Старый парадокс, над которым размышляли философы с середины IV века до н. э. и который обсуждается до сих пор, — это парадокс лжеца. Его древнейшее приписывание — Евбулиду Милетскому, который спросил: «Человек говорит, что он лжет; истинно или ложно то, что он говорит?» Как бы ни анализировать это предложение, возникает противоречие. Тот же парадокс встречается в Новом Завете. Св. Павел в своем послании к Титу, первому епископу Крита, писал: «Один из них самих, даже пророк их собственный, сказал: критяне всегда лжецы». Неясно, осознавал ли Павел проблему в своем предложении, но когда допускается самореференция, парадокс почти неизбежен.

Одним из важнейших инструментов рассуждения, которыми мы обладаем, является сорит. На языке логиков сорит — это цепь связанных силлогизмов: предикат одного утверждения становится субъектом следующего утверждения. Приведенные ниже утверждения образуют типичный пример сорита:

все вороны — птицы;

все птицы — животные;

всем животным для выживания нужна вода.

Следуя по цепочке, мы должны логически заключить: всем воронам для выживания нужна вода.

Сориты важны, потому что они позволяют нам делать выводы, не охватывая все возможные случаи в эксперименте. В приведенном выше примере нам не нужно лишать ворон воды, чтобы знать, что это приведет к их смерти от жажды. Но иногда вывод сорита может быть абсурдным: мы имеем парадокс сорита. Например, если мы согласны с тем, что добавление одной песчинки к другой песчинке не создает кучу песка, и учитывая, что одна песчинка сама по себе не составляет кучу, то мы должны заключить, что никакое количество песка не может создать кучу. И все же мы видим кучи песка. Источник таких парадоксов лежит в намеренной неопределенности[9] таких слов, как «куча». Другой парадокс — парадокс Тесея — основывается на неопределенности слова «тот же самый»: если вы восстанавливаете деревянный корабль, заменяя каждую доску, является ли он тем же самым кораблем? Политики, конечно, регулярно пользуются этими языковыми уловками.

Помимо соритов, мы все постоянно используем индукцию — вывод обобщений из конкретных случаев при рассуждении. Например, всякий раз, когда мы видим, как что-то падает, оно падает вниз: используя индукцию, мы предлагаем общий закон, а именно, что когда вещи падают, они всегда падают вниз, а не вверх. Индукция — настолько полезный метод, что все, что ставит его под сомнение, вызывает беспокойство. Рассмотрим парадокс ворона Гемпеля.[10] Предположим, орнитолог после многих лет полевых наблюдений видел сотни черных воронов. Доказательств достаточно, чтобы она предложила гипотезу: «все вороны черные». Это стандартный процесс научной индукции. Каждый раз, когда орнитолог видит черного ворона, это небольшое свидетельство в пользу ее гипотезы. Теперь утверждение «все вороны черные» логически эквивалентно утверждению «все не-черные вещи — не-вороны». Если орнитолог видит кусок белого мела, то это наблюдение является небольшим свидетельством в пользу гипотезы «все не-черные вещи — не-вороны», но, следовательно, это должно быть свидетельством ее утверждения о том, что вороны черные. Почему наблюдение, касающееся мела, должно быть свидетельством гипотезы о птицах? Означает ли это, что орнитологи могут проводить ценную работу, сидя дома перед телевизором, не утруждая себя наблюдением за птицами на природе?

Другой логический парадокс — парадокс неожиданной казни, в котором судья говорит осужденному: «Вас повесят на следующей неделе, но, чтобы избавить вас от душевных мук, день исполнения приговора станет сюрпризом». Заключенный рассуждает, что палач не может ждать до пятницы, чтобы исполнить приказ судьи: такая долгая задержка означает, что все будут знать, что казнь состоится в этот день — казнь не будет сюрпризом. Значит, пятница исключается. Но если пятница исключена, то по той же логике исключается и четверг. То же самое касается среды, вторника и понедельника. Заключенный, с огромным облегчением, приходит к выводу, что приговор не может быть приведен в исполнение. Тем не менее, он совершенно удивлен, когда палач ведет его на виселицу в четверг! Этот аргумент, который также известен под названиями «парадокс неожиданного экзамена» и «парадокс предсказания», породил огромную литературу.[11]