Готфрид Вильгельм Лейбниц — пожалуй, один из умнейших людей, когда-либо живших на свете. Он родился в Лейпциге в 1646 году; его отец, профессор нравственной философии, умер, когда Лейбницу было всего шесть лет. Воспитанием Лейбница занималась мать, открывшая ему доступ к библиотеке отца. (Как родитель, я подозреваю, что сделала она это потому, что была занята делами, а айпады тогда еще не изобрели.) Лейбниц жадно поглощал сложные труды, хранившиеся в библиотеке, в возрасте четырнадцати лет поступил в университет, а чуть больше года спустя уже получил степень бакалавра философии. Затем он получил ученые степени по философии и праву, после чего начал карьеру, не знавшую никаких границ: он внес вклад не только в эти области, но и в математику, астрономию, физику, химию, геологию, ботанику, психологию, медицину, естественную историю, юриспруденцию, этику, политическую философию, историю, лингвистику и теологию. В математике он тоже не был профаном: параллельно с Исааком Ньютоном (еще одним претендентом на звание самого умного человека в истории) он разработал математический анализ, сформулировал концепцию двоичных чисел и изобрел новый тип механического калькулятора. И все же он так и не смог придумать, как с помощью математики описать человеческое мышление.
Логика — идея о том, что может существовать правильный способ рассуждения, — увлекла Лейбница еще в ранней юности. Описывая свое обучение, он писал:
Еще до того, как я дошел до школьного класса, где преподавали логику, я зачитывался историками и поэтами, ибо читать историков начал почти сразу, как научился читать вообще, а в стихах находил великое удовольствие и легкость. Но едва я приступил к изучению логики, как меня чрезвычайно взволновали разделение и порядок мыслей, кои я в ней усмотрел. Я тотчас же заметил, насколько это было под силу тринадцатилетнему мальчику, что в этом должно заключаться нечто великое.
По мере развития своих математических способностей Лейбниц начал задумываться о том, что изящной структуре логики может соответствовать столь же изящная структура математики. В своей университетской диссертации, написанной в возрасте двадцати лет, он исследовал математику комбинаций — построение понятий путем сочетания более простых элементов различными способами. Десять лет спустя вопрос о связи между математикой и мышлением вновь завладел его разумом.
Нечасто удается воочию увидеть мучительные поиски великого ума, но серия заметок, написанных Лейбницем в 1679 году, показывает, как он раз за разом пытается и не может решить эту задачу. Лейбницу было тридцать два года, он недавно переехал в Ганновер, чтобы стать советником герцога Иоганна Фридриха. Он переживал невероятный творческий подъем: в этот же период он разработал план энциклопедии нового типа и поддерживающего ее научного сообщества, продвинулся в решении нескольких философских вопросов и вывел новое математическое описание физических сил. Но математическое описание мыслительных сил ему не давалось. Каждая заметка в этой серии построена одинаково: Лейбниц придумывает новую схему, тестирует ее, показывает, что она вроде бы работает, но затем натыкается на препятствие, и запись внезапно обрывается. Затем следующая заметка начинается заново… и заканчивается точно так же.
Никто не станет прикладывать столько усилий, если не считает дело действительно важным. Так почему же Лейбниц так упорствовал? В этой главе я объясню, чего именно он пытался достичь и как его попытки заложили основу для одного из главных теоретических подходов в когнитивной науке — объяснения разума как системы правил и символов. Затем я познакомлю вас с человеком, который в итоге решил задачу Лейбница, — Джорджем Булем, — и вкратце объясню суть его решения, послужившего основой для нашего первого математического аппарата понимания разума.
Аристотель и силлогизм
Хотя Лейбниц питал грандиозные амбиции, его попытка облечь мышление в математическую форму началась скромнее. Вместо того чтобы пытаться объяснить мышление целиком, он решил сосредоточиться на весьма конкретной его части — силлогизмах Аристотеля.
Вопрос о том, как нужно мыслить — и что делает аргумент убедительным, — задавали себе в самых разных культурах. Свои подходы к логике независимо друг от друга развивались в Индии и Китае. Но для Лейбница, как и для большей части западного мира того времени, канонической была логика Аристотеля. Как и Лейбниц, Аристотель жил в непосредственной близости к влиятельнейшим фигурам своего времени — он был учеником Платона и наставником Александра Македонского, — но его эпоха отстояла на два тысячелетия в прошлое. Сквозь эту бездну веков до нас дошла «Первая аналитика» — трактат, в котором Аристотель впервые систематически изложил структуру аргументации.
Предметом исследования Аристотеля был силлогизм — умозаключение, состоящее из двух посылок (утверждений, принимаемых за истинные) и одного вывода, который предположительно из них следует. Вот пример, который Лейбниц приводит в одной из своих заметок:
Каждый мудрый человек благочестив.
Некоторые мудрые люди богаты.
Следовательно, некоторые богатые люди благочестивы.
Лейбниц утверждал, что это рассуждение правильно, и Аристотель с ним согласился бы: вывод следует из посылок в том смысле, что если принять истинность посылок, то придется признать и истинность вывода. Аристотель хотел выяснить, какие силлогизмы являются правильными и существует ли систематический способ их классификации.
Первым новаторским шагом Аристотеля было точное определение круга рассматриваемых умозаключений. Каждое суждение в силлогизме говорит об отношении между двумя предметами — например, мудрыми людьми и благочестивыми людьми. Если мы заменим «мудрого человека» буквой A, а «благочестивого человека» буквой B, то сможем записать соответствующее суждение как «Каждый A есть B». Первым шагом Аристотеля в определении множества возможных силлогизмов было ограничение суждений всего четырьмя видами: помимо суждения «Каждый A есть B», он допускал варианты «Ни один A не есть B», «Некоторый A есть B» и «Некоторый A не есть B». Каждая из двух посылок и вывод должны были принадлежать к одному из этих четырех типов.
Во-вторых, предметы, о которых идет речь в суждениях, повторяются на протяжении всего умозаключения. В примере Лейбница мудрые люди фигурируют в обеих посылках, а благочестивые — в первой посылке и в выводе. Если мы обозначим «мудрого человека» как A, «благочестивого человека» как B, а «богатого человека» как C, то это рассуждение примет следующий вид: Каждый A есть B.
Некоторый A есть C.
Следовательно, некоторый C есть B.
