Полупустая бочка есть не половина пустой бочки, а такая бочка, одна половина которой пуста, другая — полна. Мы же рассуждали так, как будто слово «полупустая» значит: «половина пустой бочки», а «полуполная» — половина полной. Неудивительно, что при таком неправильном понимании мы пришли к неправильному выводу.
Прежде чем решить задачу, задайте себе вопрос: чего больше — людей на свете или волос на голове одного человека?
Разумеется, людей на свете неизмеримо больше, чем волос на голове. У нас волос на голове всего 150–200 тысяч, людей же на свете 1800 миллионов[3]. А если так, то неизбежно должны существовать люди с одинаковым числом волос! И не только во всем мире, но даже в каждом многолюдном городе, насчитывающем больше 200 тысяч жителей. В Москве 13,3 миллиона человек[4], и, значит, десятки москвичей должны иметь одинаковое число волос. Ведь не может же быть 1,5 миллиона различных целых чисел, из которых ни одно не больше 200 000.
Чеканя монету до Р. X., римляне разве могли знать, что через 53 года родится Христос?
Вы заметили, конечно, что при езде в вагоне все время ощущаются мерные толчки; никакие рессоры не могут сделать их неощутительными. Толчки эти происходят оттого, что колеса слегка сотрясаются в местах соединения двух рельсов, и этот толчок передается всему вагону. Значит, стоит лишь вам сосчитать, сколько толчков в минуту испытывает вагон, чтобы узнать, сколько рельсов пробежал поезд.
Теперь остается лишь умножить это число на длину рельса, — и вы получите расстояние, проходимое поездом в одну минуту.
На вопрос часового: «Зачем идешь?» — крестьянин дал такой ответ:
— Иду, чтобы быть повешенным вот на этой виселице.
Такой ответ поставил часового в тупик. Что он должен сделать с крестьянином? Повесить? Но тогда крестьянин сказал правду, за правдивый же ответ было приказано не вешать, а топить. Но и утопить нельзя: в таком случае крестьянин солгал, а за ложное показание предписывалось повесить.
Так часовой и не мог ничего поделать со сметливым крестьянином.
Вынимая жребий, осужденный поступил так: он вынул одну бумажку из ящика и, никому не показывая, разорвал ее. Судьи, желая установить, что было написано на уничтоженной бумажке, должны были извлечь из ящика оставшуюся бумажку: на ней была надпись «Смерть». Следовательно, — рассуждали судьи, — на разорванной бумажке была надпись «Жизнь» (они ведь ничего не знали о заговоре).
Готовя невинно осужденному верную гибель, враги обеспечили ему спасение.
Приговор был таков: учителю в иске отказать, но предоставить ему право вторично возбудить дело на новом основании — именно на том, что ученик выиграл свою первую тяжбу. Эта вторая тяжба должна быть решена уже бесспорно в пользу учителя.
Солдаты сели… друг к другу на колени! Выстроились по кругу, и каждый сел на колени своего соседа. Вы думаете, что последнему солдату пришлось все‐таки сидеть на болоте? Ничуть: при круговом расположении вовсе и нет этого «последнего» солдата: каждый опирается на колени своего соседа, и кольцо сидящих замыкается.
Если это представляется вам сомнительным, попробуйте с несколькими десятками товарищей устроить такое кольцо сидящих.
Вы сможете на деле убедиться, что изобретательный солдат нашел действительный, а не кажущийся выход из положения.
Пришлось сделать 6 следующих поездок:
1‐я поездка. Оба мальчика подъезжают к противоположному берегу, и один из них привозит лодку к разведчикам (другой остается на том берегу).
2‐я поездка. Мальчик, привезший лодку, остается на этом берегу, а в челнок садится первый солдат, который и переправляется на противоположный берег. Челнок возвращается с другим мальчиком.
3‐я поездка. Оба мальчика переправляются через реку, и один из них возвращается с челноком.
4‐я поездка. Второй солдат переправляется на противоположный берег. Челнок возвращается с мальчиком.
5‐я поездка — повторение 3‐й.
6‐я поездка. Третий солдат переправляется на противоположный берег.
Челнок возвращается с мальчиком, и дети продолжают свое прерванное катание по реке.
Теперь все три солдата находятся на другом берегу.
Нелепый результат, который мы получили, исчисляя своих предков, объясняется тем, что нами упущено из виду одно весьма простое обстоятельство.
Мы не приняли в расчет, что наши отдаленные предки могут быть в кровном родстве между собой и, следовательно, иметь общих предков. Мой отец и моя мать, может, уже в 5‐м или 6‐м поколении назад имели общего деда, который, возможно, был и вашим предком, читатель. Это соображение разбивает все наши расчеты и уменьшает несметные полчища наших отдаленных предков до весьма скромной цифры, при которой не может быть речи о тесноте.
Младший брат, пойдя назад по движению, увидел идущий навстречу вагон и вскочил в него. Когда этот вагон дошел до места, где ожидал старший брат, последний вскочил в него. Немного спустя тот же вагон догнал шедшего впереди среднего брата и принял его. Все три брата очутились в одном и том же вагоне — и, конечно, приехали домой одновременно. Однако благоразумнее всего поступил старший брат: спокойно ожидая на одном месте, он устал меньше других.
