В начале 1900-х годов математика стала буквально кишеть парадоксами. Помимо парадокса Рассела, появились парадоксы Бурали-Форти, Вейля, Ришара, Кёнига, Греллинга, Сколема, Клини и Россера. Некоторые называют их «радикальными противоречиями». Когда математик Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд узнает о некоторых из них, он начинает сомневаться, рационально ли вообще человеческое мышление.

Кантор сам открыл один из таких парадоксов, основанный на так называемом кардинальном числе множества – мере количества объектов в множестве. Представьте это так: множество игроков стартового состава в команде НБА имеет кардинальное число 5; список бейсбольной команды, включающий основу и запасных, будет иметь кардинальное число 26; а множество, содержащее всех активных игроков на футбольном поле во время матча чемпионата мира, будет равно 22.

Одной замечательной вещью, которую сделал Кантор при разработке теории множеств, было рассмотрение случаев, когда в вашем множестве бесконечное количество объектов. Что происходит тогда? Кардинальные числа обозначают количество элементов в множестве, но если ваше множество содержит бесконечное число элементов, что происходит с вашим кардинальным числом? Кантор ввел понятие «трансфинитных» кардинальных чисел для учета бесконечных множеств. Например, трансфинитное число  – это кардинальное число, которое он присваивает множествам размером со счетную малую бесконечность целых чисел.

Одно из поразительных утверждений теории множеств Кантора состоит в том, что бесконечные множества могут различаться по своей кардинальности (мощности). Не все бесконечности одинаковы. Существует  для множества малой бесконечности целых чисел и, в противовес ему,  – для множества большой бесконечности вещественных чисел. Как напишет математик Аллан Калдер в Scientific American 50 лет спустя, одни множества более бесконечны, чем другие.

* * *

Парадокс Кантора начинается с понятия «множества всех подмножеств» – комбинаторного набора, основанного на всех возможных сочетаниях элементов внутри множества. Вот как это работает: представьте, что у вас есть множество кардинальностью S; скажем, S = 3 для простого множества из трех первых целых чисел. Кантор определил его множество всех подмножеств как 2^s = 2³ = 8. Таким образом, в этом тривиальном случае с тремя числами 2^s = 2³ = 8. Визуально ваше множество выглядело бы так:

{1, 2, 3}.

А его множество всех подмножеств выглядело бы так:

{{∅}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1,2,3}}.

Но Кантору было мало тривиальных случаев. Кантор был далек от того, чтобы довольствоваться тривиальными случаями. В конце концов, он был Икаром, взлетающим к небесам. Он размышлял о бесконечных множествах. И на этом он не остановился. Прямо к солнцу! Он задумался о множестве всех множеств – назовем его μ, – множеством всех подмножеств которого было бы 2^μ.

Отсюда и парадокс Кантора. Поскольку множество всех множеств включает в себя все множества, то по определению оно должно включать и собственное множество всех подмножеств. Но множество всех подмножеств больше, чем его исходное множество, – Кантор это доказал. Это означает, что одно из подмножеств множества всех множеств больше, чем само множество всех множеств. Поскольку множество всех множеств содержит все множества, оно не может быть меньше одного из своих собственных подмножеств. Но если множество всех множеств содержит все множества, его собственное множество всех подмножеств должно быть одним из его подмножеств. Как такое может быть? Это парадокс Кантора!

Нигде в своих трудах Кантор не обсуждал собственный парадокс, по-видимому, полагая, что он не является причиной для тревоги. Он описал его другу, не выказав «вообще никакого видимого беспокойства по поводу парадокса и его последствий», как напишет 80 лет спустя американский философ Кристофер Менцель. Возможно, опять же, отсутствие серьезного беспокойства у Кантора проистекало из его религиозных убеждений – его фундаментальной веры в то, что теория множеств была Божьим даром математике, помещающим науку в божественный порядок вещей.

Нельзя пошатнуть то, что недвижимо, а основания теории множеств были, в его представлении, незыблемы.