Пифагор (570–490 д.н. э)
Пифагор – одна из самых загадочных фигур в истории математики и философии. Сам термин «философия» предложен им. Он первым создал научную школу, но не оставил ни одного сочинения, поскольку сам ничего не писал, а все его поучения передавались устно. Все математические открытия, полученные в его школе, было принято приписывать ему и скрывать от людей, не принадлежащих к школе. Платон считался магом, способным летать, находиться одновременно в разных местах, исцелять больных заговорами, разговаривать с животными и даже с реками, его бедро было золотым и т. п. (подбор таких баек типичен для шаманской практики). Гераклит (младший современник Пифагора) считал его жуликом и плагиатором, наворовавшим свое «многознание», но не имевшим мудрости и дурачившим простаков. Правда, стоит заметить, что Гераклит ругал всех, о ком писал, если они не признавали его собственного учения, а оно было предметом всеобщих насмешек. Указанный характер пифагорейской традиции привел к тому, что невозможно решить, что из открытий принадлежит самому Пифагору, а что его последователям. (Уже Аристотель, излагая учение пифагорейцев, не упоминал имени самого Пифагора!) По мере отдаления от времени Пифагора количество источников, содержащих сведения о нем, возрастает, но их достоверность экспоненциально убывает.
Пифагор родился на расположенном в восточной части Эгейского моря острове Самос около 570 года до н. э. в зажиточной купеческой семье. Отец отдал его на обучение жрецам, так что уже с юного возраста Пифагор погрузился в тайны богослужения. Биография Пифагора содержит множество легенд и, в частности, содержат противоречивые сведения о путешествиях молодого Пифагора в разные страны, где он изучил восточные математику и астрономию, а также познакомился с негреческими религиозными культами. Так, согласно одной из легенд, приводимых в книге древнегреческого автора Ямвлиха (3–4 вв.) «О Пифагоровой жизни», Пифагор в возрасте восемнадцати лет, движимый жаждой познания, тайком приезжает в Милет и встречается там с мудрецом Фалесом, который убеждает его плыть в Египет и пройти обучение у местных жрецов. Следующие 22 года Пифагор проводит в Египте, познавая местные учения и получая посвящение в тайные мистерии. После вторжения вавилонского царя Камбиса в Египет в 525 г. д. н. э. Пифагор оказывается в Вавилоне, где изучает арифметику, музыку и тайные науки халдейских магов. Спустя 12 лет уже в довольно взрослом возрасте – 56-ти лет – он возвращается домой на Самос. Однако родина встретила его неласково, и он эмигрирует в Кротон – греческую колонию на юге будущей Италии. Здесь он начинает проповедь своих взглядов, читая лекции не только старейшинам, но остальному народу полиса (даже отдельные лекции для женщин!). С течением времени вокруг него сформировалась группа сторонников, в основном представители аристократической молодёжи. Их организация называлась «школой», но по своей сути напоминала монастырь, а поскольку не открывала тайн посторонним, а вступающие в неё должны были пять лет провести в молчании, лишь слушая то, что говорит Пифагор, то она немного напоминала будущую сицилийскую мафию. Адепты Пифагора клялись в том, что будут сохранять сообщенные им тайны, стремиться к познанию истины, соблюдать религиозные обряды, аскетический образ жизни, изучать философию. Распорядок их дня был чётко регламентирован и включал в себя совместные трапезы, прогулки, и обучение – все их имущество становилось общим. Секретность школы была многоуровневой: все адепты разбивались на две группы: акусматиков (от акусма – слушать) и математиков, с которыми Пифагор общался лично. Акусматики могли наблюдать только тень Пифагора на скрывающей его ширме. Особо верным математикам после 10 лет обучения сообщались особые тайны, например, о существовании додекаэдра – пятого правильного многогранника, для которого не было соответствующей стихии в пифагорейской нумерологии (тетраэдр соответствовал огню, гексаэдр – земле, октаэдр – воздуху, икосаэдр – воде). Учение Пифагора было секретным и сохранялось в тайне вплоть до времени Филолая, который первым изложил его в своей книге (последняя треть 5 в. до н. э.). Существование тайного общества пифагорейцев вызывало растущее недовольство жителей Кротона, чем воспользовались его враги, которые подожгли здание, где собрались пифагорейцы. Пожар уничтожил почти их всех. Существует несколько противоречащих друг другу легенд относительно дальнейшей судьбы Пифагора. Большинство из них завершается тем, что спасшийся от пожара философ вскоре умирает в храме муз в Метапонте (полис, соседний с Кротоном). Спасшие пифагорейцы разнесли свое учение по всем полисам Великой Греции (Апеннинский полуостров и Сицилия), и оно просуществовало до 4 века до н. э. пока не было поглощено платонизмом. Про семью Пифагора и его детей достоверно известно только, что она существовала.
Несколько слов о центральной идее религиозного учения Пифагора – метемпсихозе (вере в то, что душа бессмертна и после смерти переносится в новое тело). Перевоплощение, согласно учению Пифагора, могло происходить в любое тело, как человека, так и животного. Это объясняло как насаждаемое им вегетарианство, так и странные пищевые запреты (знаменитое отрицание бобовых культур). Вера в метемпсихоз была относительно новой для греческой культуры, хотя её также провозглашали орфики (сторонники мистического учения, связанного с именем мифического поэта и певца Орфея). Если орфики учили о цикле тяжких воплощений, которых можно было избежать при помощи их ритуалов, то Пифагор учил о вечном, нейтральном метемпсихозе, против которого любые действия бесполезны.