Если бы мы поменяли порядок этих букв в рассуждении, к примеру, изменив «Каждый A есть B» на «Каждый B есть A», мы бы получили совсем другое умозаключение. В таком случае у нас вышло бы утверждение «Каждый благочестивый человек мудр», и рассуждение потеряло бы логическую силу (поскольку богатые мудрецы могли бы не совпадать с благочестивыми мудрецами). Аристотель рассмотрел три различных типа умозаключений, которые можно построить, меняя порядок букв A, B и C. Этот различный порядок букв Аристотель назвал «фигурами».
Таким образом, чтобы составить аристотелев силлогизм, мы выбираем фигуру — то есть один из трех вариантов порядка для A, B и C — и один из четырех типов суждений для каждой посылки и вывода («Каждый», «Ни один», «Некоторый» и «Некоторый… не есть»). В результате мы получаем в общей сложности 192 (или 3 × 4 × 4 × 4) возможных силлогизма (Лейбницу наверняка понравилось бы такое разнообразие комбинаций!). Так какие же из этих умозаключений верны? И почему?
Прежде чем двигаться дальше, стоит на мгновение задуматься, почему мы рассуждаем лишь об A, B и C, а не используем суждения о реальных объектах. Одно из важнейших открытий Аристотеля заключалось в том, что правильным умозаключение делает именно его форма, а не содержание. Совершенно неважно, о чем именно говорится в посылках и выводе и соответствуют ли эти утверждения реальному миру — логическая правильность вывода зависит исключительно от того, какой из этих 192 шаблонов используется. Рассуждение Лейбница о мудрых и благочестивых людях, например, можно перефразировать, взяв менее правдоподобные посылки из учебника логики, написанного Льюисом Кэрроллом, автором сказки «Алиса в Стране чудес»: Каждая кошка понимает по-французски.
Некоторые куры — кошки.
Следовательно, некоторые куры понимают по-французски.
Даже если посылки ложны, форма умозаключения остается логически правильной.
С помощью сочетания интуиции и доказательств Аристотель выявил в общей сложности четырнадцать правильных силлогизмов. Интуиция помогала утверждать, что определенные умозаключения очевидно истинны (например: «Каждый A есть B, Каждый B есть C, Следовательно, каждый A есть C»). С помощью доказательств он разбирал сомнительные случаи, сводя их к тем, в которых был полностью уверен. Аристотель также сформулировал некоторые общие правила, которые казались универсальными, — например, то, что ни один правильный силлогизм не может содержать две отрицательные посылки («Ни один A не есть B» или «Некоторый A не есть B»).
Лейбниц хотел пойти еще дальше. Он стремился разработать математическую теорию, которая автоматически определяла бы все правильные силлогизмы. И в 1679 году ему показалось, что он нашел способ сделать это с помощью арифметики. По схеме Лейбница каждому термину (например, «мудрый человек» или «благочестивый») сопоставлялись два числа — одно положительное и одно отрицательное. Истинность полученного суждения можно было проверить путем сравнения этих чисел, выясняя, делятся ли числа одной группы на числа другой. К примеру, если два числа для «мудрого человека» — это +70 и −33 (для удобства запишем как (+70, −33)), а для «благочестивого» — (+10, −3), то можно быть уверенным в истинности утверждения «Каждый мудрый человек благочестив», поскольку 70 делится на 10, а −33 делится на −3. Лейбниц полагал, что должен существовать способ применить эту схему к силлогизмам в целом: на основе чисел для отдельных терминов и суждений, составляющих посылки, можно найти правила, позволяющие выводить верные заключения.
Лейбниц предлагал самые разные идеи в этом направлении, творчески используя свойства простых чисел. Он натыкался на решения, которые работали лишь в некоторых случаях, — например, он показал, что может доказать вывод «Некоторые богатые люди благочестивы» в первом рассмотренном нами силлогизме. Но на других силлогизмах его метод давал сбой. Так, он мог бы признать логически верным следующее рассуждение: Каждый благочестивый человек счастлив.
Некоторый благочестивый человек не богат.
Следовательно, некоторый богатый человек не счастлив.
Аристотель с этим бы не согласился, и, полагаю, вы тоже!
Вопреки всем своим усилиям, Лейбниц так и не смог заменить Аристотеля арифметикой.
Всеобщая характеристика
Подход, который Лейбниц применил к логике, на самом деле был попыткой выразить на языке математики другую потрясающую идею XVII века — идею всеобщего языка.
В семнадцатом веке язык вызывал необычайный интерес. В 1606 году был опубликован первый алфавитный словарь английского языка, огромной популярностью пользовались энциклопедии, а ученые напряженно размышляли над свойствами различных языков (сам Лейбниц изучал китайский). Начав переустраивать мир вокруг себя, мыслители семнадцатого века задумались и над тем, как изменить сам язык. Рене Декарт — француз, чье имя сегодня с равной вероятностью можно услышать как на уроках математики (декартовы координаты), так и на лекциях по философии (декартов дуализм), — размышлял об этой возможности в письме к математику Марену Мерсенну в 1629 году. Мерсенн прислал Декарту проект по рационализации языка, к которому Декарт отнесся скептически. Тем не менее сама идея Декарта чрезвычайно увлекла:
Я полагаю, однако, что можно было бы разработать систему, позволяющую составить первообразные слова и их символы в таком языке, чтобы его можно было выучить очень быстро. Нужен порядок: все мысли, которые могут возникнуть в человеческом уме, должны быть расположены в порядке, подобном естественному порядку чисел. Всего за один день можно научиться называть каждое из бесконечного ряда чисел и, таким образом, писать бесконечно много разных слов на неизвестном языке. То же самое можно было бы сделать и для всех остальных слов, необходимых для выражения всех прочих вещей, входящих в сферу человеческого разума.
Декарт говорил о том, что числительные подчиняются нескольким простым правилам, позволяющим быстро генерировать слова, которые однозначно определяют любое конкретное число. Сто одиннадцать, две тысячи семьсот девятнадцать или три миллиона двенадцать — даже если вы никогда раньше не слышали именно такого сочетания слов, вы точно знаете, каким числам они соответствуют. Представьте, если бы и весь остальной язык был столь же точен...
