Посмотрите на уравнение X + Y = 3. X и Y неизвестны. Вы не можете найти ни X, ни Y из этого уравнения. Вам нужна дополнительная информация об «отношениях» между ними. Такая информация может быть включена в дополнительное уравнение. Например: X — Y = — 1. Теперь у вас есть система из 2-х уравнений:
1. X + Y = 3
X — Y = -1
Есть несколько способов ее решения. Первый способ: найти X в любом уравнении, например, первом.
Для этого вычтите Y из каждой части уравнения:
Х + У — У = 3 — У; Найти Х
Х = 3 — У
Затем подставьте (3 — Y) вместо X во втором уравнении (X — Y = -1).
Вы получите: 3 — Y — Y = -1 или 3 — 2Y = -1
Теперь решите это уравнение относительно Y. Прибавьте 2Y к обеим частям уравнения.
3 — 2Y +2Y = -1 +2Y
3 = -1 +2Y
Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.
3 +1 = -1 +1 +2Y
4 = 2Y
Поменяем местами 4 и 2Y.
2Y = 4
Разделите обе части уравнения на 2.
2Y/2 = 4/2
Y = 2.
Теперь подставьте 2 вместо Y в любом исходном уравнении, чтобы найти X.
Одно из исходных уравнений: X + Y = 3.
Х +2 = 3;
Вычтите 2 из обеих частей уравнения.
Х+2 — 2=3 — 2;
Х = 1
Y = 2
Второй способ решения:
1. Х + У = 3
Х — У = -1
Вы можете просуммировать левые части обоих уравнений и просуммировать правые части обоих уравнений.
X + Y = 3 и X — Y = -1 Тогда
(Х + Y) + (Х — Y) = 3 + (-1)
Или вы можете написать это так:
Если 2 Х = 2 то Х = 1
Поставьте 1 вместо X в любое уравнение.
1 + У = 3
Вычтите 1 из обеих частей уравнения.
1 + Y — 1 = 3 — 1
Y = 3 — 1
Y=2
Мы можем решать системные уравнения, используя их графики. Если мы построим каждое уравнение, мы получим две прямые линии. Точка пересечения линий будет иметь значения X и Y, соответствующие обоим уравнениям.
Чтобы нарисовать график для уравнения, мы должны привести его к общему виду:
Y = аХ + b
Начнем с первого уравнения: X + Y =3
Вычтите X из обеих частей уравнения
Х — Х + У = 3 — Х
Y = 3 — Х
Найдите две точки, чтобы нарисовать линию для первого уравнения. Присвойте любое значение X и вычислите значение Y.
Х = 3; Y (3) = 3 — 3 = 0
Х = 6; У (6) = 3 — 6 = — 3
Чтобы провести прямую линию достаточно двух точек.
Найдем две точки для второго уравнения.
Приведите уравнение к общему виду.
Х — У = -1
Вычтите X из обеих частей уравнения.
Х — Х — У = — 1 — Х — У = — 1 — Х
Умножьте обе части на -1
— Y (-1) = (-1) (-1) — X (-1)
У = Х +1
Найдите две точки, чтобы нарисовать линию для второго уравнения. Присвойте любое значение X и вычислите значение Y.
Х = 5; Y (5) = 5 +1 = 6
Х = -5; Y (-5) = — 5 +1 = -4
Теперь мы можем рисовать графики для обеих линий.
На графике 1 вы видите, что точка пересечения линий имеет X = 1
и Y =2.
Это те же самые значения, которые мы нашли ранее.
График 1. Точка пересечения линий: X=1, Y=2.
Следующая система уравнений:
2. 2Х + У = 5
Х + У = 2
В этом случае у нас есть + перед X и Y в обоих уравнениях.
Чтобы исключить один неизвестный член уравнения, вы можете вычесть второе уравнение из первого.
(2X + Y) — (X + Y) = 5 — 2=3 или:
Подставьте 3 вместо X в любое исходное уравнение.
3 + У = 2
Вычтите 3 из обеих частей уравнения.
3 + Y — 3 = 2 — 3
Y = 2 — 3 = — 1
Y = -1
Ответы: Х = 3; Y = -1;
Решим эти уравнения с помощью графика.
Первое уравнение: 2X + Y = 5.
Приведите уравнение к общему виду: Y = aX + b
Вычтите 2X из обеих частей уравнения.
