Развивая теорию множеств, Кантор приходит к необходимости изобрести концепцию трансфинитных чисел, чтобы измерить размер множеств с бесконечным числом элементов. Он называет их «трансфинитными», потому что они необычны: они фиксируют бесконечность, но при этом участвуют в алгебраических уравнениях как обычные числа.

Он определил, например, трансфинитное число («алеф-нуль»), обозначающее «исчислимую», счетную, малую бесконечность натуральных чисел. И существует трансфинитное число , обозначающее «неисчислимую», несчетную большую бесконечность вещественных чисел. Самый известный пример использования этих двух трансфинитных чисел в виде уравнения – это равенство, которое Кантор назвал континуум-гипотезой:

Континуум-гипотеза захватывает внимание Кантора и становится его главной идеей с конца 1870-х вплоть до конца его жизни во время Первой мировой войны. Он убежден, что все бесконечные множества имеют только два размера: алеф-нуль и алеф-один. Малая бесконечность и большая бесконечность. Счетные и несчетные. Бесконечность размера целых чисел или вещественных чисел. Континуум-гипотеза гласит, что все бесконечные множества попадают либо в одну категорию, либо в другую и никогда не оказываются между ними.

Доказательство континуум-гипотезы станет навязчивой идеей для математиков конца XIX века. Фактически Гильберт, выступая в 1900 году в Париже со своими знаменитыми 23 проблемами будущего, посчитал доказательство этой гипотезы настолько важным, что сделал ее первой задачей в своем списке.

Но задолго до этого Кронекер отказывается принимать подобные идеи. Числа, которые не являются числами, – это не числа, утверждает он. (Еще одним его любимым изречением было: «Интересно, но не математика».) Для Кантора это становится серьезной проблемой, ведь все эти выпады звучат отнюдь не в пустоте.

Мнение Кронекера значит очень много, ведь он – влиятельный математик и редактор Journal für die reine und angewandte Mathematik («Журнал чистой и прикладной математики»), который часто называют «Журналом Крелле» в честь основателя Августа Леопольда Крелле. Это старейшее и одно из самых престижных математических изданий Европы. Используя свое влияние, Кронекер сумел задержать публикацию одной из ключевых статей Кантора в 1870-х. Статья касалась размерной инвариантности вещественных чисел и доказывала, что бесконечная плоскость и бесконечная линия «равномощны» и эквивалентны в своей бесконечности.

* * *

Результаты Кантора, безусловно, шокируют, но для Кронекера это уже перебор. Он просто не может этого принять. И не позволит своему драгоценному журналу напечатать это. Поэтому он делает все возможное, чтобы «зарубить» статью. Она месяцами лежит без движения и без объяснений. Кантор винит во всем Кронекера, полагая, что старший коллега намеренно вставляет палки в колеса, поливает его грязью за спиной и использует свое влияние, чтобы сломать ему карьеру. И он прав. Кронекер называет его отступником, шарлатаном и «развратителем молодежи» каждому, кто готов слушать. Несколько лет спустя он в лицо скажет Кантору, что плохо отзывался о нем, назвав теорию множеств в разговоре с Эрмитом, одним из французских критиков Кантора, «вздором» (очаровательно диккенсовское оскорбление).

В конце концов Кантор отзывает статью об инвариантности размерности, публикует ее в другом месте и клянется никогда больше ничего не посылать в «Журнал Крелле». К черту их и к черту его! Он также разрывает отношения с Кронекером, профессиональные и личные, по крайней мере на время. Предупреждение отца, то письмо, наконец сбылось: «зависть и злословие открытых или тайных врагов». Остерегайся!

Но Кантор уверен в себе – миссия от Бога и все такое. И пусть Кронекер сыплет оскорблениями и строит козни – теория множеств несокрушима. Кантор в этом уверен. Она выдержит любую критику, математическую или философскую, и никакой Кронекер ей не страшен. Осталась лишь одна мучительная проблема: доказать континуум-гипотезу.

* * *

Осенью 1883 года Кантор читает лекцию, описывая свой путь в науке как стремление, которое «жаждет воплотиться в воображении или в мечтах». И больше всего он мечтает решить континуум-гипотезу, чтобы улеглась эта последняя пыль неопределенности.

Континуум-гипотеза – это великолепно выглядящее, хотя и несколько непостижимое уравнение, которое, по сути, настаивает на принципе «или-или» для бесконечных множеств. Оно гласит, что бесконечности бывают одного из двух размеров: малая бесконечность,  – исчислимое, счетное, бесконечное множество натуральных чисел и его эквивалентов (четные, нечетные, простые, числа Фибоначчи и т. д.), – и большая бесконечность,  – неисчислимое, несчетное множество вещественных чисел, которые в философии Кантора обладают мощностью континуума.

Принцип «или-или» континуум-гипотезы означает, что все бесконечные множества попадают в одну из двух категорий:  или . Не существует бесконечного множества, которое содержало бы больше элементов, чем целые числа, но меньше, чем вещественные. Кантор впервые формулирует эту идею в 1878 году, но заходит в тупик, пытаясь ее доказать. В течение следующих нескольких лет он впадает в отчаяние и неоднократно пытается найти доказательство, каждый раз терпя неудачу. Снова и снова ему кажется, что ответ найден, и снова и снова он обнаруживает ошибку. Он пытается. Он терпит неудачу. Еще одна попытка. Еще один провал. Однажды он пишет письмо, объявляя о доказательстве. На следующий день он отзывает его. И так продолжается бесконечно, мучительный цикл. Намылить. Смыть. Повторить. Анонсировать. Отозвать. Сокрушаться. Пытка!

Кронекер тем временем быстро становится главным источником неприятностей в жизни Кантора. В конце 1883 года он пишет Миттаг-Леффлеру, их общему другу (все трое были в Берлинском университете в одно и то же время). В то время Миттаг-Леффлер только что основал первый в мире по-настоящему международный математический журнал Acta Mathematica – тот самый, куда Софья Ковалевская была приглашена в качестве первой женщины-редактора в истории научных публикаций. Вдохновением для этого журнала, по словам американского математика Эйнара Хилле, послужило желание преодолеть разрыв между французскими и немецкими математиками, отношения которых оставались натянутыми после Франко-прусской войны.

Кронекер предлагает Миттаг-Леффлеру для его журнала в 1883 году весьма «сочную» статью-мнение. Интересует ли его взгляд на теорию множеств? Он обещает материал, который покажет, что, по правде говоря, весь этот труд не имеет «никакой реальной значимости».

Миттаг-Леффлер – хороший друг Кантора (в аспирантуре у них был общий научный руководитель), поэтому, конечно, он все ему рассказывает. И, разумеется, Кантор впадает в ярость, разрываясь между гневом и паранойей. Сначала Кронекер выжил его из «журнала Крелле», а теперь это! Кронекер так и не прислал статью, но вся эта история подпитывает отчаянный «параноидальный гнев» Кантора. Он с удвоенной силой берется за континуум-гипотезу, чтобы покончить с ней раз и навсегда.