Исчезнувший гость — это второй гость, который был незаметно пропущен при распределении стульев: после 1‐го и 11‐го гостя мы сразу перешли к 3‐му и следующим, миновав 2‐го. Оттого‐то нам и удалось разместить гостей на 10 стульях, по одному человеку на каждом.
Задача сводится, в сущности, к тому, чтобы разделить 10 килограммов масла на две равные по весу части. Положите на каждую чашку по бумажному листу и накладывайте на них масло до тех пор, пока 10 килограммов не распределятся поровну между ними. Ясно, что теперь на каждой чашке ровно 5 килограммов, — если только весы правильны.
И на неверных весах можно достичь того же, но более сложным путем.
Сначала надо разделить десять килограммов масла на две части так, чтобы они были приблизительно (на глаз) равны. Затем берут одну из этих частей, кладут на чашку весов, — на другую же чашку накладывают камешков или чего угодно до тех пор, пока чашки не будут уравновешены. Тогда снимают с чашки первую часть масла и вместо нее кладут вторую. Если окажется при этом, что чашки весов остаются на прежнем месте, то, значит, обе части масла равны, так как заменяют одна другую по весу. В таком случае, разумеется, каждая из них весит ровно 5 килограммов.
Если же чашки не будут на одном уровне, то надо от одного куска переложить немного масла на другой и повторять это до тех пор, пока обе порции не будут вполне заменять друг друга на одной и той же чашке весов.
Подобным же образом можно поступать на неверных пружинных весах: перекладывать масло из одного пакета в другой до тех пор, пока оба пакета не будут оттягивать указатель весов до одной и той же черты (хотя бы эта черта и не стояла против 5 килограммов).
Сторож рассчитал совершенно правильно: ему действительно следовало даже более трех тысяч возов яблок, — как это ни невероятно.
В самом деле. Проследим, как возрастало вознаграждение сторожа с каждым часом.
За 1‐й час сторожу следовало 1 яблоко, за 2‐й час — 2 яблока, за 3‐й — 4 яблока, за 4‐й — 8, за 5‐й — 16, за 6‐й — 32, за 7‐й — 64, за 8‐й — 128, за 9‐й — 256, за 10‐й — 512.
Пока еще вознаграждение как будто не грозит арендатору разорением: за первые 10 часов сторожу причиталось всего около тысячи яблок. Но будем продолжать исчисление.
За 11‐й час сторожу следовало 1024 яблока, за 12‐й — 2048, за 13‐й — 4096, за 14‐й — 8192, за 15‐й — 10 384.
Число яблок накапливается внушительное, но все же это далеко от трех тысяч возов.
Дальше. За 16‐й час уже следовало 32 768 яблок.
За 17‐й час следовало 65 536 яблок.
За 18‐й час следовало 131 072 яблок.
За 19‐й час следовало 262 144 яблок.
За 20‐й час следовало 524 288 яблок.
Арендатор уже должен сторожу свыше полумиллиона яблок. Но сутки не кончены — остается еще 4 часа.
За 21‐й час надо было уплатить 1 048 576 яблок.
За 22‐й час надо было уплатить 2 097 152 яблок.
За 23‐й час надо было уплатить 4 194 304 яблок.
За 24‐й час надо было уплатить 8 388 608 яблок.
Теперь остается сложить все эти числа от 1 до 8 388 608. Составится 16 777 215 яблок. Итак, сторожу за одни сутки следовало согласно уговору почти 17 миллионов яблок! Чтобы только пересчитать такое число яблок по одному в секунду, понадобилось бы полгода непрерывного счета! Полагая по 10 яблок на килограмм, получаем, что все причитающиеся сторожу яблоки должны были весить 1 677 721 килограммов, или 1677 тонн. Это составило бы вагонов 80, груженых яблоками, или — считая по полтонны на воз — свыше 3000 возов.
Не правда ли, можно было найти сторожа и подешевле?
Крестьянка остановила поезд тем, что смазала маслом рельсы впереди паровоза. По скользким рельсам не могут катиться колеса паровоза; они вертятся на одном месте, но не катятся вперед, так как нет трения, благодаря которому колеса словно цепляются за рельсы. Вспомните, как трудно ходить по гладкому льду: ноги скользят, не находя опоры, и мы не можем сдвинуться с места. По той же причине не может сдвинуться и паровоз на скользких рельсах.
Когда же машинист уплатил долг, крестьянка «сняла колдовство», посыпав смазанные рельсы песком.
История эта, конечно, могла произойти только в давнее время; на современных паровозах имеются особые песочницы, из которых машинист с помощью особого приспособления высыпает песок на рельсы, когда они становятся скользкими, например, от дождя.
Место на Земле, откуда во все стороны горизонта простирается юг — это… северный полюс! И действительно: ведь северный полюс есть самая северная точка земного шара, и все точки кругом него лежат уже южнее.
Когда отважный полярный путешественник Пири в 1912 году водружал в этом пункте английский флаг, он со всех сторон был окружен югом: «везде и всюду нескончаемый юг».
Перегнать Землю в ее суточном вращении вокруг оси вполне возможно на современном гоночном автомобиле, пробегающем свыше 200 километров в час (55 метров в секунду) или, еще лучше, на аэроплане, могущем лететь со скоростью 300 и более км в час. Конечно, этого нельзя сделать на экваторе, точки которого движутся со скоростью 460 метров в секунду; невозможно это даже и на широте Ленинграда (60°), где движение точек земной поверхности совершается со скоростью 230 метров в секунду. Но это вполне возможно уже на 83‐й широте и более. Здесь автомобилист, мчащийся в своем моторе с востока на запад, будет видеть солнце неподвижно висящим на небе, не приближаясь к закату[5].
