Истоки программы геометризации физики теряются в философских построениях математиков 19-ого века. Обычно предтечей этой программы считается Клиффорд, который в 1870 году предположил, что «изменение кривизны пространства и есть то, что происходит в явлении, которое мы называем движением материи». В выдвинутой Клиффордом программе была поставлена задача представить всю физику как некое проявление геометрии обычного пространства, например, частицы он предлагал рассматривать как области сильного искривления. Спустя 100 лет Джон Уилер довел идею Клиффорда до предела, заявив: «В мире нет ничего, кроме пустого искривлённого пространства. Материя, заряд, электромагнетизм и другие поля являются лишь проявлением искривления пространства. Физика – есть геометрия». На чем же базировалась такая уверенность патриарха Физики, работавшего вместе с Бором, Ферми, Вигнером, награжденным множеством научных премий и медалей, имевшим таких учеников, как Фейнман, Торн, Эверетт? Это был, конечно, многолетний личный опыт успешной работы Уилера в области гравитации и релятивистской астрофизики, но прежде всего это была высоко ценимая им геометрическая красота Общей теории относительности Эйнштейна.
Сам Эйнштейн, давший первую реализацию некоторым мечтам Клиффорда, был поначалу настроен скептически к геометрическому подходу. Ознакомившись с концепцией Мира Минковского, он еще в 1909 расценивал её как «излишнюю ученость», а усвоение её аппарата «в математическом отношении предъявляет излишне большие требования». Однако очень скоро скепсис сменился одобрением – уже через год он пишет: «Рассмотрение формальных соотношений в четырех измерениях представляется мне таким же достижением, как введение комплексных функций в гидромеханику и электростатику». Изучив в начале 1913 года тензорный анализ под руководством Гроссмана (соавтора первого варианта ОТО) и в соперничестве с Гильбертом получив в 1915 году правильный вариант уравнений ОТО, он становится одним из основателей современной парадигмы геометризации. В 1930 году Эйнштейн так формулирует программу-максимум геометрической парадигмы: «Мы приходим к странному выводу: сейчас нам начинает казаться, что первичную роль играет пространство; материя же должна быть получена из пространства, так сказать, на следующем этапе. Пространство поглощает материю. Мы всегда рассматривали материю первичной, а пространство вторичным. Пространство, образно говоря, берет сейчас реванш и „съедает“ материю. Однако все это пока остается лишь сокровенной мечтой». Реальный результат был пока только один – гравитационное взаимодействие было геометризировано.
После геометризации гравитационного поля встала задача – геометризация другого фундаментального физического взаимодействия – электромагнитного. Первый важный шаг в деле построения единой геометрической теории гравитации и электромагнетизма был сделан в 1918 году Германом Вейлем. Он предложил обобщение римановой геометрии ОТО, введя в геометрию пространства-времени дополнительную геометрическую величину – так называемую вейлевскую неметричность, задаваемую вектором, пропорциональным электромагнитному потенциалу. Вейля предположил, что масштабы длин и модули векторов при параллельном переносе в близкую точку изменяются под влиянием электромагнитного поля (в дальнейшем эта идея была использована в теории калибровочных полей). Эддингтон в 1921 году обобщил геометрию Вейля, введя неметричность общего вида, заменив вектор Вейля на тензор третьего ранга. В 1922 г. Картан ввел в структуру пространства-времени новый элемент – кручение, причем тензор кручения порождался собственным моментом импульса материи, то есть спином (теория Эйнштейна-Картана). Таким образом, благодаря работам Эйнштейна, Вейля, Эддингтона, Картана было сконструировано 33 = 27 различных аффинно-метрических пространств, в которых, кроме метрики, определяющей риманову кривизну, можно было вводить в разных комбинациях неметричность и кручение.