2X — 2X + Y = 5 — 2X
Y = 5 — 2X
Найдите две точки, чтобы начертить первую линию. Присвойте любое значение X и вычислите значение Y.
Х = 0; Y (0) =5—2*0; Y (0) = 5
Х = 4; Y (4) = 5 — 2 * 4 = 5 — 8 = — 3
Найдем две точки для второго уравнения.
Х + У = 2
Приведите уравнение к общему виду Y = aX + b.
Х — Х + У = 2 — Х;
Y = 2 — Х
Найдите две точки, чтобы начертить вторую линию. Присвойте любое значение X и вычислите значение Y.
Х = 4; У (4) = 2 — 4 = — 2
Х = — 4; Y (-4) = 2 — (-4) = 2 +4 = 6
На графике 2 мы видим, что точкой пересечения является (3, -1). Тот же ответ, который мы нашли раньше: X = 3, Y = -1.
График 2. Точка пересечения линий: X=3, Y=-1.
Следующая система уравнений:
3. Х — У = 3
3X — 2Y = 4
Чтобы исключить один неизвестный член уравнения, например X, вы должны получить одно и то же число перед X в первом и во втором уравнении. А для того чтобы исключить Y вы должны получить одно и то же число перед Y в первом и втором уравнении. В нашем случае перед Y у вас есть -1 в первом уравнении и -2 во втором уравнении.
Чтобы получить -2Y в первом уравнении, вы должны умножить обе части уравнения на два. Тогда вы получите:
2Х — 2У = 6
3Х — 2У = 4
Умножьте обе части уравнения -X = 2 на -1
(-Х) (-1) = 2 (-1)
тогда Х = — 2
Поставьте -2 вместо X в любом исходном уравнении.
— 2 — У = 3
Прибавьте 2 к обеим частям уравнения
— 2 — У +2 = 3 +2
— У = 5
Умножьте обе части уравнения на — 1
— Y * (-1) = 5 * (-1)
У = — 5
Вы можете проверить свой результат. Поставьте -2 вместо X и -5 вместо Y в оба уравнениях:
Проверьте первое уравнение:
1. Х — У = 3
— 2 — (- 5) = 3
— 2 +5 = 3
3 = 3
Проверьте второе уравнение:
2. 3X — 2Y = 4
3* (- 2) — 2* (- 5) = 4
— 6 +10 = 4
4 = 4
Давайте решим эти уравнения с помощью графиков.
Первое уравнение X — Y = 3
Приведите уравнение к общему виду: Y = aX + b
Вычтите Х из обеих частей уравнения:
Х — Х — У = 3 — Х
— Y = 3 — X умножить обе части на -1
У = Х — 3
Найдите две точки, чтобы начертить первую линию. Присвойте любое значение X и вычислите значение Y.
Х = 0; Y (0) = 0 — 3 = — 3
Х = 3; Y (3) = 3 — 3 = 0
Второе уравнение 3X — 2Y = 4
Приведите уравнение к общему виду. Вычтите 3X с обеих сторон.
3X — 3X — 2Y = 4 — 3X
-2Y = 4 — 3X
Разделите каждый член уравнения на -2
— 2Y/ (-2) = 4/ (-2) — 3X/ (-2)
Y = — 2 +3X/2
Поменяйте порядок членов в правой части уравнения
Y = 3X/2 — 2
Найдите две точки, чтобы начертить вторую линию. Присвойте любое значение X и вычислите значение Y.
Найдем чему равен Y при X = 4;
X = 4; Y (4) = 3*4/2 — 2 = 6 — 2 = 4
Найдем чему равен Y при X = 2;
X = 2; Y (2) = 3*2/2 — 2 = 3 — 2 = 1
График3. Точка пересечения линий: X= -2, Y= -5.
1. X + Y = 1
X — Y = — 5
2. X + Y = 1
2X — 2Y = 6
3. X +2Y = 1
2X + Y = — 4
4. 2X + Y = 5
X +3Y = 0
5. 3X — Y = 5
4X +2Y = 10
6. 4X +2Y = 10
4X — 2Y = 6
7. X — Y = 1.5
7X +2Y=6
8. 3X + Y = 9
X — 3Y = 3
9. 5X — 2Y = -7
X +3Y= 2
10. 9X +3Y = 12
X — 2Y = — 1