Какой бы захватывающей ни казалась эта идея — всеобщий язык! — Декарт понимал связанные с ней трудности:
Открытие такого языка зависит от истинной философии. Ибо без этой философии невозможно пронумеровать и упорядочить все мысли людей или даже разделить их на ясные и простые мысли, что, на мой взгляд, и является великой тайной обретения истинного научного знания. Если бы кто-то правильно объяснил, каковы те простые идеи в человеческом воображении, из которых складываются все человеческие мысли, и если бы его объяснение было общепринятым, я смел бы надеяться на всеобщий язык, который было бы очень легко выучить, на котором было бы легко говорить и писать.
Итак, дело всего лишь за тем, чтобы определить, как пронумеровать и упорядочить все возможные мысли. Но усилия эти стоили бы того:
Величайшим преимуществом такого языка стала бы помощь, которую он оказал бы человеческому суждению, представляя вещи настолько ясно, что ошибиться было бы почти невозможно. В нынешнем же положении дел почти все наши слова имеют запутанные значения, а человеческие умы так к ним привыкли, что едва ли найдется хоть что-то, что они способны понять до конца.
Точно так же, как вы можете мгновенно понять, что две тысячи семьсот девятнадцать меньше трех миллионов двенадцати, две мысли, выраженные на воображенном Декартом идеальном языке, можно было бы сопоставить напрямую, что позволило бы легко и мгновенно выявлять ложные утверждения.
В последующие десятилетия дело создания такого всеобщего языка возобновлялось несколько раз, наиболее заметным из которых стал труд преподобного Джона Уилкинса «Опыт о реальном характере и философском языке», опубликованный в 1668 году. Джон Уилкинс был влиятельной фигурой в Англии XVII века: он возглавлял колледжи как в Оксфорде, так и в Кембридже, а также был одним из членов-основателей Лондонского королевского общества. Кроме того, он написал первую на английском языке исчерпывающую книгу по криптографии, и ему приписывают планирование научной экспедиции на Луну. Его «Опыт» представлял собой монументальный труд объемом более шестисот страниц текста и таблиц. В нем он рассматривал свойства естественных языков, включая их письменные и устные формы, и предложил новый язык, призванный «излечить проклятие смешения языков», порожденное лингвистическим недопониманием, тем самым облегчая обучение, торговлю и урегулирование религиозных разногласий.
Уилкинс подошел к задаче перечисления и упорядочивания мыслей весьма прямолинейно. Значительную часть «Опыта» составляют списки понятий (по его выражению, «тех вещей и представлений, которым должны быть присвоены слова»), тщательно структурированные в соответствии с разработанной им системой. Каждое понятие определяется Родом — широким классом, таким как «Стихия», «Птица», «Зверь» или «Мера». Внутри каждого Рода выделяются девять Различий — более частных категорий внутри этого широкого класса; например, у Рода «Стихия» есть Различия, соответствующие «Огню», «Воде» и так далее. А еще более тонкие разграничения выделяют девять различных Видов внутри каждого Различия: первым Видом «Огня» является «Пламя». При наличии сорока Родов эта система потенциально охватывает 3240 различных понятий (40 × 9 × 9 — еще больше комбинаций для Лейбница!).
С каждым из этих понятий Уилкинс сопоставил письменный знак — реальный характер, — отражающий его суть. Сделано это было весьма систематично. Род обозначался горизонтальной линией с отметкой на ней — всего требовалось сорок различных отметок. Различие указывалось отметкой на левом конце этой линии, а Вид — отметкой на правом. Таким образом, взгляд на получившийся символ сразу же раскрывал Род, Различие и Вид описываемого им понятия. Другие пометки использовались для обозначения слов, связывающих понятия. На рисунке 1.1 приведен перевод молитвы «Отче наш» на язык реальных характеров.
Читая «Отче наш», легко понять, чем Уилкинсу так нравилась эта схема. Связи между понятиями можно определить с первого взгляда. Например, если присмотреться, можно заметить, что знаки, обозначающие «Небо» и «Землю», чрезвычайно похожи. Оба они содержат горизонтальную линию, пересеченную вертикальной, что соответствует Роду «Мир». Отметка с левой стороны указывает на второе Различие, «Небо». У «Земли» же есть отметка с правой стороны, указывающая на седьмой Вид.
Реальный характер был не просто письменным языком, он мог быть и устным. Уилкинс придумал схему перевода этих символов в произносимые слова. Каждый Род обозначался согласным звуком, за которым следовал гласный, каждое Различие — другим согласным, а каждый Вид — гласным. Например, слово «Небо» звучало бы как «Dad» («Da» для Рода, «d» для второго Различия), а «Земля» — как «Dady» (где «y» указывает на седьмой Вид). Противоположное понятие обозначалось приставкой «o-», так что «Ад» превращался в «Odad».
Рисунок 1.1. Молитва «Отче наш» на Реальном характере с первыми двумя строками перевода под ней.
Будь то в письменной или устной форме, Реальный характер обладал уникальным свойством: знать слово для обозначения вещи означало знать саму вещь. Человек, знакомый с системой Уилкинса, услышав новое слово, мог сразу же определить, где именно оно располагается в этой системе. Родственные понятия распознавались мгновенно, а некоторые виды утверждений становились попросту невозможными. Например, вполне допустимо было сказать: «Кошка — это зверь», но если бы вы сказали: «Кошка — это рыба», ложность этого утверждения стала бы очевидной даже для того, кто не знает о кошках и рыбах ничего, кроме их названий.
И здесь на сцену выходит Лейбниц. Декарт указывал, что мысли необходимо пронумеровать. Уилкинс, по сути, это и сделал — каждому понятию присваивался номер на основе его Рода, Различия и Вида. Но эти номера были произвольными и служили лишь для фиксации иерархических связей между понятиями. Лейбниц же вообразил схему — всеобщую характеристику, — в которой числа, присвоенные каждому понятию, отражали бы нечто более внутренне присущее самому понятию, так что истинность высказываний с ними можно было бы оценивать простым применением арифметики. Используя эту схему, один человек мог бы утверждать: «Всякий мудрец благочестив», а другой — проверить истинность этого утверждения с помощью быстрого вычисления. Располагая набором истинных утверждений, с помощью других расчетов можно было бы определить логически верные выводы, которые из них следуют. И если бы разум удалось свести к арифметике, его можно было бы автоматизировать.