Земля, конечно, продолжает вращаться, но автомобилист будет отъезжать на столько же в обратную сторону и, следовательно, по отношению к солнцу будет оставаться неподвижным.
При еще большей скорости автомобилист мог бы перегнать Землю и увидеть новое чудо: солнце, восходящее не с востока, а с запада! Земля под колесами автомобиля будет вращаться по-прежнему с запада на восток, но сам автомобиль будет обращаться вокруг земной оси с востока на запад.
Несообразность рисунка состоит в том, что лунный серп обращен своею выпуклою стороною не к солнцу, а от солнца. Ведь Луна освещается Солнцем, значит, она никак не может быть обращена к нему своею неосвещенною стороною…
«Большинство живописцев, — замечает по этому поводу известный французский астроном Фламмарион, — не знают еще этого, потому что не проходит года, чтобы в Парижском Салоне (зал для выставок) не появлялось большого числа лун в обратном положении».
Из всех мест земного шара легче всего живется, конечно, на экваторе — по той простой причине, что там все предметы становятся легче. Паровоз, весящий в Москве 60 тонн, становится по прибытии в Архангельск на 60 килограммов тяжелее, а в Одессе — на столько же легче.
Кто же похищает у паровоза эти 60 килограммов? Главным образом похищает их «центробежная сила»; она уменьшает вес всякого тела близ экватора на 1/250 долю по сравнению с весом того же тела у полюсов. А так как земной шар у экватора немного вздут, т.е. поверхность Земли там немного дальше от центра планеты, то это еще немного уменьшает вес предметов близ экватора.
В общей сложности потеря веса на экваторе достигает 1/250 доли по сравнению с весом того же тела на полюсе.
На этом основании какой‐то затейник объявил однажды, что знает способ вполне законно и честно обвешивать покупателей. Секрет состоит в том, чтобы покупать товары в экваториальных странах, а продавать их поближе к полюсам. Килограмм, будучи перенесен с экватора на полюс, прибавится в весе на целых 5 граммов, — если только пользоваться для взвешивания не весами с коромыслом, а пружинными (и притом непременно своего, «южного» изготовления); иначе, конечно, никакой выгоды не получится: на весах с гирями товар станет тяжелее, — но настолько же тяжелее сделаются и гири. Едва ли можно разбогатеть на такой торговле, — но по существу шутник прав, так как тяжесть действительно увеличивается с удалением от экватора, где «всего легче живется на свете».
Пароход сделался бы на Луне в 6 раз легче, — но это вовсе не значит, что он будет гораздо мельче сидеть в лунном озере. Ведь и вода должна была бы на Луне весить в шесть раз меньше, чем на Земле. Плавающее тело вытесняет столько воды, сколько оно весит (закон Архимеда); следовательно, ничто не должно измениться в степени погружения парохода: он будет сидеть в воде на те же 3 метра.
Точно так же ничто не изменится и для пловца: его вес уменьшится во столько же раз, во сколько раз уменьшится вес вытесняемой им воды. Следовательно, плавучесть человека будет в лунном озере та же, что и в земном. Утонуть и там и здесь одинаково легко.
Когда вы удваиваете или утраиваете четное число, вы всегда получаете в результате тоже четное число. Другое дело с числом нечетным: при удвоении оно становится четным, но при утроении остается нечетным. Гривенник, следовательно, дает четное число и при удвоении и при утроении; напротив, 3 копейки дают четное только при удвоении; утроенные они дают число нечетное. Мы знаем также, что, складывая четное число с четным, получим четное, а складывая четное и нечетное, получим нечетное число.
Отсюда прямо вытекает, что если в нашем фокусе сумма оказалась четной, значит, три копейки были удвоены, а не утроены, — т.е. находились в правой руке.
Если бы сумма была нечетной, это означало бы, что три копейки подверглись утроению и, следовательно, находились в левой руке.
Если бы Земля была совершенно плоская, линия горизонта и в таком случае была бы окружностью!
Действительно: что такое горизонт? Линия, по которой небесный свод кажущимся образом встречается с землей. Но свод небесный имеет форму шаровой поверхности. По какой же другой линии может пересекаться шаровая поверхность с плоскостью, как не по окружности?
Итак, круглая форма горизонта сама по себе не доказывает еще, что Земля кругла!
Где? За полярным кругом.
Когда? Около 21‐го декабря, когда зимнее солнце лишь на мгновение показывается верхним краем из-под горизонта в 12 часов дня, чтобы тотчас же скрыться снова под горизонт.
Действительно. Этот момент есть «утро», так как совпадает с восходом солнца; но он в то же время и вечер, так как совпадает с заходом солнца. Это безусловно полдень — 12 часов дня, и, конечно, рассвет, так как, пока солнце еще не вынырнуло из-под горизонта, длится утренняя заря. Итак, это — «рано утром, вечерком, в полдень, на рассвете».
Загадка объясняется тем, что один конец ленты, прежде чем приклеить его к другому, был повернут один раз. Легко убедиться на опыте, что тогда получается кольцо, ползая по которому, муха может обойти обе его стороны, нигде не переступая через края.
