Фреге считал, что математике, как и архитектуре, нужен чертеж, и его 1879 года «Исчисление понятий» стало таким чертежом. Она описывает точный, последовательный символический язык, напоминающий Lego, который позволяет механически соединять утверждения в математические доказательства. Фреге был убежден, что его новая запись понятий станет «надежным способом проверять связи в цепочках умозаключений», говорил он, «и выявлять каждое предположение, могущее прокрасться незамеченным с тем, чтобы можно было обнаружить его источник».

Его работа имела ошеломительный успех, по сути, основав современную математическую логику, и многие, по словам современного немецкого математика Фолькера Пекхауса, до сих пор считают ее революцией. Некоторые называют Фреге «основателем современной логики», хотя другие отдают должное более раннему британскому математику Джорджу Булю, чья знаменитая книга 1847 года «Математический анализ логики» породила булеву логику. Но там, где Буль применил математику к логике, Фреге применил логику к математике. По этой причине некоторые считают его величайшим логиком после Аристотеля. В 1960-х историк математики Жан ван Хейенорт, размышляя о «Исчислении понятий», скажет просто, что эта книга – «самая важная работа по логике, из когда-либо написанных».

Сказать по правде, к книге Фреге трудно подступиться. Нотация в ней очень странная. Он использует двумерную запись, где линии и буквы разбросаны по всей странице. Неэкономно. Сложно. Громоздко. Страницы книги больше похожи на испорченные эскизы татуировок, чем на правильные математические доказательства. Логика может быть элегантной, но способ записи – нет. Его визуальная система – проклятие для издателей, хотя Фреге это мало волнует. «Удобство наборщика – это определенно не summum bonum („высшее благо“)», – говорит он.

Фреге убежден, что с помощью его системы всю математику можно свести к прочному фундаменту логики. Это приводит к созданию другой книги, опубликованной в 1884 году, – «Основоположения арифметики» (Grundlagen der Arithmetik), где он применяет свою систему к базовым понятиям, например к определению числа. Фреге первым показал, как простейшие объекты математики, вроде чисел, можно вывести исключительно из логики, используя лишь несколько простых функций типа «и» и «или».

«В некотором смысле, – заявит американский математик Фрэнк Десуа в 1954 году, – Фреге можно назвать первым человеком в истории, который узнал, чем на самом деле является число».

Это звучит очень странно. И это действительно так. Работа Фреге странна по той же причине, по которой странна задача об укладке апельсинов – старая проблема, известная как гипотеза Кеплера, о самом эффективном способе укладки сферических объектов. Она сбивает с толку, потому что ответ на этот вопрос прост (любой работник овощного отдела скажет вам, как лучше укладывать фрукты). Но решить эту задачу математически очень трудно – настолько, что она вошла в число 23 проблем Гильберта, представленных в Париже в 1900 году. (А когда в конце 1990-х математик из Мичиганского университета Томас Каллистер Хейлз попробовал опубликовать свое 250-страничное доказательство, математическое сообщество пребывало в растерянности, не зная даже, с чего начать рецензирование.)