Многие заинтригованы интуиционизмом Брауэра, но не все. Венгерский математик Джордж Пойа, коллега Вейля по Цюриху, называет программу Брауэра «математикой в коротких рукавах» – иными словами, одетой не по форме. Они с Вейлем вступают в спор. Они дискутируют. Наконец, Вейль заключает с Пойа дружеское пари о том, что идеи Брауэра в конечном счете одержат верх. Он предсказывает, что в течение 20 лет интуиционизм станет доминирующей теорией.
После выхода статьи Вейля о кризисе оснований линии фронта очерчены. Математики разделяются на два лагеря: формалистов, следующих за Гильбертом, и интуиционистов, следующих за Брауэром.
Подход Гильберта доминирует. В конце концов, он куда более известен – бьющееся сердце в самом сердце математической вселенной. Кроме того, в его словах есть многое, что подкупает. Его «безудержная вера в решения» пьянит – идея о том, что если вы можете логически сформулировать задачу, то при наличии достаточного времени, чистого разума и упорного труда вы в конечном счете ее решите.
В то же время формализм Гильберта, каким он развивается в начале 1920-х годов, – странный зверь для человека, который провел большую часть карьеры, работая над проблемами прикладной математики. Ничто не может быть более абстрактным, чистым и далеким от поклонения прикладной математике, чем основания математики. Но корни этого перехода существовали всегда. Книга Гильберта 1899 года «Основания геометрии», по сути, взяла то, что всегда было прикладным предметом, и превратила его в предмет абстрактный. Теперь, в 1920-х, он хочет пойти дальше.
Для него попытка укрепить основания математики, полагаясь на иную систему, вроде логики, – все равно что есть плошку горохового пюре, когда у вас на тарелке лежит ковбойский стейк. Вместо этого он берет математические объекты, обозначает их символами и комбинирует утверждения, используя стандартные логические правила, чтобы сформировать математические доказательства – «метаматематику», как он это называет, или «теорию доказательств». Его формализм не сложнее этого: работа с теоремами, составленными из строк бессмысленных значков на странице, как выражается Гильберт. На самом деле – игра.
Но это ничуть не умаляет серьезности метода. Ведь у игр есть правила. Поэтому Гильберт предлагает выстраивать математические доказательства именно по этому принципу: игры с установленными правилами, где внимание сосредоточено не на математических объектах – игровых фигурах, а на правилах игры. Когда правила соблюдаются, возникает смысл. И результаты имеют смысл, даже если знаки, которые к ним привели, его лишены. Такова основа его подхода, теории доказательств, формализма, метаматематики или как бы вы это ни называли. Делать осмысленные утверждения о бессмысленных символах.
Что именно это значит?
Возьмем стандартную партию в шахматы. В шахматах есть набор фигур – стандартных не по форме и виду, а по своему абстрактному значению: король есть король, ферзь есть ферзь, а пешка есть пешка. У меня дома три шахматных набора. Один – изящный, ручной полировки, медно-кофейных тонов, выполненный профессиональными художниками в виде персонажей «Винни-Пуха». Я купил его в Нью-Йорке много лет назад, полагая, что все эти пешки-Пятачки и кони-Иа-Иа понравятся моим маленьким детям. Однако фигуры оказались слишком хрупкими для игры, и набор лежит в коробке со дня покупки.
Другая шахматная доска у меня дома – это уникальный набор из глазурованной обожженной глины, который моя дочь сделала в школе на курсе по керамике. С одной стороны там фигуры-растения, с другой – животные. Кони – это деревья и белки, а пешки – шмели и тюльпаны. А третий мой набор – просто дешевый магазинный дорожный комплект, где 32 пластиковые фигуры – это стандартные черно-белые кони в виде «троянских коней» и пешки-минареты. Они плотно укладываются в футляр, который раскладывается в доску.
Суть в том, что точная форма, материал и цвет пешек не имеют никакого значения. Керамические пчелы. Пластиковые кони. Отлитые вручную Пятачки. Они выглядят совершенно по-разному, и их внешний облик лишен смысла. Единственное, что имеет значение, – это правила: у вас есть восемь пешек, стоящих в ряд на второй линии в начале игры, и каждая может пойти на одну или две клетки вперед при первом ходе, а дальше – только на одну, если не бьет фигуру противника.
Есть и другие правила. Игроки ходят по очереди – это правило. Есть правила, управляющие движением всех остальных фигур. Вы не можете передвинуть короля больше чем на одну клетку, потому в противном случае вы будете играть уже в другую игру. Расстановка на доске – тоже стандартное правило, даже в таком варианте, как случайные шахматы Фишера, или «Шахматы-960», где задний ряд выстраивается произвольно. Правила определяют ход игры и, в конечном счете, ее исход: победу, поражение или ничью. Никто в честной шахматной партии не станет пытаться обойти правила (не считая редких скандалов с участием гроссмейстеров).