Неслучайно еще одним историческим вкладом Лейбница стала разработка нового типа механического калькулятора. Французский математик Блез Паскаль ранее создал механический калькулятор, который мог складывать и вычитать числа с помощью хитроумной системы шестеренок. Лейбниц нашел способ расширить этот подход, добавив возможность умножения и деления, и представил прототип своего калькулятора на заседании Королевского общества в 1673 году. Само по себе создание такой машины было сложной задачей, учитывая ресурсы того времени, но Лейбницу в итоге удалось создать устройство, способное совершать такие впечатляющие операции, как умножение двух восьмизначных чисел.
Для Лейбница всеобщая характеристика — и автоматизация лежащей в ее основе математики — обладала, казалось, революционным потенциалом. Как писал он сам, судя по всему, во введении к планируемой книге на эту тему:
«Как только будут определены характеристические числа для большинства понятий, человечество получит инструмент нового рода — инструмент, который усилит возможности разума гораздо больше, чем оптические линзы помогли нашим глазам; инструмент, который будет настолько же превосходить микроскопы или телескопы, насколько разум превосходит Зрение. […] Когда мы обретем истинные характеристические числа вещей, мы наконец сможем без каких-либо умственных усилий или риска ошибиться судить о том, насколько состоятельны аргументы по существу, и делать верные выводы».
Разумеется, эта книга так и не была закончена. Лейбниц продолжал исследовать то, как математика может описывать различные аспекты мышления: в 1686 и 1690 годах он начал выходить за рамки арифметики, делая наброски, где использовал абстрактные символы для обозначения классов и новые математические операции для описания отношений между ними, предвосхищая последующее развитие математической логики. Однако он так и не создал законченной системы, которая бы его удовлетворила. Ближе к концу жизни Лейбниц сокрушался об этом, признаваясь в письме другу, что все еще надеялся бы завершить свой труд, «если бы меня меньше отвлекали, или если бы я был моложе, или имел в помощниках талантливых юношей».
Но что он действительно сделал — наряду с Декартом и Уилкинсом, — так это предложил новый способ мышления о самом разуме: как о системе правил и символов.
Формальные системы
Декарт, Уилкинс и Лейбниц выдвинули идеи, которые, как мы увидим на последующих страницах, будут изобретаться вновь и вновь — например, присвоение чисел понятиям и организация этих понятий в иерархии. Но что еще более важно, они предположили, что таинственный процесс мышления можно свести к гораздо более знакомому — арифметике. Тем самым они утверждали, что разум можно понимать как то, что современные когнитивисты называют «формальной системой».
Формальная система — это просто более точный способ описания того, что интуитивно мы назвали бы системой правил и символов. Согласно популярному определению, формальная система обладает тремя свойствами: это система манипулирования знаками, она цифровая и независима от носителя.
И пусть это звучит довольно абстрактно, готов поспорить, вы близко знакомы со множеством формальных систем. По сути, если вы когда-либо играли в настольную игру, вы уже взаимодействовали с формальной системой. Систему манипулирования знаками можно описать с помощью трех составляющих: набора знаков, их начального расположения и свода правил, определяющих, как именно этими знаками можно манипулировать. По сути, это и есть правила настольной игры.
Возьмем, к примеру, шахматы. Знаками здесь выступают игровые фигуры — пешки, кони, слоны и так далее. Начальным расположением служит привычная стартовая позиция в начале партии, где пешки выстроены в ряд перед остальными фигурами. Правила шахмат определяют, как можно манипулировать этими знаками: из начального состояния вы переходите в новое, делая ход пешкой или конем; пешка может ходить вперед на одну или две клетки и так далее. Следуя этим правилам, можно сгенерировать все возможные шахматные партии.
Игру в шахматы также можно использовать для иллюстрации других свойств формальной системы. Она является цифровой — здесь нет промежуточных состояний. Шахматная фигура либо стоит на определенной клетке, либо нет (а если нет, значит, что-то пошло не так, и это необходимо исправить, прежде чем игра продолжится). Вам не нужно смотреть замедленный повтор, чтобы определить, сделан ли ход по правилам, — он либо сделан по правилам, либо нет. По этой причине вы можете в точности воссоздать шахматную партию, сыгранную более ста лет назад.
Сравните это с фехтованием. В фехтовании есть правила, есть сложные стратегии (из-за чего некоторые называют его «физическими шахматами»). Но оно не является цифровым: то, что происходит в фехтовальном поединке, теснейшим образом зависит от точного положения фехтовальщиков; в нем достаточно двусмысленности, из-за чего для присуждения каждого очка требуется судья-человек; здесь порой не обойтись без замедленного повтора, и такой поединок невозможно воспроизвести в точности. Фехтовальщики разработали свой язык для описания различных позиций, однако на практике остается много места для разногласий по поводу того, было ли конкретное действие, например, финтом или атакой. Нецифровая природа фехтования представляет собой серьезную проблему для любителей исторического фехтования, которые пытаются восстановить по старинным руководствам, как люди фехтовали сотни лет назад, — подобно тому как разрыв между нотной записью и исполнением усложняет жизнь тем, кто пытается воссоздать произведения ранней музыки.
Наконец, шахматы не зависят от носителя. Хотя мы привыкли, что шахматные фигуры выглядят как башни и кони, в правилах нет ничего, что предписывало бы им иметь какую-то конкретную форму. Как следствие, вы можете купить шахматные наборы, где фигурами служат персонажи мультсериала South Park (где пешкой, что вполне ожидаемо, является Кенни), экзотические птицы или бейсболисты. Вам даже не нужна физическая доска — вы можете играть на компьютере, где правила представлены и выполняются кремниевыми микросхемами. А гроссмейстеры могут играть и вовсе без доски, задействуя нейроны для симуляции партии у себя в голове.
Разумеется, формальные системы выходят далеко за рамки настольных игр. Арифметика — это тоже формальная система. Здесь существует множество возможных начальных позиций — последовательностей чисел, операторов (+, −, ×, ÷) и скобок, которые задают математически корректный пример. Например, 4 × (3 + 2). Правила арифметики определяют, в каком порядке следует выполнять действия для решения этого примера (в данном случае начиная со сложения в скобках), и каков результат этого сложения (3 + 2 = 5). Подставив этот результат, мы получаем новый пример (4 × 5) и снова применяем наши правила для его решения. Исходя из этих начальных позиций и правил, мы можем составить и решить любой арифметический пример.
