Рисунок 48. Круг.

Отношение длины окружности любого круга к его диаметру, является математической константой, обозначаемой греческой буквой π (пи). π примерно равно 3,14.

Отрезок прямой от центра круга до его окружности является радиусом круга.

Периметр круга равен произведению его радиуса на 2 π.

Площадь круга равна произведению π на квадрат его радиуса.

Поверхность сферы равна произведению 4 π на радиус круга.

Объем сферы равен 4/3 π * R ^ 3

Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку является касательной. Касательная перпендикулярна радиусу окружности, которая заканчивается в точке касания. Смотрите рисунок 49.

Рисунок 49. AC — касательная. OB — радиус. AC _I_ OB.

Теорема: Отрезки, касающиеся окружности, опущенные из одной точки, равны и образуют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр круга. Смотрите рисунок 50.

Рисунок 50. AB и BC — касательные к окружности.

AB = BC и углы AOB и BOC равны.

Доказательство: треугольник ABO = треугольнику BCO, потому что они имеют общую сторону OB, углы OAB и OCB являются прямыми углами и равны. И стороны AO = CO, потому что они радиусы.

Поскольку треугольник ABO = BCO, стороны треугольников AB и CB равны, а углы AOB и BOC равны.

Круг, вписанный в треугольник, делит стороны треугольника на 3 пары равных отрезков, потому что AB, BC и AC являются касательными

Смотрите рисунок 51.

Рисунок 51. BE = BF, CD = CF, AD = AE

Вписанный угол равен половине дуги. Смотрите рисунок 52.

Рисунок 52. AOC — центральный угол. ABC это вписанный угол. AC это дуга.

Угол ABC = ½ дуги AC.

Доказательство: поскольку AO и OB — это радиусы, AO = OB. Тогда треугольник ABO представляет собой равнобедренный треугольник, а угол BAO = углу ABO.

Угол AOC = 180 — угол AOB. Углы BAO + ABO = 180 — угол AOB. Из этого следует, что угол AOC = BAO + ABO. Поскольку углы BAO и ABO равны, то угол ABO = ½ угла AOC или угол ABC = 1/2 угла AOC.

Поскольку центральный угол AOC равен дуге AC, то угол ABC = ½ дуги AC.

Рисунок 53. Углы ACB, ADB и AEB равны

Если вписанные углы пересекают одну и ту же дугу, они равны. Это является следствием теоремы о вписанных углах.

Рис. 54. Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым углом.

Как следствие теоремы о вписанном угле, вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым углом.

Рисунок 55. Угол, образованный пересечением двух касательных, равен половине разницы перехваченных дуг.

ABC = ½ (дуга AEC — дуга ADC)

Рисунок 56. Угол BAC, образованный пересечением касательной и хорды, равен половине измерения перехваченной дуги AC.

Рисунок 57. Угол, образованный пересечением 2 секущих, равен половине разницы перехваченных дуг. ACE = ½ (дуга AE — дуга BD)

Рисунок 58. Угол, образованный пересечением касательной и секущей, равен половине разницы перехваченных дуг

ABD = ½ (дуга DE — дуга CE).

Угол, образованный двумя хордами, которые пересекаются внутри круга, составляет половину суммы дуг, образованых данным углом и его вертикальным углом. AEB = ½ (дуга AB + дуга CD). Рисунок 59.

Рис. 59.

Теорема:

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма противоположных углов равна 180º. Смотрите рисунок 60.

Рисунок 60. Углы BAD + BCD = 180º

Доказательство: угол BAD равен ½ от меры перехваченной дуги BCD.

Угол BCD равен ½ от меры перехваченной дуги BAD.

Тогда угол BAD + угол BCD = ½ меры (дуга BCD + дуга BAD).

Поскольку (дуга BCD + дуга BAD) = 360, то угол BAD + угол BCD = 180.

Следствия из теоремы:

1. Из всех параллелограммов только прямоугольник может быть вписан в круг (включая квадрат).

2. Только равнобедренная трапеция может быть вписана в круг