Оба насчитали одинаковое число прохожих. Действительно, хотя тот, кто стоял у ворот, считал проходивших в обе стороны, тот, кто ходил, видел зато вдвое больше встречных людей.
Если сын теперь втрое моложе отца, то отец старше его на двойной его возраст. Пять лет назад отец был также, конечно, старше сына на двойной нынешний возраст сына. С другой стороны, так как тогда отец был старше сына в 4 раза, то он был старше его на тройной его тогдашний возраст.
Следовательно, двойной нынешний возраст сына равен тройному прежнему возрасту его, или — что то же самое — сын теперь в 11/2 раза старше, чем был 5 лет назад. Отсюда легко сообразить, что 5 лет — это половина прежнего возраста сына; и, значит, пять лет назад сыну было 10 лет, а теперь ему 15 лет. Итак, сыну теперь 15 лет, отцу 45. Действительно: пять лет назад отцу было 40 лет, а сыну 10, т.е. вчетверо меньше.
Вторая лодка опоздала потому, что двигалась с 24‐верстной скоростью меньшее время, чем с 16‐верстной. Действительно, с 24‐верстною скоростью она двигалась 24: 24 = 1 час, а с 16‐верстною 24: 16 = 11/2 часа. Поэтому она на пути туда потеряла времени больше, чем выгадала на обратном пути.
Нарисованы — в необычном повороте — следующие вещи: ножницы, бритва, вилка, карманные часы, ложка. Рассматривая какой‐нибудь предмет, мы, собственно говоря, видим его проекцию на плоскость, перпендикулярную к лучу зрения. В данном случае нам были показаны не те проекции, к которым мы привыкли, и этого достаточно, чтобы предмет сделался почти неузнаваемым.
Ошибочно думать, что для того, чтобы видеть себя в зеркале во весь рост, необходимо иметь зеркало до самого пола.
Нетрудно убедиться геометрическим построением, что нижняя половина зеркала вовсе не нужна: можно и без нее видеть свое отражение во весь рост.
Рассмотрим рисунок. Фигура M’N' есть отражение фигуры MN в зеркале.
Линии MM' иMN', проведенные от глаза наблюдателя к концам отраженной фигуры, встречают зеркало в точках AиB; часть зеркала, лежащая ниже точки B, вовсе не нужна, чтобы отражение могло быть видимо. Отрезок AB проходит через середину боковой стороны MM' треугольника MM’N', параллельно его основанию; следовательно, он равен половине M’N', то есть почти половине роста человека.
Сказанное остается справедливым, как бы далеко фигура ни отстояла от зеркала (см. рисунок).
Итак, чтобы видеть себя в зеркале во весь рост, вовсе не нужно иметь зеркало, доходящее до пола: достаточно, чтобы оно было вдвое короче нашего роста; повесить это зеркало надо на вертикальной стене так, чтобы верхний край его был чуть выше уровня наших глаз.
Если же зеркало повешено наклонно, то, как легко убедиться геометрическим построением, оно может быть даже короче, чем половина человеческого роста, и вы все‐таки увидите себя в нем с головы до ног.
Многие думают, что важнее иметь правильные весы, нежели правильный разновес. На деле же наоборот. Без правильных гирь не взвесить верно; если же гири правильны, то вы и на неверных весах сможете произвести верное взвешивание.
Для этого поступаете так. Кладете вещь, которую хотите взвесить, не сразу, а прежде помещаете на одну чашку какой‐нибудь другой груз, потяжелее вашей вещи; на другую чашку ставите столько гирь, сколько надо для равновесия.
Когда сказанное сделано, вы кладете вашу вещь на чашку с гирями. От этого чашка, конечно, перетянет, и для равновесия придется часть стоящих на ней гирь снять. Снятые гири и покажут правильный вес вещи. Понятно почему: ведь вещь теперь тянет на чашке с такой же силой, с какою тянули перед тем гири; значит, их вес в точности одинаков.
Этот прекрасный способ верно взвешивать на неправильных весах придуман великим русским химиком Д. И. Менделеевым. Способ Менделеева годится и для пружинного безмена; нетрудно догадаться, как, имея правильный разновес, верно взвесить на неверном пружинном безмене.
Платформа качнется вверх. Когда мы приседаем, мускулы, увлекающие наше туловище вниз, тянут ноги вверх; от этого давление тела на платформу уменьшается, и она должна податься вверх.
С помощью блока можно при указанных условиях поднять меньше, чем непосредственно. Когда я тяну за веревку, перекинутую через неподвижный блок, я могу поднять груз, не превышающий веса моего тела. Так как я вешу меньше 100 кило, то поднять такой груз с помощью блока я не могу.
Человек опустится на пол в то самое место, с которого он подпрыгнул. Не надо думать, что, пока он витал в воздухе, пол под ним вместе с вагоном, уносясь вперед, обгонял подпрыгнувшего. Вагон, конечно, мчался вперед, но подпрыгнувший человек тоже переносился вперед по инерции, и притом с одинаковой скоростью: он все время находился как раз над тем местом, с которого подпрыгнул.
Ошибочно думать, что бутылка скорее уцелеет, если будет брошена вперед по движению поезда. Надо, наоборот, бросить ее против движения вагона. Тогда скорость, сообщаемая бутылке при бросании, уменьшает ту скорость, которою обладает бутылка вследствие инерции, и оттого удар о землю ослабляется.