Знаки в формальной системе обретают значение — становятся символами — когда мы соотносим их с чем-то другим. Пешки — это пехотинцы, король — драгоценный предводитель. Символ «3» означает «три предмета» — три персика или три доллара, которые вы платите за эти персики в супермаркете. Сама формальная система теперь обретает новую значимость: шахматы становятся инструментом для обучения военной стратегии, а арифметика — руководством к тому, чего ожидать на кассе супермаркета.
Многое из того, что мы делаем в науке, связано с установлением соответствий между конкретными формальными системами и окружающим миром. Например, физика Ньютона оказалась успешной потому, что создала новую связь между формальной системой евклидовой геометрии и поведением таких объектов, как планеты и кометы. На занятиях по математическому анализу x — это просто знак, которым нужно манипулировать. Но когда вы переходите в другой кабинет на урок физики, x превращается в символ, обозначающий положение планеты.
В 1679 году Лейбниц пытался взять уже существовавшую формальную систему — арифметику — и установить новое соответствие между ее знаками (числами) и человеческим мышлением. Тот факт, что это не сработало, вовсе не означает, что мышление невозможно описать как формальную систему. Это означает лишь то, что он не нашел подходящую формальную систему.
Следующий прорыв в решении этой проблемы произошел лишь более века спустя.
Алгебраическое озарение
Однажды во время прогулки по полю семнадцатилетнему школьному учителю по имени Джордж Буль явилось видение. Его голова была полна абстрактной математики — идей о том, как использовать алгебру для решения сложных задач математического анализа. Внезапно его осенило: само мышление можно выразить в алгебраической форме.
Буль родился 2 ноября 1815 года в четыре часа дня в Линкольне, Англия. Он был первым ребенком сапожника Джона Буля и его жены Мэри Энн. Однако Джон не был обычным сапожником: он страстно увлекался наукой и математикой и его с одинаковой вероятностью можно было застать за изготовлением телескопа или обуви. Неудивительно, что его сын Джордж получил качественное образование, изучая как классические языки, так и математику, а также обучаясь игре на флейте и пианино. Он быстро овладел латынью и древнегреческим, а его переводы классических стихотворений были опубликованы в местной газете, когда ему было всего четырнадцать лет (что вызвало определенные споры, так как один из читателей отказался верить, что это работа школьника). Когда через пару лет дело его отца начало приходить в упадок, Джордж устроился учителем в школу в Донкастере. Он начал глубже изучать математику — отчасти потому, что это помогало ему укладываться в бюджет на покупку книг, ведь на проработку каждого труда уходило очень много времени.
Видение, явившееся Булю во время прогулки по полю, возможно, отчасти объяснялось его своеобразным образованием. Он изучал математический анализ по книгам французских математиков — Лакруа, Лагранжа и Лапласа, которые принадлежали к традиции, следовавшей подходу к анализу, предложенному Лейбницем. Этот подход был более абстрактным и алгебраическим, нежели геометрический подход Ньютона, предпочитаемый в Англии, что и предрасположило Буля к размышлениям о системах, более богатых, чем простая арифметика. Однако Буль не смог сразу же последовать за своим видением. Преподавательская работа дала ему возможность возглавить другую школу, поближе к семье, а в конечном итоге — основать в возрасте девятнадцати лет собственную школу в Линкольне. Как только финансовое положение его семьи укрепилось, Буль начал публиковать замечательную серию статей по математике. Он с успехом применил свой алгебраический взгляд на математический анализ, опубликовав в Cambridge Mathematical Journal статьи с такими названиями, как «Исследования по теории аналитических преобразований с особым приложением к приведению общего уравнения второго порядка» и «Об интегрировании линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами». Вскоре скромный школьный учитель, никогда не учившийся в университете, уже переписывался с ведущими математиками. Затем ему пришла в голову еще более масштабная идея — метод решения некоторых сложных дифференциальных уравнений, — которую он опубликовал под названием «Об общем методе в анализе» в престижном журнале Proceedings of the Royal Society в 1844 году. Статья оказалась настолько впечатляющей, что Королевское общество наградило Буля первой в истории золотой медалью по математике.
Эти работы закрепили за Булем репутацию математика, но труд над ними также дал ему инструменты, необходимые для дела всей его жизни — разработки математической теории логики.
Законы мышления
Оглядываясь назад, легко заметить, что Буль был идеально подготовлен к тому, чтобы принять вызов Лейбница по арифметизации Аристотеля: благодаря своим математическим изысканиям он глубоко погрузился в алгебру, а изучение классических языков позволяло ему читать Аристотеля в оригинале на древнегреческом. Однако к этой задаче он пришел совершенно независимо от Лейбница, обнаружив их общую страсть лишь в зрелом возрасте. Побудительным мотивом вернуться к юношескому видению для Буля послужил спор между его другом, математиком Огастесом де Морганом, и философом Уильямом Гамильтоном. Оба они нашли способ расширить логику, но презирали методы друг друга: Де Морган стремился к математическому решению, в то время как Гамильтон опирался на словесные аргументы. В какой-то момент Гамильтон даже обвинил Де Моргана в плагиате. Буль увидел способ разрешить этот спор кратчайшим путем, применив математический подход в духе Де Моргана, который формализовал интуитивные догадки Гамильтона.
Буль был поглощен идеей подвести под логику прочный математический фундамент. Как описывала это его сестра Мэри-Энн:
Когда он только начал работать над «Математическим анализом логики», его поглощенность была столь велика, что казалось, будто его мозг ни на миг не знал покоя; днем он ходил как во сне, а ночью часами лежал без сна, обдумывая то, что являлось ему в видении всю его жизнь. И частенько, не в силах уснуть, он вставал глухой зимней ночью и, закутавшись в плащ, спускался в общую гостиную, чтобы записать стремительно сменявшие друг друга мысли, которые невозможно было сдержать.
Буль опубликовал «Математический анализ логики» в виде небольшой книги всего через несколько недель после того, как начал над ней работать. Почетное место в ней занимают силлогизмы Аристотеля — в книге изложена алгебраическая схема для определения отношений между классами объектов, позволяющая делать новые выводы путем проверки того, вытекают ли одни уравнения из других; Буль показал, что это можно использовать для вывода истинных силлогизмов. Книга стала прорывом, однако Буль посчитал, что она была написана слишком поспешно, и провел следующие семь лет, совершенствуя свою систему, чтобы в итоге опубликовать гораздо более объемный труд — «Исследование законов мышления».
