Классический пример, который приводит Рассел, – это занятой городской брадобрей, который бреет всех мужчин в городе, кто не бреется сам. Что произойдет, если спросить: бреет ли брадобрей самого себя? Вот тут-то и загвоздка. Если он не бреет себя, то, согласно сути его работы (брить всех, кто не бреется сам), он должен себя побрить. Но если он бреет себя, тогда то же самое условие работы по сути исключает его из этого действия. Так бреет он себя или нет? Ответ Рассела: если он делает это, то не делает; а если не делает, то делает.

Никогда в истории математики одна короткая фраза не имела такого разрушительного эффекта.

Построение множества всех множеств, которые не содержат самих себя, и доказательство того, что это ведет к парадоксу Рассела, – самая острая критика, с которой когда-либо сталкивался Фреге. Почему? Кого волнуют глупые брадобреи и бреются ли они сами? Какое это вообще имеет отношение к математике? Это похоже скорее на глупую игру слов, чем на что-либо иное. Разве противоречия не обычное дело в жизни людей?

Но это не просто остроумный речевой оборот, теоретическая игра разума или загадочное противоречие. И это не пример семантической или синтаксической двусмысленности или даже простой путаницы – тех случаев, когда говорят, что нечто может быть и тем, и этим. Это не просто неопределенность. Логическая противоречивость парадокса Рассела ставит под сомнение само понятие математического существования. Парадокс Рассела подразумевает, что вещь может быть и не быть одновременно. Но если математический объект может существовать и не существовать одновременно, значит, теория множеств противоречива. Это означает, что математическая система Фреге противоречива. И это вполне может означать, что порочна сама базовая логика.

Все это имеет ужасные последствия для математического ума, и в первую очередь – для ума Фреге. Логическая противоречивость – это криптонит для математической истины. «Худшее, с чем может столкнуться математик», – напишет швейцарский математик Ролен Вавр в 1934 году. Когда система непротиворечива, истина и ложь остаются в своих границах. Вы никогда не должны иметь возможности доказать, что нечто истинно, когда на самом деле оно ложно, или наоборот. И когда ваша система непротиворечива, вы просто не можете этого сделать.

Подумайте об этом так: мы знаем, что 0 = 0 и 1 = 1. Никогда, даже за тысячу лет, используя все математические инструменты и всех экспертов, которые когда-либо жили, вы не смогли бы доказать, что 0 = 1.