Гиперболическая геометрия — последняя из трех основных геометрий (наряду с плоской и сферической), но получилось так, что она получает меньше всего «почестей» и наименее известна. Однако связь этих трех геометрий становится очевидной при рассмотрении вариантов кривизны поверхностей (Castle et al., 2012; Hyde, 2015).

В сферической геометрии (S²) обе основные кривизны поверхностей (меридианы и параллели) положительные, а значит, и поверхность одинаково выпукло выгибается с обеих сторон. В плоской евклидовой геометрии (E²) обе эти кривизны равны нулю (вырождаются до плоской поверхности); но в гиперболической геометрии (H²) одна кривизна является положительной (выпуклой), а другая — отрицательной (вогнутой). В результате такого сочетания гиперболические поверхности принимают форму так называемого седла, такую как катеноид и тор (рис. 10.12), а также дают начало другим геометроформам, таким как гироид (H²) и диск Пуанкаре. (Н²).

В то время как кривые с постоянной кривизной и торсией (кручением) становятся спиралями, гиперболическая геометрия соотносит спиральные тенсегрити с катеноидом, поскольку он также является формой с минимальной энергией (Chouaieb et al., 2006), а диск Пуанкаре создает узоры, удивительно напоминающие органические (рис. 10.13). При этом бутылка Клейна (рис. 10.14) отличается от них всех, поскольку это четырехмерный объект, который не может быть визуализирован нами напрямую. Бутылка Клейна имеет лишь одну поверхность, без четкой границы между внутренней и внешней частями (по аналогии с лентой Мёбиуса) — «дно» бутылки изгибается и снова входит само в себя, не проникая при этом в поверхность, а затем открывается сверху (Séquin, 2013).

Таким образом, тенсегрити-структуры можно сравнить с бутылками Клейна, поскольку они также не имеют четкой границы между внутренней и наружной составляющими и способны складываться и взаимопроникать в себя сложными способами (Fuller, 1975, 783.00). Некоторые исследователи также соотносили фундаментальную математику как тенсегрити, так и бутылки Клейна с эмбриональным развитием и генетическим кодом (Rapoport, 2011).

Такой экскурс в сложные математические миры, сделанный в этой главе, был продиктован не праздным любопытством, а практической необходимостью.

Не будем забывать о том, что анатомические структуры не имеют четких и однозначных границ, можно сказать, что они смешиваются друг с другом (Guimberteau & Armstrong, 2015; Stecco, 2015).

Рис. 10.12. Гиперболическая геометрия, отображаемая в катеноиде пузырька (A), призмы T12 (B) и другой конфигурации тенсегрити (C). (B и C © Рори Джеймс)

Рис. 10.13. (A) Диск Пуанкаре, содержащий квадраты и пятиугольники. (B) Пузырьки на поверхности перемешиваемой чашки кофе самопроизвольно образуют сопоставимый узор из-за взаимодействующих между ними сил

Тем не менее такое как бы смешение, наблюдаемое нами в 3D-пространстве, не вносит неразберихи и не препятствует их полноценному функционированию. Представьте себе, что произошло бы, если подобная нечеткость и смешение границ образовались бы в рукотворных инженерных механизмах! Очевидно, что их функция была бы сразу утрачена. В отличие от машин анатомические структуры просто «не обращают внимания» на такое смешение!

Это означает, что, к сожалению, простая и привычная геометрия Евклида и основанные на ней инженерно-расчетные формулы не дают нам инструментария для того, чтобы продуктивно работать со столь сложной реальностью, как анатомия внутреннего устройства живых организмов.

Что же делать? Есть только два пути.

Первый путь, исторически избранный функциональной анатомией и расчетной биомеханикой, заключался в отрицании сложности биологической реальности и упрощении ее до того примитивного представления, как машины, которое поддается непосредственному восприятию и простым инженерным расчетам. Однако очевидно, что этот путь принципиально ошибочен — он ведет в тупик и заставляет нас принимать неверные клинические решения. Такая «инженерность» создает иллюзию понимания, приводящую к снисходительному тону: «мы знаем лучше, расчеты показали, что природа неэффективна», а также к неоправданному желанию улучшить, исправить и починить природные решения, за которое природа нас рано или поздно наказывает.

Второй путь, новый, неизмеримо более сложный, но при этом единственно верный. Он заключается в том, чтобы признать реальную сложность биологических систем и анатомических структур и отказаться от попыток втиснуть эту сложную и тонкую реальность в прокрустово ложе простых инженерных шаблонов. А это значит, что нам необходимо открыть поиск такого математического инструментария, который позволит давать инсайты в понимание смешанной, переменчивой, спутанной реальности.

Давайте задумаемся, не напоминает ли нам смешение анатомических структур ситуацию с квазикристаллами как проекциями более высоких измерений, описанную выше? Вспомним более ранний пример, когда стек икосаэдров в тетраспирали протоколлагена при прямом наблюдении в трех измерениях 3D смотрелся дезорганизованным, но при рассмотрении с Е⁴ (четырех) измерений оказался закономерным.

Логично предположить, что и в анатомии животных наблюдаемое взаимопроникновение фасциальных слоев через разные ткани только в 3D выглядит как смешение и спутанность, а в более высоких измерениях эти слои и поверхности совершенно друг другу не мешают и не входят в пространственный конфликт (рис. 6.12).

Это позволяет предположить, что их организация может быть соотнесена с лентой Мёбиуса и тенсегрити бутылки Клейна (рис. 10.15).

Рис. 10.14.

Тенсегрити бутылки Клейна

Рис. 10.15. (A) Две ленты Мёбиуса на противоположных сторонах бутылки Клейна закручиваются таким образом, что имеют только одну поверхность (синяя штриховка на рис. 10.14A). Такое же расположение (B) в сравнении с мышцами и фасциями нижней конечности (C). (Макет любезно предоставлен Крейгом Невином, 2013)

Яркий тому пример — сердце, анатомия которого не выглядит очевидной и закономерной при простом 3D-взгляде, однако оказывается полностью соответствующей самозамкнутой 4D-ленте Мёбиуса (Torrent-Guasp et al., 2006; Levin, 2002).

Таким образом, гиперболическая, сферическая и фрактальная геометрии позволяют выявлять скрытую геометричность живой природы (Irving & Segerman, 2013) и органично сочетаются с понятием биотенсегрити.