Задача 1. Если два треугольника подобны, то соответствующие углы должны быть равны. Правильный ответ: а.

а) Равный

б) Пропорциональный

в) Равно 180 градусам

Задача 2. Соотношение углов в треугольнике составляет 6: 9: 15. Найти значение каждого угла в градусах.

Ответ б. 36:54:90 = 6: 9: 15 и 36 +54 +90 = 180 градусов (сумма всех углов треугольника).

а) 24, 36, 60

б) 36, 54, 90

в) 46, 54, 80

г) 35, 65, 90

Задача 3. Найдите площадь прямоугольного треугольника, стороны которого равны 30, 40 и 50.

Решение:

Наибольший угол в треугольнике расположен напротив наибольшей стороны. Это означает, что прямой угол расположен напротив стороны, равной 50. То есть гипотенуза треугольника равна 50, а катеты 30 и 40. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катеров:

А = 0,5 (30 * 40) = 600

Задача 4. Найдите площадь параллелограмма на рисунке 85.

Рисунок 85. ABCD — параллелограмм. AD = 19см и CE = 11см

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

A = 19 см * 11 см = 209 см^2

Задача 5. В параллелограмме на рисунке 1 найдите длину стороны AB, если ED = 5,5 см.

Решение:

Из теоремы Пифагора CD^2 = CE^2 + DE^2

CD ^ 2 = 11^2 +5,5^2

CD ^ 2 = 121 +30,25 = 151,25

CD = 12,3

AB = CD = 12,3

Задача 6. В задаче 4 вы нашли, что площадь ABCD равна 209. Найдите длину BF, если угол BFC = 90 градусов. См. Рисунок 86

Рисунок 86. AD = 19, CD = 12,30 DF = 8,5, DE = 5,5, CE = 11

Решение:

Площадь ABCD = CD * BF, тогда BF = Площадь / CD

В задаче 5 мы нашли, что CD = 12,3

BF = 209 / 12,3 = 16,99

Задача 7. На рисунке 86 найдите площадь многоугольника ABFD.

Решение:

Поскольку ABCD является параллелограммом, AB || CD, и тогда AB || DF.

Если AB || DF, тогда ABFD — это трапеция, а одна сторона трапеции (BF) — это ее высота, потому что угол BFC = 90 и угол BFC + угол BFD = 180 градусов (прямая линия). Тогда BFD = 90.

Так как AB || CD, угол BFC и угол ABF являются соответствующими углами и равны, то согласно теореме Фреда, площадь трапеции равна 0,5 (AB + DF) * BF

Нам нужно найти DF. DF = CD — CF. Мы знаем, что CD = 12,3. BC = 19. Угол BFC = 90.

Из теоремы Пифагора BC^2 = BF^2 + CF^2.

Тогда CF^2 = BC^2 — BF^2

Мы нашли в задаче 6, что BF = 16.99.

CF^2 = 19^2 — (16.99) ^2 = 361 — 288,66 = 72,34

CF = 8,5.

DF = 12,3 — 8,5 = 3,81

Площадь трапеции равна половине произведения высоты на сумму оснований.

Значит площадь ABFD = 0,5 (12,30 +3,81) * 16,99 = 136,85 см^2

Рисунок 87.

Задача 8. На рисунке 87 найдите площадь треугольника BCF.

Решение:

В задаче 4 мы нашли, что площадь ABCD = 209, а в задаче 7

установлено, что площадь ABFD составляет 136,85 см ^ 2.

Тогда площадь треугольника BCF будет 209 — 136,85 = 72,15

Второе решение:

Площадь треугольника BCF = 0,5 * BF * CF = 0,5 * 16,99 * 8,5 = 72,21

Задача 9. Найдите площадь трапеции на рисунке 88.

Рисунок 88. Трапеция ABCD

Решение:

Площадь трапеции равна 1/2 от суммы оснований трапеции по высоте.

A = 0,5 (15 +25) * 7 = 20 * 7 = 140

Задача 10. Найдите площадь круга на рисунке 89.

Рисунок 89. Круг

Решение: Площадь круга = Pi * R^2 = 3,14 * 49 = 153,86

Задача 11. Площадь круга равна 255. Найти радиус. (Приблизительно)

R^2 = Площадь / Pi

Решение: R^2 = 255 / 3,14 приблизительно = 81. Радиус 9.

Задача 12. Прямоугольный треугольник имеет стороны 8, 3X и 5x.

5х — гипотенуза треугольника. Найдите стороны и площадь треугольника. См. Рисунок 90.

Figure 90.

Решение: согласно теореме Пифагора

(5x) ^2 = 8^2 + (3x) ^2

25x^2 = 64 +9x^2

25x^2 — 9x^2 = 64

16x^2 = 64

X^2 = 4

х = 2

AC = 3 * 2 = 6

BC = 5 * 2 = 10

Площадь = (8 * 6) / 2 = 24

Задача 13. Один угол в прямоугольном треугольнике равен 45. Один катет равен 9. Найдите длины всех сторон. Смотрите рисунок 91.