Самый знаменитый математический результат Пифагора – известная всем школьникам «теорема Пифагора» о связи квадратов сторон прямоугольного треугольника, могла быть им только «переоткрыта», поскольку еще древние вавилонские клинописные таблички 18 века до н. э. содержат примеры её использования. «Пифагоры таблицы» (таблицы умножения чисел, заучиваемые поколениями школьников) были известны в Вавилоне еще 4000 лет назад (правда, они были основаны на шестидесятеричной системе счисления). С именем Пифагора обычно связывают систематическое использование доказательств, построение некоторых правильных многогранников и многоугольников, создание учения о подобии, учения о числах (чётных и нечётных, простых и составных, средних арифметических, средних геометрических и средних гармонических). Согласно легенде, Пифагор первым обнаружил, что музыкальные ноты можно перевести в математические соотношения. Из эстетических соображений он утверждал, что Земля имеет форму шара, как самого совершенного тела. Утверждение пифагорейцев о существовании только пяти правильных многогранников стало вдохновляющим примером классификационной теоремы. Со временем поиск таких теорем для других математических объектов (поверхностей, простых групп, алгебр, …) станет центральным направлением математических исследований.
Пифагорейцы превратили математику из искусства вычислений и набора удачных приемов решения арифметических и геометрических задач в математическую науку – стали рассматривать числа и числовые отношения как ключ к пониманию Мироустройства. Школа пифагорейцев, лишенная запретов на распространение добытого знания, стала прообразом платоновской Академии, на дверях которой было начертано: «Да не войдёт не знающий геометрии!». Знаменитая фраза Галилея: «Книга природы написана на языке математики», родившая через 2000 лет после Пифагора, имеет отчетливый пифагорейский привкус.
Евклид (325–265) до н. э.
Евклид (дословный перевод – «добрая слава») – древнегреческий математик, геометр, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике – знаменитых «Начал», которые в течение более чем 2000 лет оставались базовым учебником по геометрии. В этот учебник, Евклид включил практически все, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино. Биографические сведения о самом Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в 3 веке до н. э. Существует даже версия, что речь идёт о коллективном псевдониме группы александрийских математиков. «Начала» состоят из 13 отдельных книг и содержат изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел – они подводят итог всему предшествующему развитию древнегреческой математики. Геометрия в «Началах» строится аксиоматически, то есть все утверждения последовательно выводятся одно за другим по цепочке, опирающейся на небольшой набор начальных утверждений (аксиом), принимаемых без доказательства. Такой подход стал образцом математического трактата, строго и систематически излагающего основные положения той или иной математической науки.
Евклиду приписывается еще ряд работ по астрономии, оптике и музыке, часть из них сохранилась, но большинство известно только в кратком изложении других авторов. Такого значения, как «Начала», они не имели. С Евклида начинается характерное для дальнейшего осознания ценности математики самой по себе. В этом смысле характерен приводимый древними математиками анекдот об Евклиде: «Приступив к изучению геометрии и разобрав первую теорему, один юноша спросил у Евклида: „А какая мне будет выгода от этой науки?“. Евклид подозвал раба и сказал: „Дай ему три обола (мелкая серебряная монета), раз он хочет извлекать прибыль из учёбы“». И еще один афоризм, приписываемый Евклиду: «Царь Птолемей, устрашенный объемом учебника Евклида, спросил его, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели „Начала“; а тот ответил, что нет царского пути к геометрии».
Диофант (200–284)
О жизни Диофанта Александрийского, часто именуемого «отцом алгебры», практически ничего не известно. Даты его жизни устанавливаются косвенным образом. Основное произведение Диофанта – «Арифметика» в 13 книгах. Сохранились только шесть первых книг, еще четыре книги найдены в арабском переводе только в 20 веке, но их принадлежность Диофанту оспаривается. Большая часть труда – умело подобранные для иллюстрации общихметодов задачи с решениями (их сохранилось около трех сотен). Главная проблематика, которой посвящен учебник Диофанта, – поиск положительных рациональных решений неопределённых уравнений. Современные «диофантовы уравнения» более жесткие – рассматриваются только целочисленные решения. В «Арифметике» введены обозначения, близкие к современным. Сформулированы правила приведения подобных членов и правила прибавления и вычитания к обеим частям уравнения одного и того же числа или выражения. Введено правило знаков: «минус на плюс даёт минус», «минус на минус даёт плюс». В 10 веке «Арифметика» была переведена на арабский язык и арабские математики (аль-Хорезми, Абу Камил и др.) продолжили исследования Диофанта. В арабском переводе у аль-Хорезми все эти правила получили название «алгебры и алмукабалы» (отсюда и название математической науки – алгебра). Всё это формулировалось в общем виде, без отсылки к геометрическим истолкованиям. Диофант исследует системы уравнений второго порядка от двух неизвестных; он указывает метод нахождения других решений, если одно уже известно. Затем аналогичные методы он применяет к уравнениям высших степеней. В Европе «Арифметика» стала известна после появления переводов её с арабского на латинский (1572, 1621). Методы Диофанта оказали огромное влияние на Франсуа Виета и Пьера Ферма. Известно, что знаменитая «Великая теорема Ферма» возникла у него при чтении латинского перевода (1621 г.) «Арифметики» Диофанта. Он пришёл к выводу, что одно из уравнений, похожих на рассмотренные Диофантом, не имеет решений в целых числах, и заметил на полях, что он нашёл «поистине чудесное доказательство этой теоремы… однако поля книги слишком узки, чтобы его привести».