Другое дело — для человека, вынужденного почему‐либо покинуть вагон во время движения. Человеку следует прыгать вперед, — но не для того, чтобы уменьшить силу удара о землю, а для того, чтобы бегом вперед или выставлением рук уменьшить последствия удара.
Аэростат, уносимый воздушным течением, находится по отношению к окружающему воздуху в покое; поэтому флаги не станут протягиваться ветром ни в какую сторону, а будут свисать вниз, как в безветрие.
Проект несбыточен. Отделившись от земной поверхности, самолет (или стратостат) сохраняет по инерции окружную скорость Земли; он продолжает двигаться вместе с вращением земного шара и потому опустится в том самом месте, откуда поднялся.
По той же причине и цирковой наездник, подпрыгнув вверх с седла скачущей лошади, опускается не позади седла, а на самое седло.
Котел и горшок, согласно закону действия и противодействия, наносили друг другу удары строго одинаковой силы. Но котел был чугунный, горшок — глиняный; поэтому одинаковые удары должны переноситься ими не с одинаковой стойкостью. Это картинно отмечено и баснописцем:
Где горки, рытвины, ухабы —
Котлу безделица; горшки натурой слабы:
От каждого толчка горшку большой наклад.
Этою «слабостью натуры» и объясняется печальный финал дружбы горшка с котлом. Равенству взаимодействий нисколько не противоречит различие последствий этих действий, зависящее от неодинаковой прочности обоих тел.
Короткий маятник качается быстрее, нежели длинный, — в этом нетрудно убедиться, проделав опыты с маятниками различной длины. Поэтому, когда ходики отстают, надо несколько поднять шишку маятника, то есть укоротить его. Напротив, когда часы уходят, надо маятник удлинить, опустив его шишку.
Пробка выносится из бутылки только с последней порцией воды потому, что, будучи легче воды, она всегда находится на ее поверхности.
Воздушный шар, вырвавшись из рук, уносится не к крайним границам атмосферы, а лишь до своего «потолка», до той высоты, где вследствие большой разреженности воздуха вес шара равен весу вытесняемого им воздуха.
Но он не всегда достигает потолка. Так как шар, поднимаясь, раздувается (из-за уменьшения наружного давления), то еще до достижения «потолка» он может лопнуть, распираемый изнутри.
Северный магнитный полюс Земли, к которому направляется конец стрелки компаса, не совпадает с северным географическим полюсом.
Поэтому компас, помещенный между северным магнитным и северным географическим полюсами, должен показать северным концом своей стрелки не на север, а на юг.
Магнит и железо притягивают друг друга с одинаковой силою (по закону действия и противодействия). Сдвигается при этом с места то тело, которое подвижнее. Поэтому, когда мы приближаем легкий кусок железа к более тяжелому магниту, нам кажется, что железо притягивается магнитом; при обратном соотношении весов мы наблюдаем, как магнит притягивается железом.
Правильнее в смысле сбережения тепла шить шубы мехом внутрь — вот почему. Шуба «греет» оттого, что воздух, заключенный между волосами ее меха, дурно проводит теплоту, следовательно, уменьшает теплоотдачу нашего тела. В шубе, сшитой мехом внутрь, воздух между волосами, нагретый нашим телом, сохраняется дольше, нежели в мехе, обращенном наружу, где он гораздо скорее заменяется холодным окружающим воздухом.
Шьют же сибиряки полушубки шерстью наружу просто из соображений гигиенических — в таком мехе менее часто заводятся паразиты-насекомые.
Задача вовсе не шуточная и вскрывает ошибочность обычного словоупотребления.
У шестигранного карандаша не шесть граней, как, вероятно, полагает большинство. Всех граней у него, если он не очинен, восемь: шесть боковых и еще две маленькие «торцевые» грани. Будь у него в действительности шесть граней, он имел бы совсем иную форму — бруска с четырехугольным сечением.
Привычка считать у призм только боковые грани, забывая об основаниях, очень распространена. Многие говорят: трехгранная призма, четырехгранная призма и т.д., между тем как призмы эти надо называть треугольная, четырехугольная и т.д. — по форме основания. Трехгранной призмы, то есть призмы о трех гранях, даже и не существует. Поэтому карандаш, о котором говорится в задаче, правильно называть не «шестигранным», а «шестиугольным».
Ответы не были единообразны. Одни из решавших задачу утверждали, что, бегая по веревке, обезьяна не может оказать никакого действия на груз: гиря не сдвинется с места. Другие полагали, что при движении обезьяны вверх груз будет опускаться. И лишь меньшинство высказало мысль, что гиря подвинется вверх, навстречу обезьяне.
Последний ответ и является единственно правильным[6]: движение обезьяны вверх должно вызвать не опускание, а подъем гири. Когда обезьяна взбирается вверх по свисающей с блока веревке, сама веревка под ее руками должна двигаться обратно вниз.
Не следует думать, что аэростат остается в покое. Пока человек взбирается по лестнице вверх, аэростат будет опускаться вниз.
Вспомните, что получается, когда вы ходите по легкой лодке: под вашими ногами она отступает назад. Точно так же и лестница, отталкиваемая вниз ногами взбирающегося по ней человека, увлечет аэростат к земле.
Величина перемещения шара вниз при этом во столько же раз меньше величины поднятия человека по лестнице, во сколько раз масса шара больше массы человека.
