величина и оказывалась конечной величиной. Таким образом, формула Планка устранила так называемую «ультрафиолетовую катастрофу». Позднее теорию Планка использовал А. Эйнштейн, чтобы устранить серьезные затруднения в классической теории теплоемкости.

Закон излучения М. Планка нашел широкое практическое применение. C его помощью удалось вычислить значения h и k. На его основе, используя пирометры, стало возможно определять температуру нагретых тел (например, поверхности звезд). При температурах выше 2000 К единственное надежное определение температуры было основано на законах излучения черного тела и законе излучения Кирхгофа. Закон излучения Планка стали использовать при расчетах параметров различных источников света.

^{Графическая интерпретация закона излучения Планка} 

М. Планк впервые ввел новую физическую константу h — элементарный квант действия и на основании опытных данных рассчитал ее значение, которое составило h = 6,548x10^–34 Дж∙с[40].

Эту фундаментальную физическую постоянную немецкий ученый называл «таинственным послом из реального мира»^{461}.

Фундаментальное значение открытий, сделанных немецким ученым, заключается в обосновании идеи о квантовой природе света. Вывод формулы (5.11) привел к открытию новой фундаментальной постоянной. На основании закона излучения Планка была разработана гипотеза о том, что энергия переносится квантами — дискретными порциями. Величина такого кванта энергии зависит от частоты света и равна:

E = hν = ħω. (5.12)

Создание такой гипотезы оказалось поистине революционным шагом в развитии всего естествознания. Как писал французский физик и математик Ж.А. Пуанкаре в 1912 г., теория Планка, согласно которой «физические явления перестают повиноваться законам, выражаемым дифференциальными уравнениями, есть, без всякого сомнения, самая большая и самая глубокая революция, которую натуральная философия претерпела со времен Ньютона»^{462}.

Несмотря на революционность своего открытия, М. Планк не мог отбросить хорошо проверенную на опыте волновую теорию. Немецкий ученый был воспитан в духе старой доброй классической физики и оставался ревностным ее хранителем. Еще не раз с помощью различных моделей он пробовал объяснить распространение излучения на основе волновых представлений. В конце концов, под напором экспериментальных фактов М. Планк отказался от дальнейших попыток. Вместе с тем в одной из работ 1911 г. он получил парадоксальный результат, который оказался чрезвычайно важным в современной физике: при абсолютном нуле средняя энергия осциллятора не обращается в нуль, а равна ħω/2. Эту величину в дальнейшем назвали нулевой энергией осциллятора.

Установление закона излучения Планка ознаменовало глубокий разрыв с классической физикой. Таким образом, 1900 г., когда впервые была сформулирована гипотеза о квантах энергии, явился началом новой эры в развитии теоретической физики. От закона излучения Планка можно проследить две взаимосвязанные линии эволюции, которые к 1927 г. завершились окончательной формулировкой квантовой механики в двух ее формах.