Все фуллеровы/платоновы формы обладают так называемой кубической симметрией, и именно она позволяет им взаимодействовать друг с другом в паре, или в дуальности, и формировать самоподобную иерархию (рис. 10.1 А и В). Мы уже знаем, что шестиугольник является эффективным (сплошным, без зазоров) решением для заполнения двумерного пространства (рис. 2.2) и что изотропная векторная матрица (ИВМ) создает объем в пространстве, где икосаэдр снова становится другим, но в реальной природе геометрические свободные пространства внутри этих форм всегда оказываются заполнены.

Дуальность — это особое взаимодействие, в котором каждая фигура может быть вложена в парную к ней таким образом, что все вершины одной фигуры соответствуют центрам поверхности другой. Таким образом, октаэдр и куб, равно как и икосаэдр и пятиугольный додекаэдр, дуальны по отношению друг к другу, в то время как тетраэдр дуален сам к себе и представляет собой самый простой способ отграничения внутреннего закрытого пространства из открытого внешнего (рис. 2.13А), однако на этом связь не заканчивается.

Хотя из-за смешения в нем треугольных и квадратных граней кубоктаэдр является так называемым неправильным многогранником (рис. 2.14), к нему тоже существует дуальная форма. Эта правильная геометроформа, называемая ромбическим додекаэдром, объединяет в себе различные механизмы плотной упаковки ИВМ и икосаэдра (в природе встречается в кристаллах граната) (Fuller, 1975, 426.10) (рис. 10.2A).

Рис. 10.1. (A) Октаэдр и (платонов) куб как иерархические парные партнеры, упакованные друг в друга. (B) Икосаэдр и додекаэдр похожи.

Рис. 10.2. (A) Кубоктаэдр (желтый) вложен в дуальный ему ромбический додекаэдр (зеленый). (B) Икосаэдр (синий) связан с ромбическим додекаэдром через золотое сечение. (C и D) связаны с октаэдром (и, следовательно, с ИВМ) двумя различными способами. (After Edmondson, 2007, pp. 61 and 189)

Как мы уже видели в главе 2, традиционно считалось, что минеральные кристаллы могут иметь только симметрию второго, третьего, четвертого и шестого порядков и, таким образом, относятся к ИВМ, но не к симметрии пятого порядка (рис. 2.17). Однако, хотя икосаэдр и додекаэдр действительно имеют именно эту симметрию, их составные части расположены совершенно по-разному и с пространственной точки зрения фазность этих частей совпадает с фазностью ИВМ.

Особый интерес представляет ромбический додекаэдр, поскольку он способен полностью заполнить трехмерное пространство без зазоров, хотя и иначе, чем ИВМ, и показывает, как все они связаны друг с другом через еще более интересные отношения: последовательность Фибоначчи и золотое сечение, которые интригуют математиков на протяжении многих веков. (Edmondson, 2007, с. 189). На рис. 10.2B — D показано, как золотое сечение связывает ромбический додекаэдр с икосаэдром и октаэдром (и, следовательно, со всеми формами, возникающими из ИВМ), объединяя обе системы заполнения пространства.