Снег имеет белый цвет по той причине, по какой белым кажется толченое стекло и вообще всякие измельченные вещества. Растолките лед в ступке или наскребите его ножом, — у вас получится порошок белого цвета. Объясняется это тем, что лучи света, проникая в мелкие кусочки прозрачного льда, не проходят через них, а отражаются на границах льдинок и воздуха в различные стороны (полное внутреннее отражение). Поверхность же, беспорядочно рассеивающая во все стороны падающие на нее лучи, воспринимается глазом как белая.
Чистая вода, попадая на камень, не оставляет на его поверхности ни малейшего следа, сколько бы лет или тысячелетий ни длился такой процесс. Если бы падающая вода была абсолютно свободна от примесей, она не «долбила» бы камень. Но вода в природе всегда содержит в большем или меньшем количестве твердые частицы, например, кварцевого песка, способные царапать поверхность камня. Как ни слабы эти царапины, они все же производят в конце концов заметные разрушения.
Следовательно, не вода долбит камень, а те твердые незаметные для глаза частицы, которые она несет с собою. Точно так же не кожаная подошва стирает каменные ступени лестниц, а те крупинки песка, которые пристают к обуви.
Для холодных напитков делают стаканы с толстым дном, чтобы они устойчиво стояли и не так легко опрокидывались (центр тяжести их близок к основанию). Для горячих напитков пользоваться такими стаканами нельзя потому, что толстое стеклянное дно из-за неравномерного прогревания жидкостью растрескивается.
При ходьбе какая‐то часть наших ступней всегда соприкасается с землей, а при беге на каждом шагу бывает момент, когда тело находится в воздухе без опоры. В этом, а вовсе не в скорости, и отличие ходьбы от бега.
Строго говоря, следовало бы утверждать, что «в темноте все кошки черны», потому что при отсутствии освещения предметы не видны вовсе.
Но поговорка имеет в виду не полную темноту, а мрак в обиходном смысле слова, т.е. весьма слабое освещение. Первоначальный, не переносный смысл поговорки тот, что при недостаточном освещении глаз наш перестает различать окраску — каждая поверхность кажется серой.
Легко убедиться в полной правильности этого утверждения. Приглядываясь в сумерки к цветам предметов, мы замечаем, что цветовые различия стираются, и все вещи кажутся более или менее темно-серыми: и красное одеяло, и синие обои, и оранжевая обивка мебели, и фиолетовые цветы, и зеленые листья.
Точные измерения подтверждают это наблюдение. Если окрашенную поверхность осветить слабым белым светом (или белую поверхность — слабым окрашенным светом), постепенно усиливая освещение, то глаз сначала видит просто серый цвет, без какого‐либо цветового оттенка. И лишь когда освещение усиливается до определенной степени, становится заметным, что поверхность имеет цвет. Ta степень освещения, при которой начинает улавливаться окраска, называется в науке «низшим порогом цветового ощущения».
Итак, буквальный и вполне правильный смысл пословицы тот, что ниже порога цветового ощущения все предметы кажутся серыми.
Наблюдение А. П. Чехова совершенно правильно и находится в полном согласии с физикой. Установлено, что если окрашенную поверхность освещать слабым белым светом, постепенно усиливая освещение, то глаз сначала видит просто серый цвет, без какого‐либо цветового оттенка. И лишь когда освещение усиливается до определенной степени (до «низшего порога цветового ощущения»), глаз начинает замечать, что поверхность окрашена.
Это давно подмечено и народной мудростью: у многих народов есть поговорка «в темноте все кошки серы».
Отверстие в стекле, образуемое пулей, всегда расширяется в сторону, противоположную той, откуда стреляли. По этому признаку легко установить, сделан ли выстрел изнутри или снаружи.
Ни при каком нагревании отверстие не закроется, так как при повышении температуры отверстия не сужаются, а, напротив, расширяются.
Это ясно из следующего рассуждения. Если бы дырочки не было, то заполняющее ее вещество при нагревании тела расширялось бы в такой же мере, как и окружающий материал; иначе образовались бы либо складки, либо зазор. Между тем известно, что при тепловом расширении всякого однородного тела никаких складок или скважин в нем не возникает. Отсюда ясно, что лист с дырочкой расширяется так, будто дырочка заполнена железом; иначе говоря, дыра при нагревании увеличивается как равный ей участок железного листа. Поэтому объемы сосудов, просветы труб, всякого рода полости в телах при нагревании увеличиваются (а при охлаждении уменьшаются).
Итак, добиться закрытия дырочки нагреванием невозможно: дырочка сделается еще больше. Можно ли достигнуть этой цели путем охлаждения? Можно ли настолько охладить железный лист, чтобы дырочка в нем исчезла?
Так как коэффициент расширения железа 0,000 012, а наибольшее охлаждение равно минус 273 °C, то ясно, что дырочка никак не может уменьшить диаметра просвета более чем на 0,000 012 × 273, т.е. примерно на 0,003.
Значит, никаким изменением температуры нельзя достичь того, чтобы отверстие в твердом теле, даже самое маленькое, закрылось.
Задача кажется очень легкой, однако редко приходится слышать правильный ответ. Большинство думает, что скорость лодки в такой бинокль увеличится втрое; меньшинство полагает, что наблюдение в бинокль совсем не меняет величины скорости. Но редко кто догадывается, что бинокль уменьшает скорость, и как раз во столько раз, во сколько он увеличивает предмет!