Рисунок 91

Решение: Сумма всех углов в треугольнике равна 180. Один угол равен 90, а другой — 45. Тогда неизвестный угол равен 180 — 90 — 45 = 45.

Если угол B = C = 45, то AB = AC = 9

Согласно теореме Пифагора BC^2 = AC^2 + AB^2.

BC^2 = 9^2 +9^2 = 81 +81 = 162

BC = квадратный корень из (162) = 12,73

Задача 14: Углы треугольника равны 2х, 2х — 45 и х. Сторона, противоположная углу 2x, равна x. Найдите длины всех сторон треугольника. Смотрите рисунок 92.

Рисунок 92

Решение: сумма всех углов треугольника составляет 180 градусов. Итак, мы можем написать:

2x + (2x-45) + x = 180

2x +2x — 45 + x = 180

2x +2x — 45 +45 + x = 180 +45

2x +2x + x = 225

5x = 225

х = 225/5 = 45

Если х = 45 тогда угол ABC равен 45, а угол BAC равен

2x = 2 * 45 = 90.

Угол ACB = 90 — 45 = 45.

Если углы ABC и ACB равны, то AB = AC.

Если угол BAC = 90, то BC — это гипотенуза. BC = х = 45.

Из теоремы Пифагора мы можем найти длину AB и AC

BC^2 = AB^2 + AC^2

45 * 45 = AB^2 + AC^2

Так как AB и AC равны, мы можем написать

45 * 45 = 2AB^2

2025 = 2AB^2

2025/2 = (2AB^2) / 2

AB^2 = 1012,5

AB = квадратный корень из (1012,5) = 31,8

AB = 31,8 AC = 31,8

Задача 15. В равнобедренном треугольнике на рис. 93 длина равных сторон равна 10, а длина основания равна 7. Какова площадь треугольника?

Рисунок 93

Решение:

Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание. Высота равнобедренного треугольника является медианой и делит основание треугольника на два равных сегмента. AD = CD.

Длина высоты неизвестна, но мы можем рассчитать ее, используя теорему Пифагора.

AB^2 = AD^2 + BD^2

Тогда BD^2 = AB^2 — AD^2

Тогда площадь треугольника ABC равна

AD * квадратный корень из (AB^2 — AD^2)

AD = 7/2 = 3,5

BD ^ 2 = 10 ^ 2 — 3,5 ^ 2 = 100 — 12,25 = 87,75

BD = квадратный корень из (87,75) = 8,69

Площадь = 8,69 * 3,5 = 30,41

Задача 16. Найдите площадь равностороннего треугольника на рисунке 94, если его сторона равна 5м.

Рисунок 94

Решение такое же, как и для задачи 15.

Длина высоты неизвестна, но мы можем рассчитать ее, используя теорему Пифагора.

AB^2 = BD^2 + AD^2

Тогда BD^2 = AB^2 — AD^2

Тогда площадь треугольника ABC равна (AC * BD) / 2 или AD * BD

AD * квадратный корень из (AB^2 — AD^2)

Если AC = 5 м, то AD = 2,5 м

Площадь = 2,5 м * квадратный корень из (25 — 2,5 ^ 2) =

2,5 м * квадратный корень из (25 — 6,25) =

2,5 м * 4,3 м = 10,83 м ^ 2

Задача 17.

Дано: D, E и F — средние точки треугольника со сторонами AB, BC и AC. Площадь ABC = 100м^2. Найдите площадь треугольника DEF. См. Рисунок 95.

Рисунок 95

Решение: Продолжите линию DE и начертите линию EG, равную DE. Смотрите рисунок 96.

Рисунок 96.

Тогда треугольник DBE = треугольник EGC, потому что BE = EC, DE = EG и угол BED = углу CEG как вертикальные углы. Поскольку эти треугольники равны, их стороны и углы равны.

BD = CG и угол ECG = углу DBE. Если BD = AD и BD = CG, то AD = CG

Если угол DBE = углу ECG, то AB || CG и AD || CG и AD = CG, а это означает, что AC = DG и AC || DG.

Если AF = FC и DE = EG, то AD || EF и если DE || AF и DE = AF,

то AD = EF

И если EG = DE и DE = AF = FC, то EG = FC и EF || CG

Треугольник ECG = FCE, потому что оба треугольника имеют общую сторону EC и FC = EG

А угол ECF = углу CEG так как AG || AC.

Если треугольники имеют две равные стороны и угол между этими сторонами, то треугольники равны.

Если треугольник DBE = EGC и треугольник FCE = EGC, то треугольник DBE = FCE.

Рассмотрим треугольники DBE и DEF. Они имеют общую сторону DE и стороны FE и DB, которые равны из-за равенства треугольников DBE и FCE. Угол BDE = DEF так как AB || EF.