Буль четко обозначил свои цели в самом первом абзаце своей книги:
«Цель предлагаемого трактата заключается в том, чтобы исследовать фундаментальные законы тех операций ума, посредством которых осуществляются рассуждения; выразить их на символическом языке исчисления и на этом основании утвердить науку логику и выстроить её метод; сделать этот метод основой общего метода применения математического учения о вероятностях; и, наконец, извлечь из различных элементов истины, открывающихся в ходе этих изысканий, некоторые вероятные указания касательно природы и устройства человеческого разума».
Его путь к этой цели основывался на простой идее: пусть символ x обозначает класс предметов. Теперь можно применить аппарат алгебры: «Так, если x сам по себе означает "белые предметы", а y — "овец", пусть xy означает "белых овец"». Такое написание двух алгебраических символов подряд служит сокращением для умножения, поэтому на самом деле Буль говорит, что мы можем записать класс белых овец как x × y. Сделав этот простой шаг, Буль начал определять правила манипулирования этими символами. Во-первых, очевидно, что xy = yx, поскольку класс овец, которые являются белыми, совпадает с классом белых предметов, являющихся овцами. Во-вторых, если x и y представляют один и тот же класс предметов, то разумно утверждать, что xy = x, поскольку белые предметы, которые являются белыми, — это просто белые предметы. Тогда мы можем переписать это как xx = x, или x2 = x, что становится первым намеком на то, что мы вступаем на необычную территорию. Ведь очевидно, что равенство x2 = x выполняется далеко не для всех возможных значений x в тех условиях, где мы обычно применяем алгебру.
Так когда же x2 = x? Что ж, это выражение истинно, если x = 1 или x = 0, что указывает на то, что 1 и 0 будут играть особую роль в этой системе. Более того, Буль заметил, что правила его алгебры логики следуют правилам нашей более привычной арифметики, когда эта арифметика ограничена переменными, принимающими значения 1 или 0. Символы 1 и 0 также имеют ясные значения: 1 обозначает класс всех предметов, поэтому 1x = x, а 0 обозначает класс, не содержащий ничего, поэтому 0x = 0.
Буль распространил этот анализ на еще одну операцию: если классы x и y не пересекаются (не имеют общих элементов, то есть xy = 0), тогда x + y представляет собой класс предметов, входящих либо в x, либо в y. Подобным же образом x − y — это класс предметов, входящих в x, но не входящих в y. Операции, представленные здесь как умножение и сложение, сочетаются друг с другом привычным образом, так что x(y + z) = xy + xz.
И вот теперь, хотите верьте, хотите нет, мы готовы подступиться к Аристотелю. Помните, Аристотель формулировал свои силлогизмы, используя четыре различных вида суждений: «Каждое A есть B», «Ни одно A не есть B», «Некоторое A есть B» и «Некоторое A не есть B». Буль нашел алгебраические выражения, которые описывали каждое из этих суждений. Например, систему Буля можно использовать для выражения суждения «Каждое A есть B» в виде a = ab (поскольку все, что является A, является также и B, множество предметов, которые одновременно представляют собой и A, и B, совпадает с множеством предметов, являющихся A). Доказать правильность силлогизма — значит просто совершить алгебраические преобразования над выражающими его посылки уравнениями, чтобы получить нечто эквивалентное его заключению. Так, например, для аристотелевского рассуждения «Каждое A есть B, каждое B есть C, следовательно, каждое A есть C» нашим первым шагом будет перевод посылок в a = ab и b = bc. Затем мы можем доказать правильность силлогизма, заменив b в первой посылке на bc, чтобы получить a = abc, а затем заменив ab на a, чтобы получить a = ac, что эквивалентно утверждению «Каждое A есть C». Буль представил аналогичные доказательства и для других силлогизмов.
«Исследование законов мышления» пошло гораздо дальше этого, предложив аналогичную математическую систему для утверждений, которые не относились явным образом к классам объектов. Система Буля, безусловно, имела свои недостатки — к примеру, логик и экономист Уильям Стэнли Джевонс был недоволен тем, что выражение x + y могло применяться только тогда, когда x и y не пересекаются, и разработал измененную систему, которая решала эту проблему. Доказательства Буля также содержали ошибки, на обнаружение которых ушли многие годы. Тем не менее его труд стал первым значимым воплощением того, о чем мечтали Декарт и Лейбниц, — формальной системы, описывающей аспекты человеческого мышления.
Почему логика важна
Что ж, очевидно, я в восторге от логики. Не в таком, конечно, как Буль — по ночам я всё же обычно сплю, — но достаточно сильном, чтобы перерыть гору старых книг и рассказать о ней вам. Так в чём же дело? Почему вам тоже стоит ею увлечься?
Чтобы ответить на этот вопрос, мы перенесёмся на целое столетие вперёд, миновав череду открытий — труды таких мыслителей, как Готлоб Фреге, Бертран Рассел, Людвиг Витгенштейн и Эмиль Пост, — и окажемся в моменте, когда перед нами предстанет нечто, что уже немного проще понять.
Мы сосредоточимся на логике высказываний — логике простых утверждений, которые могут быть либо истинными, либо ложными. Я буду использовать такие символы, как P и Q, для обозначения этих утверждений, которые называют высказываниями. Например, P может быть утверждением «Ночью шел дождь», а Q — утверждением «Трава мокрая». Как и Булю, нам будет интересно объединять утверждения друг с другом, но, в отличие от Буля, мы не станем использовать для этого арифметические символы. Вместо этого для связки «P и Q» мы будем писать P ˄ Q, а для «P или Q» запишем P ˅ Q.
Что означают ˄ и ˅? Мы определим их так, чтобы постараться уловить интуитивный смысл слов «и» и «или». Высказывание «Ночью шел дождь, и трава мокрая» истинно тогда, когда оба высказывания — «Ночью шел дождь» и «Трава мокрая» — истинны. Оно ложно, если ложно хотя бы одно из них. Мы можем обобщить значение символа ˄ в таблице истинности, показывающей, будет ли высказывание P ˄ Q истинным (И) или ложным (Л) в зависимости от того, истинны или ложны P и Q:
То же самое мы можем проделать и для определения P ˅ Q, которое мы будем считать истинным, когда либо P, либо Q истинно, с соответствующей таблицей истинности:
Стоит отметить, что это отражает далеко не все случаи употребления «или»: если кто-то скажет, что вы можете съесть торт или съесть мороженое, этот человек вряд ли обрадуется, если вы съедите и то, и другое. Поскольку символ ˅ включает случай, когда истинны и P, и Q, его называют включающим «или», в отличие от исключающего «или» в случае с тортом или мороженым.