Это неожиданное свойство бинокля объясняется довольно просто.
Предположите, что лодка находится от вас на расстоянии 6 км. Глядя в бинокль, вы увидите лодку словно на расстоянии двух километров, потому что ваш бинокль увеличивает ее видимые размеры втрое. Пусть лодка идет со скоростью 6 км/ч. Через полчаса она приблизится к вам на 3 км, т.е. очутится от вас на расстоянии 3 км. В бинокль же она будет казаться втрое ближе — в одном километре. Если вы сравните прежнее расстояние лодки, видимой в бинокль, с новым, т.е. 2 км с 1 км, то выйдет, что за полчаса лодка подошла только на 1 километр и, значит, двигалась со скоростью 2 км/ч.
Вы убеждаетесь, что скорость приближающейся лодки при наблюдении в бинокль действительно втрое меньше, чем для невооруженного глаза: 2 км/ч вместо 6 км/ч.
Игроки в одинаковых условиях: обоим одинаково легко (или одинаково трудно) добросить свой мяч до партнера.
Это кажется на первый взгляд неправдоподобным: ведь мяч, брошенный к носу парохода, должен догонять стоящего там игрока, который несется вперед вместе с пароходом; напротив, мяч, брошенный к корме, летит к игроку, который несется ему навстречу. Это, безусловно, верно; но к скорости мяча, брошенного от кормы к носу, прибавляется скорость парохода, а от скорости мяча, брошенного к корме, скорость парохода отнимается. Поэтому невыгода первого мяча смягчается, а выгода второго понижается, и оба мяча оказываются в одинаковых условиях.
Если бы это было не так, то стрелок, стреляющий в восточном направлении, в сторону вращения Земли, имел бы огромную выгоду перед тем стрелком, который посылает пулю на запад, против вращения Земли. На самом деле ничего подобного не наблюдается.
Допустим ради простоты, что трасса полета пролегала по одному из земных меридианов. Так как все точки каждого меридиана Земли вместе с атмосферой вращаются вокруг ее оси, то очевидно, что самолет во всех точках своего пути должен участвовать во вращении нашей планеты. То же самое должно происходить и в случае, если трасса полета не совпадает с меридианальным направлением.
Зернам надо придать форму цилиндров с продольными каналами.
При горении наружная поверхность цилиндра будет уменьшаться, а внутренняя поверхность каналов благодаря расширению от нагрева будет увеличиваться. Так как каналов несколько, то увеличение их поверхности на первых порах значительнее, чем уменьшение наружной поверхности.
Изображение, которое мы видим в плоском зеркале, находится как бы позади поверхности зеркала. Оно кажется нам удаленным от этой поверхности на такое же расстояние, на какое мы сами удалены от нее, поэтому, если мальчик приблизится к одному из зеркал, скажем, на 1 метр, то его изображение в этом зеркале приблизится к нему на 2 метра, но зато его изображение в другом зеркале отдалится от него также на 2 метра.
Таким образом, расстояние между изображениями в обоих зеркалах будет всегда оставаться постоянным.
Круглый графин или колба, наполненные водой, могут действовать как зажигательное стекло, если на них падают солнечные лучи. Известны случаи, когда круглый графин с водой, стоявший у окна в солнечный день, зажигал бумагу, на которой он стоял, и служил непосредственной причиной пожара.
Под действием веса автомобиля шина более или менее сдавливается в месте соприкосновения с поверхностью дороги. По мере вращения колеса вся шина проходит через этот процесс сдавливания. Сдавленное место перемещается, причем это перемещение происходит в направлении, обратном вращению колеса. Поэтому воздух, находящийся в шине, также начинает вращаться в сторону, противоположную вращению колеса автомобиля.
Так как открытый конец длинного сосуда опускается на бoльшую глубину, чем открытый конец широкого сосуда, то воздух, находящийся в длинном сосуде, сжимается сильнее, чем воздух в коротком сосуде, поэтому длинный сосуд вытесняет меньше воды, чем короткий, и поэтому, по закону Архимеда, для погружения его в воду придется применить меньшую силу, чем для погружения в воду короткого и широкого сосуда.
Вес песочных часов все время остается одним и тем же. Потеря в весе, происходящая от того, что часть падающих песчинок находится в воздухе, точно и полностью уравновешивается той силой, с которой другие песчинки в этот момент ударяют о дно нижнего сосуда.
Мороженое тает потому, что оно поглощает теплоту из окружающего воздуха. По мере того как воздух, находящийся близ мороженого, охлаждается, он опускается вниз, а на смену ему приходит сверху более теплый воздух.
Чем скорее происходит этот обмен воздуха, тем скорее будет таять мороженое, поэтому вентилятор, который сильно ускоряет обмен воздуха, не только не охладит мороженое и не сохранит его в твердом виде, а наоборот, только ускорит его таяние.
Когда руки мальчика вытянуты в стороны, кирпичи описывают круг большего диаметра, чем в том случае, когда мальчик опускает руки. Скорость их движения в первом случае больше, чем во втором. А так как по инерции кирпичи стремятся сохранить свою первоначальную скорость, то когда мальчик опустит руки, будет наблюдаться внезапное увеличение скорости платформы, на которой он стоит.
Если мальчик вновь поднимет руки с кирпичами, то произойдет обратное явление, и скорость вращения платформы внезапно замедлится.
