Древние математики часто облекали задачи в стихотворную форму подобно тому, как теперь поступают составители шарад. До нас дошло, например, несколько таких стихотворных задач индийского математика XII века Бхаскары[93]. Четыре поэтических задачи из его сочинений мы приведем здесь в стихотворном переводе, заимствуемом из недавно вышедшей интересной книжки В. И. Лебедева «Кто изобрел алгебру?»:

Есть кадамба цветок;

На один лепесток

Пчелок пятая часть опустилась.

Рядом тут же росла

Вся в цвету симендга,

И на ней третья часть поместилась.

Разность их ты найди,

Трижды их ты сложи,

На кутай этих пчел посади.

Лишь одна не нашла себе места нигде,

Все летала то взад, то вперед, и везде

Ароматом цветов наслаждалась.

Назови теперь мне,

Подсчитавши в уме,

Сколько пчелок всего здесь собралось?

В современном учебнике та же задача была бы редактирована не столь поэтично:

«Пятая часть пчелиной стайки опустилась на цветок кадамба; третья часть той же стайки села на симендгу; утроенная разность обеих групп села на кутай, и тогда из всей стайки осталась всего одна пчела. Сколько пчел было в стайке?» Решить эту задачу в уме, как требует индусский математик, довольно трудно. Зато письменно, с помощью уравнения, она решается весьма легко.

Обозначив искомое число пчел через x, составляем уравнение:

+

+ 3(

* * *

) + 1 = х

Решив уравнение, узнаем, что всех пчел было 15. Действительно: на кадамбу сели 3 пчелы, на симендгу — 5, на кутай 3 × (5–3) = 6. Вместе с одинокой пчелкой, которая «не нашла себе места нигде», имеем 15 пчел:

5 + 3 + 6 + 1 =15.

Другая задача из того же индийского сочинения — геометрического характера. Ее содержание тоже навеяно природой:

На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

Лишь в 4 фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось 3 фута всего от ствола.

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?

Эта поэтическая задача решается чрезвычайно просто, если изобразить ее условие на чертеже (см. рис. 1). Пусть линия AB — высота тополя; он сломался в точке C, и верхушка его CB заняла положение CD. В прямоугольном треугольнике ACD мы знаем AC = 3 футам иAD = 4 футам.

По теореме Пифагора легко найти гипотенузу CD: она равна 5 футам.

Значит, высота тополя

3 + 5 = 8 футов.

Рис. 1

Немного труднее другая геометрическая задача сборника — также переносящая нас в живописную природу Индии:

Над озером тихим, с полфута размером,

Высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнес его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашел же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода

Здесь глубока?

Геометрическая зависимость между упомянутыми в задаче величинами видна из рис. 2. B — уровень воды в озере; BC — выступающая над водой часть стебля длиною в полфута. Когда ветер отнес цветок в сторону, он очутился вD, причем расстояние BD равно 2 футам. Надо узнать глубину реки, т.е. длину отрезка AB.

Обозначив искомую длину AB через x и зная, что

Рис. 2

AD = AC = AB + CB = x + ½,

составляем на основании теоремы Пифагора следующее уравнение:

(x+ ½)²= x²+2².

По раскрытии скобок член x²

в обеих частях уравнения сокращается, и мы имеем простое уравнение первой степени, приводящее к ответу:

x = 3¾.

Итак, «озера вода здесь глубока» на 3¾ фута.

Приведем еще задачу — из жизни животных Индии:

На две партии разбившись,

Забавлялись обезьяны.

Часть восьмая их в квадрате

В роще весело резвилась;

Криком радостным двенадцать

Воздух свежий оглашали.

Вместе сколько, ты мне скажешь,

Обезьян там было в роще?

В прозаической передаче (см. «Алгебру» Н. Маракуева) эта древняя задача читается так:

«Стая обезьян забавлялась; одна восьмая часть их в квадрате бегала в лесу, остальные 12 кричали на верхушке холма. Скажи мне, сколько было всех обезьян?»

Задача приводит к решению квадратного уравнения:

(

)+12 = x

Оно дает два ответа: 48 и 16. Тот и другой правильны, и в сочинении индусского математика приводятся оба решения.

Кстати о решении квадратных уравнений. Первое печатное сочинение по алгебре — Луки Пачиоли[94], появившееся в 1494 году, — содержит стихотворные правила для решения квадратных уравнений. Так, уравнение вида x²

+ px = q решается согласно следующему правилу:

Si res et census numero coequantur, a rebus

Dimidio sumpto censum poducere debes

Addereque numero, cuius a radice totiens

Tolle semis rerum, census iatusque redibit[95].

По этому образцу автор интересной книжки, упомянутой выше, В. И. Лебедев составил стихотворное правило для решения уравнений обычного у нас вида: x² + px + q = 0. Известная формула наших учебников

х = —

±

облекается у него в форму бойкого стихотворения:

Взяв со знаком p обратным,

На два мы его разделим.

Дальше «плюс» и «минус» ставим

Перед корнем мы квадратным.

А под корнем очень кстати

Половину p в квадрате

Минус q. И вот решенье

Данного нам уравненья.

Гораздо ранее Луки Пачиоли персидский математик Альхваризьми[96] составил стихотворное наставление к решению уравнений первой степени.

Наставление распадается на два правила: «Aljebr» (отсюда и слово алгебра) и «Almukabalah». Вот они в русском переводе:

При решеньи уравненья,

Если в части одной —

Безразлично какой —

Встретится член отрицательный,

Мы к обеим частям,

С этим членом сличив,

Равный член придадим,

Только с знаком другим, —

И найдем результат нам желательный.

Дальше смотрим в уравненье,

Можно ль сделать приведенье;

Если члены есть подобные,

Сопоставить их удобно.

Вычтя равный член из них,

К одному приводим их.

В наших старинных русских учебниках математики — «Арифметике» Магницкого (1703 г.) и «Полном курсе чистой математики» Войтяховского (1820 г.) — также попадаются задачи в стихотворной форме. Приводим для примера задачи из последнего сборника:

Нововъезжей в Россию французской Мадаме

Вздумалось ценить свое богатство в чемодане:

Новой выдумки нарядное фуро[97]

И праздничный чепец и ла фигаро[98].

Оценщик был Русак,

Сказал Мадаме так:

'Богатства твоего первая вещь фуро

Вполчетверти дороже чепца фигаро;

Вообще ж стоят не с половиною четыре алтына,

Но настоящая им цена только половина'.

Спрашивается каждой вещи цена,

С чем француженка к Россам привезена.

Ответ получается простым путем и свидетельствует о завидной дешевизне жизни в доброе старое время: «нарядное фуро» стоит всего лишь 5½ копеек, а «чепец» (праздничный!) — 1¼ копейки.

В современных учебниках уже нет ни поэтических задач, ни стихотворных правил. Единственное стихотворение, какое можно найти теперь в некоторых учебниках геометрии — это французские стихи, облегчающие запоминание числа π: «Que j’aime a faire apprendre un nombre utile aux sages»[99]… и т.д. Число букв в словах этого стихотворения соответствует цифрам числа π, т. е 3,141 592 65…

Может быть, среди читателей найдутся стихотворцы, которые сочинят подобные же мнемонические стихи и на русском языке? Для желающих попытать свои силы приводим здесь число π с 25 десятичными знаками:

3,141 592 653 589 793 238 462 643 3.

Конечно, для практических вычислений достаточно запомнить π с 5 десятичными знаками; но легче запомнить четверостишие, чем одинокую строчку.