Чтобы завершить построение нашей логики, мы определим еще три особых символа. Мы представим выражение «не P» символом ¬P и следующей таблицей истинности:
Из неё следует, что ¬P истинно, когда P ложно, и ложно, когда P истинно, что отражает интуитивную связь между такими утверждениями, как «Ночью шел дождь» и «Ночью дождя не было». Далее, мы будем записывать высказывания вида «Если P, то Q» как P → Q, со следующей таблицей истинности:
И снова это не совсем совпадает с тем, как мы используем союз «если»: P → Q истинно всегда, когда P ложно, что кажется несколько контринтуитивным. Это следует понимать так: когда кто-то говорит «Если ночью шел дождь, то трава мокрая», он делает сильное утверждение, что мы не должны столкнуться с ситуацией, когда дождь прошел, а трава сухая, но ничего не говорит о том, что произойдет с травой, если дождя не было. Другие случаи употребления союза «если» можно передать с помощью логического символа «тогда и только тогда, когда» — мы записываем «P тогда и только тогда, когда Q» как P ↔ Q, со следующей таблицей истинности:
в которой P и Q должны быть либо оба истинными, либо оба ложными. Когда мы говорим что-то вроде «Я пойду на вечеринку, если пойдешь ты», это «если» на самом деле означает «тогда и только тогда»: либо мы оба пойдем, либо никто.
Из этих простых элементов мы можем строить более сложные высказывания. Исходя из нашего определения ˄, высказывание (P ˅ Q) ˄ R истинно, когда истинно P ˅ Q и истинно R. Это более сложное высказывание дает более крупную таблицу истинности:
Когда у нас было всего два базовых высказывания — P и Q — наша таблица истинности состояла всего из четырех строк. Когда мы добавляем третье — R — получаем восемь строк. Каждое базовое высказывание удваивает размер нашей таблицы истинности. С двумя или тремя базовыми высказываниями мы всё ещё можем без труда всё записать, но подумайте, сколько фактов вы знаете — сколько базовых высказываний о реальном мире могут быть истинными или ложными. Удвоение размера таблицы истинности для каждого факта быстро делает её громоздкой и неуправляемой.
Таблицы истинности также можно использовать для проверки правильности логических рассуждений. Например, допустим, что и P → Q, и P истинны. Следует ли из этого, что Q также истинно? Вот снова таблица истинности для P → Q, с пронумерованными строками:
Каждая строка соответствует возможному миру, в котором мы можем находиться: в одном из них и P, и Q истинны, в другом P истинно, а Q ложно, и так далее. Если P → Q истинно, это сужает круг возможных миров до номеров 1, 3 или 4. Если P также истинно, то остается только мир номер 1. В этом мире Q истинно. Таким образом, всегда, когда и P → Q, и P истинны, Q также должно быть истинным, поскольку не существует возможных миров, где и P → Q, и P истинны, а Q ложно.
Это не кажется гигантским шагом для каких-то конкретных высказываний P и Q, но тот же анализ работает для любых высказываний, связанных таким же образом: если R → S и R истинны, то и S должно быть истинным. Мы показали, что определенный тип умозаключения, основанный на отношении между высказываниями, является логически верным. Мы можем записать это так: P → Q P Q
Горизонтальная черта отделяет посылки от заключения, подобно слову «Следовательно» в наших силлогизмах. Это рассуждение показывает, что всякий раз, когда нам известно P → Q и P, мы можем сделать вывод Q. Это известная в логике форма умозаключения, называемая modus ponens.
Не всякое рассуждение является правильным. Например, предположим, что P → Q и Q истинны. Следует ли из этого, что P истинно? Прежде чем перевернуть страницу, стоит проделать это в качестве упражнения: посмотрите на таблицу истинности для P → Q и проверьте, в каких мирах мы можем находиться, если Q истинно.
Ответ — нет. Существуют два возможных мира, совместимых с истинностью P → Q и Q (номера 1 и 3). В одном из этих миров P истинно, а в другом P ложно. Таким образом, мы не знаем наверняка, что P истинно — это рассуждение неверно. На самом деле такая форма рассуждения представляет собой известную логическую ошибку, называемую утверждением консеквента.
Анализируя таблицы истинности, мы можем показать, что существует множество других простых и при этом правильных рассуждений. Вот несколько примеров:
P∧Q P Q P P∨Q P→Q ¬Q ¬P
Если вы мне не верите, вы знаете, как это проверить! Такие простые рассуждения называются правилами вывода, поскольку они указывают нам, когда мы можем сделать логически верное умозаключение.
Теперь мы готовы увидеть, что делает логику особенной.
Основная проблема, с которой сталкивается любая разумная система, заключается в том, чтобы знать, во что верить. Какие факты о мире, в котором мы живем, истинны? Если мы знаем, что некоторые факты истинны, есть ли другие факты, в которые нам также следует верить? Логика дает способ ответить на этот вопрос. Что крайне важно, она позволяет делать это без необходимости проделывать тяжелую работу по обдумыванию огромного количества возможных миров, в которых мы могли бы жить.
Как логика это делает? Путем построения сложных рассуждений из простых элементов, правильность которых нам уже известна. Например, представим, что нам известна истинность двух утверждений о нашем мире:
(P∨Q)→R P∧S
Действительно ли R истинно? Мы могли бы выписать таблицу истинности, рассмотреть все шестнадцать возможных миров, выяснить, какие из них согласуются с известными нам истинными утверждениями, и проверить, истинно ли R во всех этих мирах. Но мы можем избежать всего этого и просто воспользоваться некоторыми из описанных выше простых рассуждений. Во-первых, мы можем сделать вывод, что P истинно, поскольку мы знаем, что P ˄ S истинно, а значит, и P, и S должны быть истинными. Затем мы можем сделать вывод, что P ˅ Q истинно, поскольку если P истинно, то и P ˅ Q должно быть истинным. Наконец, мы можем сделать вывод, что R истинно, применив modus ponens: если и (P ˅ Q) → R, и P ˅ Q истинны, то R истинно. Мы доказали, что R истинно, вообще не задумываясь о возможных мирах!
