Представьте спектр эмоций на лице Фреге, когда он читает письмо Рассела. Интрига. Восторг. Пауза. Удивление. Тревога. Гнев. Печаль. Шок. «Ваше открытие противоречия вызвало у меня величайшее изумление и, я бы сказал, смятение», – наконец отвечает Фреге Расселу. И это еще мягко сказано. Некоторые источники уверяют, что Фреге был сражен наповал. И неудивительно. «[Ваш парадокс] пошатнул основания, на которых я намеревался построить арифметику», – пишет он Расселу. Другими словами: «Премного благодарен; вы только что уничтожили последние 20 лет моей жизни!»
Представьте, что вы работаете большую часть сознательной жизни ради одной цели, а затем, в возрасте 54 лет, какой-то сопливый юнец 20 с лишним лет выбивает у вас почву из-под ног. Фреге понимает неизбежное. Он отдает должное письму Рассела, добавляя послесловие к своей третьей книге. Но у него нет ни мужества, ни воли идти дальше. «Ученому вряд ли может встретиться что-либо более нежелательное, чем когда фундамент рушится в тот момент, когда работа уже закончена, – пишет он в своей книге. – В такое положение я был поставлен письмом от мистера Бертрана Рассела, когда книга уже почти вышла из печати». Рассел искренне впечатлен тем, как достойно Фреге принимает удар. «Стоять на пороге публикации второго тома великого труда всей жизни и увидеть, как все это перечеркивается в одну секунду гораздо более молодым математиком… – пишет Рассел коллеге. – В этом было что-то сверхчеловеческое».
Сложности с основаниями математики не ограничиваются парадоксом Рассела. Совокупный эффект всех парадоксов вместе бросает тень сомнения на убедительность современной математики. Тем не менее самым большим из них, «матерью всех антиномий», как сказал бы Цермело, остается парадокс Рассела. Он бьет в самое сердце математики и, согласно американскому философу математики Вильфриду Зигу, оказывает «прямо-таки катастрофическое воздействие на мир математики». Почему? Вспомним принцип гнилого яблока. Если из фундаментальной логики системы можно вывести хотя бы один пример противоречия, то, очевидно, могут возникнуть и другие.
Поэтому поиск решения парадокса Рассела и исправление этого фундаментального изъяна считается критически важным – хотя сам Фреге не станет этого делать. Он чувствует себя сломленным. Работа всей его жизни… оказалась несостоятельной! Он пишет еще несколько статей после этого, но по большому счету оставляет свои планы доказать, что математика может быть сведена к логике. (Хотя позже, ближе к концу жизни, у него случается краткое озарение, и он решает, что в основе математики должна лежать геометрия, а не логика.)
Многие другие, однако, не готовы сидеть сложа руки и позволять своей области мучиться от парадоксов. «Казалось, что возмездием за грех вкушения от древа познания бесконечности стало самопротиворечие, – напишет американский математик Говард Делонг в 1970 году. – Догмы прошлого были несостоятельны, требовался новый подход». Новый подход заключался в использовании математических методов и разработке новой математической логики для решения проблемы. Главным сторонником этого подхода выступает сам Рассел. После обмена письмами с Фреге в 1902 году он клянется найти способ обойти свой собственный парадокс.
Теория множеств Кантора может служить прочной основой для математики тогда и только тогда, когда ее удастся освободить от парадоксов, и Рассел считает, что он именно тот человек, который это сделает. И почему бы нет? Он обладает огромным влиянием. Он распространит это влияние и наполнит область своей позитивной энергией. Он не один такой. Другие последуют за ним, он в этом уверен. И он не ошибается. Всякий серьезный подход к теории множеств в современном мире уходит корнями в попытки решить парадокс Рассела, пишет ученый Кевин К. Клемент в эссе 2007 года под названием «Новый век в жизни парадокса».
Но Рассел все же не прав. Точнее, не совсем прав.