Играли четверо, каждый играл 3 раза, но всех партий было сыграно не 12, а только 6: ведь в партии участвуют двое.
В самом деле. Пусть играют А, Б, В и Г. В шести партиях играли:
А с Б Б с В
А с В Б с Г
А с Г В с Г
Легко убедиться, что каждый играл трижды.
Трехногий стол никогда не качается. Если вы спросите математика, почему это так, он ответит:
«Потому что через три точки пространства может проходить только одна плоскость. Концы ног стола — это три точки пространства, а пол — плоскость».
Теперь вам должно быть понятно, почему фотоаппараты, землемерные и т.п. инструменты всегда устанавливаются на треногах. Делается это не из желания сэкономить материал четвертой ножки, а для того, чтобы приборы не качались.
Северный полюс — самая северная точка земного шара.
Куда бы мы оттуда ни направились, — мы бы отправились на юг. Возвращаясь с северного полюса, Амундсен мог направиться только на юг; иного направления оттуда не было. Вот выписка из дневника его полета к северному полюсу на «Норвегии»:
«„Норвегия“ описала круг около северного полюса. Затем мы продолжали путь… Курс был взят на юг в первый раз с того времени, как дирижабль оставил Рим».
Точно так же с южного полюса Амундсен мог идти только к северу.
У Козьмы Пруткова есть шуточный рассказ о турке, попавшем в «самую восточную» страну. «И впереди восток, и с боков восток. А запад? Вы думаете, может быть, что он все‐таки виден, как точка какая‐нибудь, едва движущаяся вдали?.. Неправда! И сзади восток. Короче: везде и всюду нескончаемый восток».
Такой страны, окруженной со всех сторон востоком, на земном шаре существовать не может. Но место, окруженное всюду югом, на Земле имеется, как и пункт, охваченный со всех сторон «нескончаемым» севером. На северном полюсе можно было бы соорудить дом, все четыре стены которого обращены на юг.
Мы имеем здесь неожиданное следствие физического закона, в силу которого действие лучей тем значительнее, чем отвеснее падают они на поверхность тела. Солнце в полярных странах даже летом стоит невысоко: его высота за полярным кругом не может превышать половины прямого угла, а в высоких широтах значительно меньше половины прямого угла.
Легко сообразить, что если солнечные лучи составляют с горизонтальной поверхностью угол меньше половины прямого, то с отвесной линией они должны составлять угол больше половины прямого, иначе говоря, встречать вертикальные поверхности довольно круто.
Теперь понятно, что по той же причине, по какой лучи полярного солнца слабо греют землю, они должны усиленно нагревать все отвесно возвышающиеся предметы.
Решение задачи подсказывается названием этой главы: недесятичная система счисления — вот единственная причина кажущейся противоречивости приведенных чисел. Напав на эту мысль, нетрудно догадаться, в какой именно системе счисления изображены числа чудаком-математиком. Секрет выдается фразой: «спустя год (после 44‐летнего возраста), 100‐летним молодым человеком…» Если от прибавления одной единицы число 44 преображается в 100, то, значит, цифра 4 — наибольшая в этой системе (как 9 — в десятичной), а следовательно, основанием системы является 5.
Чудаку-математику пришла фантазия написать все числа своей биографии по пятеричной системе счисления, т.е. по такой, в которой единица высшего разряда не в 10, а в 5 раз больше единицы низшего; на первом справа месте стоят в ней простые единицы (не свыше четырех), на втором — не десятки, а пятерки; на третьем не сотни, а «двадцатипятерки» и т.д. Поэтому число, изображенное в тексте записки «44», означает не 4 × 10 + 4, как в десятичной системе, a 4 × 5 + 4, т.е. двадцать четыре. Точно так же число «100» в автобиографии означает одну единицу третьего разряда в пятеричной системе, т.е. 25. Остальные числа записки соответственно означают:
«34» = 3 × 5 + 4 = 19
«11» = 5 + 1 = 6
«200» = 2 × 25 = 50
«10» = 5
«1/10» = ⅕
«130» = 25 + 3 × 5 = 40
Восстановив истинный смысл чисел записки, мы видим, что в ней никаких противоречий нет.
«Я окончил курс 24 лет от роду. Спустя год, 25‐летним молодым человеком, я женился на 19‐летней девушке. Незначительная разница в возрасте — всего 6 лет — способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 5 детей. Жалованья я получал 50 рублей, из которых ⅕ приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 40 рублей».
Трудно ли изображать числа в других системах счисления? Нисколько. Положим, вы желаете число 119 изобразить в пятеричной системе. Делите 119 на 5, чтобы узнать, сколько в нем единиц первого разряда: 119: 5 = 23, остаток 4.
Значит, число простых единиц будет 4. Далее, 23 пятерки не могут стоять все во втором разряде, так как высшая цифра в пятеричной системе — 4, и больше 4 единиц ни в одном разряде быть не должно. Делим поэтому 23 на 5: 23: 5 = 4, остаток 3.
Это показывает, что во втором разряде («пятерок») будет цифра 3, а в третьем («двадцатипятерок») — 4.
Итак, 119 = 4 × 25 + 3 × 5 + 4, или в пятеричной системе «434».
Произведенныее действия для удобства располагают так:
Курсивные цифры (при письме можно их подчеркивать) выписывают справа налево и сразу получают искомое изображение числа в иной системе.