Именно это и делает логику столь захватывающей: она сводит семантический вопрос о том, что истинно в мире, в котором мы живем, к синтаксической процедуре, определяемой исключительно формулами, которые мы используем для описания этого мира. Как и представляли себе Декарт и Лейбниц, мы можем использовать формальную систему — систему манипулирования знаками, — чтобы определить, во что верить. Определение истинности или ложности утверждения сводится всего лишь к соблюдению правил игры, где фигурами служат P, Q, ˄, ˅ и так далее, а ходы заключаются в применении правил вывода, таких как modus ponens.
Сведение семантики к синтаксису — сведение поиска истины к следованию правилам — стало огромным первым шагом на пути к демистификации природы мышления. Стоит нам лишь записать верный набор правил, и мышление перестает быть чем-то, что происходит исключительно в человеческих головах, и становится процессом, который может разворачиваться на бумаге, на игровом поле или внутри машины.
Замечательное семейство Булей
Благодаря своим математическим публикациям Джордж Буль в 1849 году оставил основанную им школу в Линкольне и стал первым профессором математики в Университете Корка в Ирландии. Вскоре после публикации книги «Исследование законов мышления» он женился на Мэри Эверест, племяннице исследователя и геодезиста, в честь которого названа высочайшая вершина Земли. Несмотря на значительную разницу в возрасте — Джорджу было тридцать девять лет, а Мэри двадцать три, — их объединял общий интерес к математике и духовным поискам. Мэри помогала Джорджу в подготовке его следующей книги — «Трактат о дифференциальных уравнениях». В процессе работы она посещала его лекции по дифференциальным уравнениям в Университете Корка, став, возможно, первой женщиной в Ирландии, прослушавшей университетский курс. У супругов Буль родились пять дочерей — в период с 1856 по 1864 год.
К несчастью, этой счастливой семейной жизни суждено было продлиться недолго. Джордж Буль скончался 8 декабря 1864 года в возрасте сорока девяти лет. Большую часть жизни он боролся со слабым здоровьем, отчасти из-за переутомления, поскольку ему приходилось совмещать работу преподавателя и математика. Последней каплей стала долгая дорога домой под проливным дождем после лекции, из-за чего он подхватил тяжелую пневмонию. (Возможно, это поучительная история для рассеянных профессоров: услышав ее, один из моих студентов не на шутку забеспокоился, когда увидел, что в дождливый день я пришел на лекцию без подходящей одежды от дождя.) Джордж Буль оставил после себя внушительное наследие — не только книги и научные статьи, но и свою семью. Мэри Буль и ее дочери оказали колоссальное влияние на наше общество. Главные роли в большей части истории, которую я рассказываю в этой книге, будут играть мужчины. Существуют и яркие исключения, с которыми вы встретитесь в последующих главах. Но в целом этот дисбаланс отражает социальные, экономические и институциональные барьеры, которые долгое время мешали женщинам и другим группам полноценно заниматься наукой. Пытаясь исправить это, я буду по ходу повествования рассказывать о менее известных исторических фигурах — и замечательное семейство Булей — идеальный тому пример, — а в конце книги познакомлю вас с некоторыми современными учеными-когнитивистами.
После смерти Джорджа Мэри устроилась библиотекарем, а затем преподавателем арифметики и геометрии в Королевский колледж в Лондоне, где она вела занятия по логике своего мужа. Впоследствии она стала секретарем хирурга Джеймса Хинтона. На протяжении жизни она много писала на самые разные темы — от духовности до математического образования, состояла в переписке с Чарльзом Дарвином и упорно пыталась использовать логику Джорджа для объяснения психологических явлений (что делает ее одной из первых, кто по праву заслужил звание «математического психолога»). Ее собрание сочинений насчитывает четыре тома.
Мэри Буль также в одиночку вырастила их пятерых дочерей. Младшая, Этель, стала писательницей и создала роман «Овод», который пользовался успехом в Англии, а в России стал настоящим культурным феноменом. Она вышла замуж за Вильфрида Войнича, первооткрывателя таинственной «рукописи Войнича» — манускрипта XV века с фантастическими иллюстрациями, написанного полностью зашифрованным текстом, который до сих пор не удалось разгадать.
Следующая по старшинству, Люси, стала химиком-исследователем. Она была первой женщиной, принятой в члены Королевского института химии, и первой женщиной, получившей звание профессора в Лондонской медицинской школе для женщин.
Средняя дочь, Алисия, была блестящим математиком с невероятной интуицией. Она развила в себе способность визуализировать четырехмерное пространство и смогла классифицировать и построить физические модели правильных четырехмерных политопов (четырехмерных аналогов привычных правильных многоугольников в двумерном пространстве и многогранников — в трехмерном). В результате она сумела описать свойства этих математических объектов задолго до того, как это сделали математики, использовавшие более традиционные методы.
Вторая по старшинству дочь, Маргарет, вышла замуж за художника Эдварда Ингрэма Тейлора. Их старший сын, Джеффри, стал физиком-математиком и работал над Манхэттенским проектом. Он был посвящен в рыцари и удостоен медали Копли от Королевского общества — ровно через сто лет после того, как его дед получил свою собственную медаль.
Наконец, старшая дочь, Мэри Эллен, вышла замуж за Чарльза Говарда Хинтона, сына Джеймса Хинтона. Чарльз был математиком, увлеченным четвертым измерением: он разработал новаторские методы визуализации высших измерений и научил этому Алисию. Семья Хинтонов переехала в США, где Чарльз стал профессором в Принстоне (а также изобретателем пушки для подачи мячей, работавшей на порохе, которую использовала бейсбольная команда). Среди их потомков — Джоан Хинтон, физик-ядерщик и одна из немногих женщин, участвовавших в Манхэттенском проекте. И это далеко не последнее, что мы услышим о Хинтонах…
Джордж Буль коренным образом изменил наше понимание логики, показав, как разум можно описать с помощью формальной системы. Но потребовалось еще сто лет, прежде чем логику удалось протестировать в качестве теории человеческого мышления — когда психологи и лингвисты начали использовать идеи, лежащие в основе формальных систем, для объяснения человеческого поведения.