А вопрос о том, «истинны» ли шахматы, по сути бессмыслен. Игра есть игра. И точно так же математика есть математика. Пока правила последовательно определены и строго соблюдаются, этого, по мнению Гильберта, достаточно. Неважно, из чего фигуры: из пластика, дерева или резного мрамора в бриллиантах. Они не имеют смысла сами по себе. Фигуры – это фигуры. Правила – это правила. А шахматы – это шахматы.
Гильберт подходит к такой, с позволения сказать, «геймификации» математики с размахом. Он уравнивает все математические фигуры: реальные и воображаемые, сложные и простые. Для него все это – просто объекты, записанные на языке математики. И язык этот не страдает от досадной двусмысленности нашей обычной речи; это особый символический код, полностью очищенный от побочных смыслов. Вспомните керамических пчел, которых слепила моя дочь. Сами по себе эти фигурки бессмысленны, пока вы не поставите их на доску.
Однако игра в математику сложнее, чем игра в шахматы. Почему? Во-первых, объекты математики не столь бессмысленны, как пластиковые пешки. О чем мы говорим, когда говорим об объектах математики? О таких вещах, как числа, линии и геометрические фигуры. Кажется, что эти вещи обладают очевидным, недвусмысленным и объективным внешним смыслом. Эти смыслы глубоко укоренены в нашем понимании математики. Некоторые из них, такие как целые числа, возможно, даже являются нейробиологически встроенной частью нашего мышления.
Современная нейробиология открывает все больше фактов о том, что люди, вороны, дельфины, рыбы-клоуны и многие другие виды обладают врожденными количественными способностями, которые напрямую касаются чисел и форм. Для нашего мысленного взора числа, линии и фигуры – это не ничтожные пластиковые пешки, а объекты реального мира. Они – материя внешней реальности, и игнорировать это – значит закрывать глаза на окружающий мир.
Математические объекты часто несут и огромную культурную нагрузку. Мы определяем красоту и порядок через геометрическую симметрию. Мы придаем социальное и даже моральное значение числам и формам. «Только мы двое». «Ходить по струнке». «Играть прямо». «Честная сделка». «Круг замкнулся». «Счастливая семерка». «Место 11а». «Несчастливое число 13!» Но дело не только в этом. На первый взгляд числа, линии и фигуры – не просто часть математики. Они и есть математика. Тысячелетиями, по сути, они были единственным содержанием предмета – единственным, о чем мы говорили, когда говорили о математике. По этой причине некоторые эксперты называют числа, линии и фигуры «привилегированными» объектами.
Однако начиная с XIX века математика стала отвоевывать эту привилегию и спрашивать: что будет, если убрать ее и начать относиться к ним как к любым заурядным объектам, будь они объективно реальны или произвольно бессмысленны? И когда Гильберт начинает развивать теорию доказательств в 1920-х, он доводит эту идею до предела. То, что он предлагает, радикально. Он хочет лишить привилегий все привилегированные объекты и превратить их в бессмысленные значки на странице. На первый взгляд все это немного шокирует… математические игры, бессмысленные значки.
Вот что так поражает в подходе Гильберта. Математика не должна быть бессмысленной. Обычно ею занимаются как раз потому, что она имеет смысл. Всю историю человечества математика решала практические задачи. Геометрия в древнем мире была полезна везде: межевание, строительство, расчеты, измерения, навигация. У нас 60 минут в часе и 60 секунд в минуте, потому что у нас две руки, на каждой по пять пальцев, и у каждого пальца по три фаланги. Можно насчитать до 12 на одной руке, касаясь большим пальцем трех костяшек на каждом из четырех остальных пальцев. Загибая по пальцу на другой руке за каждый цикл, получаем 5 x 12 = 60 возможных чисел – и чрезвычайно полезный числовой язык жестов для торговли. Нынешнее деление часа на минуты и минуты на секунды – наследие того вавилонского изобретения.
И ладно бы кто другой, но Гильберт! Уж для него-то смысл в математике был священен – по крайней мере, так казалось. По сути, он был прикладным математиком почти всю свою профессиональную карьеру. Почему человек, который провел всю жизнь погрузившись в прикладной смысл, внезапно развернулся к такой чистой бессмысленности? И все же вот он, на склоне лет, лишает математику «какого бы то ни было значения», как напишут Нагель и Ньюмен в 1956 году.
Но смелость – союзник Гильберта. В 1920-х годах, начав разрабатывать теорию доказательств, он сталкивается с жестоким подъемом – тяжелее, чем путь из базового лагеря на вершину К2. Гильберт знает: чтобы аксиоматизировать математику и исправить ее дефектные основания, нужно, чтобы эти аксиомы были непротиворечивы. Поэтому ему нужно найти доказательство непротиворечивости. Вся его мотивация для создания теории доказательств в том и состоит – интроспективно изучить, чего математика может и чего не может достичь, по словам Грегори Хайтина. Это вершина Гильберта. Его пункт назначения. Его заявленная цель. Его путеводная звезда. Его экспедиция в духе «потому что она существует». Взойти на эту гору. Укрепить основания. И спасти Королеву Математику.
Легче сказать, чем сделать – и не только потому, что математика сложнее шахмат, но и потому, что, как скажет вам любой хороший альпинист, настоящая опасность ждет на спуске.