В декартовой системе координат каждая точка определяется расстоянием от перпендикулярных линий, которые обозначены как ось X и ось Y.
Простейшая функция Y = X представлена прямой линией, которая пересекает начало координат (точку пересечения между осью X и осью Y) и делит пополам прямой угол между осью X и осью Y.
Чтобы построить функцию в системе координат, присвойте любое значение X и вычислите соответствующее значение для Y. Например, для функции Y = X, если X = 0, то Y = 0. Если X = 4, то Y = 4.
Двух точек достаточно, чтобы нарисовать график для линейной функции, которая является прямой линией в системе координат.
Для функции Y = — X график будет иметь зеркальную ориентацию.
Если X = 0, то Y = 0; если X = 3, то Y = -3
На рисунке 63 вы можете увидеть, как были рассчитаны точки. Обратите внимание, что для любой линейной функции
Y = aX + b, где a и b являются константами и представлены действительными числами; изменение «a» на отрицательное число изменит ориентацию графика.
Рисунок 63. График функций: Y = X и Y = — X
На рисунке 64 видно, что график функции Y = 3X имеет зеркальную ориентацию графика функции Y = — 3X.
Кроме того, вы можете видеть, что крутизна линии для функции Y = 3X больше, чем крутизна линии для функции Y = X.
Найдем 2 точки для функции Y = 3X. Если X = 0, то Y = 0. Если X = 1, то Y = 3
Найдем 2 точки для функции Y = -3X. Если X = 0, то Y = 0. Если X = 1, то Y = -3
Рисунок 64. График функций: Y = 3X и Y = -3X
Угловой коэффициент прямой линии — это отношение вертикальных изменений к горизонтальным изменениям. Смотрите рисунок 65.
У треугольника ABC вертикальная сторона BC является катетом, противоположным углу BAC, который является углом наклона прямой.
Сторона AC является катетом, прилегающим к углу BAC. Отношение противоположного катета к прилежащему является тангенсом угла BAC. Поэтому угловой коэффициент прямой численно равен тангенсу угла BAC.
Рисунок 65. Угловой коэффициент прямой. УКП. (5 — 1) / (5 — 1) = 1
Рисунок 66. Параллельные линии для функций (f, g, h) с одинаковым угловым коэффициентом (наклоном) прямой.
Прямые для функций Y = X, Y = X +3 и Y = X — 3 параллельны, потому что эти функции имеют одинаковый коэффициент перед X. Это верно для любой линейной функции: Y = aX + b.
Y = aX + b — уравнение прямой с наклоном a и y-пересечением b.
Для Y = X +3, a = 1 и b = 3. На графике видно, что точка пересечения оси Y для функции Y = X +3 равна 3.
Для функции Y = X — 3, a = 1 и b = — 3. Таким образом, точка пересечения оси Y для функции Y = X — 3 равна -3.
Наклон для обеих функций равен 1.
Вопрос: Найти угловой коэффициент прямой (наклон) и X, Y-пересечения для функции Y = 3X +7
Ответ: Поскольку коэффициент перед X равен 3, то наклон = 3, а поскольку b равно 7, Y-точка пересечения будет равна 7.
Как найти точку пересечения оси X? Присвойте Y = 0, тогда 0 = 3X +7
0 — 3X = 3X +7 — 3X. Вычтите 3X с обеих сторон уравнения.
— 3X = 7
Х = -7/3; точка пересечения оси X = — 2,33
Вы можете построить график и проверить правильность решения.
Посмотрите на следующие графики:
Рисунок 67. Графики линейных функций с разными наклонами.
Обратите внимание, что для графика функции Y = aX + b наклон будет увеличиваться с увеличением коэффициента перед X. Это можно увидеть на рисунке 67.
Чем больше коэффициент перед X, тем больше наклон функции.
Функция может быть написана в другой форме. Например, Y = 2X +9 можно записать как:
Y — 2X = 9 или Y — 9 = 2X.
Вы не должны паниковать, если видите такое уравнение. Вместо этого вы должны решить это уравнение для Y и записать его в правильной форме.
Рассмотрим уравнение 3Y — 6X = 9
Найти угол наклона и точки пересечения X и Y для функции 3Y — 6X = 9.
Сначала решите уравнение для Y. Добавим 6X к обеим сторонам уравнения.
3Y — 6X +6X = 9 +6X.
Тогда получим 3Y = 6X +9.
Разделим каждую часть уравнения на 3 и получим:
Y = 2X +3.
Теперь вы можете видеть, что наклон уравнения равен 2, потому что коэффициент 2 находится перед X, а точка пересечения Y равна 3. Чтобы найти точку пересечения X, найдите X, когда Y = 0.
0 = 2X +3
Вычтите 2X с обеих сторон уравнения.
0 — 2X = 2X +3 — 2X
— 2X = 3
Х = -3/2 = -1,5
Точка пересечения X = -1,5
Постройте график, чтобы проверить, правы ли вы. Найдите хотя бы две точки, чтобы начертить линию.
Х = 0, Y = 2 * 0 +3 = 3
Х = 1, Y = 2 * 1 +3 = 5
Рисунок 68. Наклон и точки пересечения x и y осей для функции Y=2X +3.
Из графика вы можете видеть, что точка пересечения Y равен 3, а точка пересечения X -1,5.
Наклон = (Y2 — Y1) / (X2 — X1) = (5 — 3) / (1 — 0) = 2/1 = 2.
Для линейной функции изменение X соответствует пропорциональному изменению Y. Для нелинейной функции это правило не используется.
