Все мы знаем, что Земля круглая, а значит, имеет радиус кривизны даже на малых длинах. Концепция локальности в евклидовой геометрии заключается в том, что сферическую (двумерную) поверхность земного шара (S2) можно спроецировать на плоскую евклидову поверхность (E2). Именно так получаются географические карты, фотографии, рисунки и т. д. Такая проекция на плоскость, безусловно, сильно искажает карту в сравнении с истинной «территорией», но для нас, непосредственно знакомых с 3D (E3) оригиналом, такие отображения по-прежнему остаются узнаваемыми. Когда мы смотрим на плоскую фотографию или рисунок в E2, наш мозг может осмыслить изображение, поскольку мысленно визуализирует его в 3D (E3), но иногда может потребоваться несколько изображений, чтобы осознать это и достроить (рисунок 10.11).
По такому же математическому принципу четырехмерные объекты (E4) могут быть спроецированы в E2 и E3, а значит, по идее, видя 3D, мы должны были бы уметь достроить размерность до 4D, аналогично тому, как мы достраиваем 3D-изображение на основе 2D-информации (фото или рисунка). К сожалению, такой способностью люди не обладают, и поэтому мы не можем распознать те 4D-объекты, что порождают наблюдаемое нами 3D, с такой же легкостью, поскольку не способны визуализировать это более высокое измерение напрямую. Та же самая проблема восприятия имеет место с 5D и 6D и т. д.
Рис. 10.11. Вид с разных сторон на трехмерный куб (E3), спроецированный на плоскую двумерную поверхность (E2) (то есть на страницу этой книги)
В такой ситуации только математические абстракции и формулы могут помочь с распознаванием скрытой 4D-природы 3D-пространства как его проекции, только и доступной нашему наблюдению и опыту, что уже успешно применяется в современной науке.
Так, например, апериодические мозаики Пенроуза представляют собой двумерные квазикристаллы, полученные из периодической решетки в пяти измерениях (5D) посредством проекции, в то время как те мозаики Пенроуза, которые описывают икосаэдрические вирусные капсиды (рис. 10.10), получены из подходящей решетки в шести измерениях (6D) (Twarock, 2006).
Такой подход использования тех или иных проекций из пространств более высоких размерностей может быть применен для разгадки принципов строения трехмерных биологических структур.
Так, например, внутри тропоколлагена (рис. 6.6) квазитетраспирали проколлагена образуют как бы неупорядоченную, искаженную стопку (стэк) икосаэдров. То есть не поддаются пониманию и предсказанию при взгляде с нашей обычной трехмерной перспективы (E3). Однако они становятся совершенно регулярными (то есть понятными, попадающими в формулу и предсказуемыми) при проецировании из E4 (Lord & Ranganathan, 2001; Charvolin & Sadoc, 2012).
Таким образом, именно квазикристаллы связывают простую геометрию нашего обыденного восприятия с молекулами, вирусами и более сложными тканями и показывают, как геометроформы одного конкретного измерения могут выглядеть совершенно иначе в другом. Они показывают, как структуры, которые кажутся непонятными, случайными и дезорганизованными в нашем повседневном мире, становятся понятными и закономерными, если рассматривать их как проекции из более высоких математических измерений (Glotzer & Engel, 2011).
Подчеркнем еще один момент: тетраспирали не могут полностью заполнить трехмерное пространство (E3), поскольку между ними остаются промежутки (зазоры), но они идеально (без зазоров) упаковываются в четырех измерениях, изгибаясь вокруг поверхности гиперсферы (S3), образуя регулярный икосаэдр и тор (Castle et al., 2012).
Осознание этого это приводит нас в гиперболическую геометрию.