Если две стороны и угол у треугольников DBE и DEF равны, то такие треугольники равны.

Треугольник ADF = DBE, потому что AD = DB и DE = AF, а угол

DAF = EDB потому что DE || AF

Если треугольник BDE = DEF = CEF = CEG, то треугольник ADF = BDE = DEF = CEF = CEG.

Если все 4 треугольника внутри треугольника ABC равны, то площадь треугольника DEF = ¼ площади треугольника ABC = 100/4 = 25

Задача 18. Найти площадь поверхности и объем сферы с радиусом 4.

Решение: Площадь поверхности сферы = 4PiR ^ 2

Площадь = 4 * 3,14 * 4 * 4 = 200,96

Объем сферы = 4/3 Pi R^3

V = 4/3 * 3.14 * 4 * 4 * 4=267.95

Задача 19. Найти радиус и площадь поверхности сферы, если ее объем составляет 113,04

Решение:

V = 4/3 Pi R ^ 3. Разделите обе части уравнения на 4/3 Pi

V / ((4/3) Pi) = R ^ 3

113,04 / ((4/3) * 3,14) = R ^ 3

R ^ 3 = 27, тогда R = 3

Задача 20. Найти наклон и точки пересечения X и Y для функции 8Y +2X = 24

Решение: Решите уравнение для Y.

8Y +2X — 2X = 24 — 2X

8Y = 24 — 2X

8Y / 8 = (24 — 2X) / 8

Y = 3 — 2X / 8 = 3 — 0,25X

Если коэффициент перед X равен — 0,25, то наклон = — 0,25

Точка пересечение Y = 3

(Y = aX + b, точка пересечение Y = b, в нашем уравнении b = 3)

Чтобы найти пересечение X, решите уравнение для X, когда Y = 0.

0 = 3 — 0,25Х

0 — 3 = 3 — 0,25X — 3

— 3 = — 0,25Х. Умножьте обе стороны на -1

0,25X = 3

Х = 3 / 0,25 = 12

X-пересечение = 12. Рисунок 97.

Рисунок 97.

Задача 21. Найти уравнение для линейной функции с наклоном 4 и точкой пересечения Y= 3.

Ответ: Y = 4X +3.

Y = aX + b, точка пересечения Y = b, в нашем уравнении

b = 3, наклон = a = 4. Рисунок 98.

Рисунок 98.

Задача 22. Есть две линейные функции

Y = 2X +3 и Y = 2X — 3

Какие утверждения верны для этих функций?

а) Их склоны одинаковы.

б) Их склоны не одинаковы

в) Графики для этих функций являются параллельными линиями

г) Оба графика для этих функций пересекаются с исходной точкой.

Ответ:

а) Их наклоны одинаковы и равны 2, потому что коэффициент перед X равен 2 в обоих случаях.

Точка пересечения Y равна 3 для первого уравнения и -3 для второго. Это означает, что оба графика не пересекаются с точкой. (0, 0).

Один график на 3 точки выше, а другой график на 3 точки ниже точки (0, 0).

d) Поскольку наклоны равны, а точки пересечения Y не равны, линии параллельны. Рисунок 99.

Рисунок 99.

Задача 23. Найти уравнение для линейной функции с наклоном 3 и точкой пересечения Y равной -3.

Поскольку наклон равен 3, то коэффициент перед X равен 3, а если точка пересечения Y равна -3, то уравнение:

Y = 3X — 3. Вы можете построить график и проверить ответ. Рисунок 100.

Рисунок 100.

Задача 24. Есть две линейные функции Y = 4X +3 и Y = 2X — 3

Какое утверждение верно для этих функций?

а) Их наклоны одинаковы.

б) Их наклоны не одинаковы.

в) Графики для этих функций являются параллельными линиями

г) Оба графика для этих функций пересекаются с исходной точкой.

Ответ:

Наклон для первого графика равен 4, а для второго 2, и они не равны.

Поскольку наклоны не равны, графики не параллельны.

Точка пересечения Y для обоих графиков не равна 0. Это 3 для первого графика и -3 для второго.

Графики не пересекают исходную точку (0, 0). Рисунок 101.

Рисунок 101.

Задача 25. Есть две линейные функции

Y = -2X +3 и Y = 2X +3

Какое утверждение верно для этих функций?

а) Их склоны одинаковы.

б) Их склоны не одинаковы.

в) Графики для этих функций являются параллельными линиями

г) Оба графика для этих функций пересекаются с исходной точкой.

Ответ

Наклоны не равны, потому что противоположны.

Поскольку наклоны не равны, графики не параллельны.

Оба графика не пересекаются в точке (0, 0). Они пересекаются в точке Х=0, У = 3, потому что b =3. Рисунок 102.

Рисунок 102. График функций Y = — 2X +3 и Y = 2X +3.