Например, для функции Y = 2X +3, если X = 1, Y = 5, если X = 2, Y = 7, если X = 3, Y = 9, если X = 4, Y = 11. Таким образом, каждое увеличение X на один вызывает увеличение Y на 2.
Для функции Y = X^2, если X = 1, Y = 1, если X = 2, Y = 4, если X = 3, Y = 9, если X = 4, Y = 16.
Для каждого возрастания X на единицу Y изменяется на 3, затем на 5, затем на 7.
Увеличение Y не пропорционально увеличению X. Следовательно, эта функция не является линейной.
Функция Y = 1 / X также является нелинейной. Давайте построим ее график.
Если X = 0,25, Y = 4.
Если X = 0,5, Y = 2.
Если X = 1, то Y = 1.
Если X = 2, то Y = 1/2.
Если X = 3, то Y = 1/3.
Если X = 4, Y = 1/4. Если Х = -0,25, Y = -4.
Если X = -0,5, Y = -2.
Если X = 1, Y = -1.
Если X = -2, Y = -1/2.
Если X = -3, то Y = -1 / 3.
Если X = -4, Y = — 1/4.
Рисунок 69. Функция Y = 1 / X
Обратите внимание, что линии, представляющие функцию Y = 1 / X, не могут пересекать начало координат, поскольку X не может быть равно 0. Деление на ноль не определено.
Построим график для функции Y = X^2.
Если X = 0, Y = 0.
Если X = 1, Y = 1.
Если X = 2, Y = 4.
Если X = 3, Y = 9. Если X = -1, Y = 1.
Если X = -2, Y = 4.
Если X = -3, Y = 9.
Построим график для функции Y = -X^2.Если X = 0, Y = 0.
Если X = 1, Y = -1.
Если X = 2, Y = — 4.
Если X = 3, Y = — 9. Если X = -1, Y = -1.
Если X = -2, Y = — 4.
Если X = — 3, Y = — 9.
Смотрите графики на рисунке 70.
Рисунок 70. Параболы
На рисунке 70 вы можете увидеть, как построить параболу в системе координат.
Обратите внимание, что парабола с отрицательным знаком перед X открывается вниз.
Парабола — это зеркально-симметричный набор точек, равноудаленных от данной точки (фокуса).
Вершина параболы — это минимальная или максимальная точка, в которой парабола пересекает ось симметрии.
Директриса параболы — это прямая, перпендикулярная оси симметрии.
От любой точки параболы расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы.
Рисунок 71. Парабола. Вершина, Фокус и Директриса.
Приведенная выше парабола построена с использованием функции
Y = 0,125 X^2
Были найдены следующие точки:
Х = 0; Y = 0,
X = 1; Y = 0,125,
X = 2; Y = 0,5,
Х = 3; Y = 1,125
Х = -1; Y = 0,125
X = -2; Y = 0,5
Х = -3; Y = 1,125
Как найти вершину, фокус и директрису параболы?
Уравнение вертикальной параболы с вершиной (h, k) имеет вид:
4p (y — k) = (x — h) ^2
Число p называется фокусным параметром; оно равно расстоянию от фокуса до директрисы.
Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, ее вершина находится между фокусом и директрисой на одинаковом расстоянии от обеих.
Найти вершину, фокус и директрису для уравнения параболы
8Y = 4X ^ 2 -24X +44
Решение:
Упростим уравнение, разделив обе его стороны на 4
8Y / 4 = (4X^2 -24X +44) /4
2Y = X^2 — 6X +11
Рисунок 72. Парабола. Вершина, Фокус и Директриса.
Теперь нам нужно получить уравнение в виде 4p (Y -k) = (X -h) ^2
Вы можете видеть, что X^2 — 6X +9 = (X — 3) ^2
Тогда мы можем изменить наше уравнение:
2Y = X^2 — 6X +9 +2 (потому что 9 +2 = 11)
Или 2Y = (X — 3) ^2 +2
Вычтите 2 с обеих сторон уравнения.
2Y -2 = (X -3) ^2 +2 -2
Наше уравнение 2 (Y -1) = (X -3) ^2 теперь имеет вид
4p (Y -k) = (X -h) ^2
Из нашего уравнения 4p = 2, тогда p = 0.5
Вершина = (h, k) = (3, 1) или X = 3, Y = 1
Фокус = (h, к + р) = (3, 1 +0,5) = (3, 1,5)
Директриса представляет собой прямую, параллельную оси X с уравнением Y = k-p = 1 — 0,5 = 0,5
Мы можем проверить, правильно ли мы вычислили координаты вершины, если мы заменим X на 3 в исходном уравнении или в уравнении
2Y = X ^ 2 -6X +11
2Y = 3^2 -6 * 3 +11
2Y = 9 -18 +11 = 11—9 = 2
Y = 1
Так как мы получаем Y = 1, координаты вершины правильные
X = 3, Y = 1.
Y = X^3
Построим график кубической функции Y = X^3.
X = 0 Y = 0 ^ 3 = 0
X = 1 Y = 1 ^ 3 = 1
X = 2 Y = 2 ^ 3 = 8
X = -1 Y = (-1) ^3 = -1
X = -2 Y = (-2) ^3 = -8
График функции Y = X^3 показан на рисунке 73. Обратите внимание, что график функции Y = X^3 +3 смещен вверх, а график функции Y = X^3 — 3 смещен вниз.
Для функции Y = X^3 +3, если X = 0, Y = +3.
Для функции Y = X^3 — 3, если X = 0, Y = — 3.
Рисунок 73. Кубическая функция X.
Функция квадратного корня из X выглядит как горизонтальная парабола.
Рисунок 74. Функция квадратного корня.