Другим качественно новым и успешным шагом геометрического объединения гравитационного и электромагнитного взаимодействий была идея Теодора Калуцы предложившего в 1919 году 5-мерный геометрический вариант теории объединения. В 1926 году Оскар Клейн предложил свой вариант 5-мерной теории с цилиндрической компактификацией пятого измерения. Поэтому в дальнейшем многомерные (n > 4) геометрические теории объединения взаимодействий стали называть теориями типа Калуцы— Клейна. Теория 5-го измерения, то затухая, то вновь входя в моду, в настоящее время органично вошла в теорию струн.
Перечислим основные достижения 5-ти мерной теории Калуцы-Клейна, объясняющие её 100 —летнюю живучесть.
Мир, согласно этой теории, надо описывать в рамках 5-мерного пространственно-временного многообразия с метрическим интервалом:
dS2 = gABdxAdxB (A, B = 1, 2, 3, 4, 5). (30)
Здесь 5-я координата х5 выбирается пространственно-подобной для того, чтобы плотность энергии электромагнитного поля была положительно определённой. Из 15-ти компонент метрического тензора gAB строятся 10 компонент 4-мерного метрического тензора
gik (i, k = 1, 2, 3, 4). (31)
описывающего гравитацию, и 4 компоненты электромагнитного потенциала Ak, пропорциональные четырем метрическим компонентам gk5. В качестве уравнений единого поля взяты 5-мерные вакуумные уравнения Эйнштейна:
R AB = 0 (32)
а в качестве уравнений движения материальных частиц берутся уравнения геодезических в 5-мерном пространстве-времени. При этом на 5-мерную метрику накладывалось условие цилиндричности по 5-й координате, то есть постулируется её независимость от этой координаты.
Имеется четыре красивых достижений такой теории, именуемых «чудесами теории Калуцы»:
1. Система 5-мерных уравнений Эйнштейна в пустом пространстве автоматически расщепляется на систему из 10 обычных уравнений Эйнштейна, 4 уравнений Максвелла для электромагнитного поля и одно уравнение на дополнительное скалярное поле геометрического происхождения.
2. В полученной таким образом системе 4-мерных уравнений Эйнштейна в правой части автоматически возникает тензор энергии-импульса электромагнитного поля с требуемым положительным знаком.
3. Уравнения 5-мерных геодезических линий автоматически приводятся к четырем уравнениям движения заряженной частицы в гравитационном и электромагнитных полях, а пятое уравнение принимает смысл постоянства отношения заряда частицы к её массе.
4. Калибровочные преобразования электромагнитного потенциала следуют из преобразований 5-й координаты:
вследствие наложения условия цилиндричности по 5-й координате.
В 80-ых годах 20 века Ю.С. Владимиров с учениками продолжал разрабатывать идею геометрического объединения фундаментальных физических взаимодействий за счет введения новых измерений в духе Калуцы-Клейна. Были построены 6-мерные и 7-мерные модели гравитационного и электрослабого взаимодействия и 8-мерная геометрическая модель объединения гравитационных и сильных взаимодействий с редукцией к 7-мерной геометрической модели гравиэлектрослабых взаимодействий путём «склейки» восьмого и седьмого измерений.
Однако вернемся в первую половину 20 века к моменту, когда парадигма геометризации выходила из тренда физики. Эйнштейн занимался всеми вариантами геометрии, известными в то время: аффинно-метрическими пространствами, пространствами аффинной связности, 5-ти мерными вариантами и всем остальным, пытаясь объединить гравитацию и электромагнетизм непротиворечивым образом, не впадая в противоречия с экспериментом все последние 30 лет своей жизни, причем практически в одиночку и безуспешно – все предложенные им варианты единой теории после непродолжительного периода энтузиазма забраковывались самим автором. Все ведущие физики-современники Эйнштейна уже не интересовались этой темой, в тренде была квантовая механика, которая не признавалась им в качестве окончательной непротиворечивой теории.
Эпигоны Эйнштейна, Вейля, Картана, Калуцы, Клейна не смогли удержать уровень геометрической парадигмы, и она ушла в тень – бал стали править алгебраические подходы. Геометродинамика Уилера, с её «топологическими ручками» для электрических зарядов и «пространственно-временной пеной» планковских масштабов, не привела к прорыву, так как её конструкции были больше красивыми метафорами, чем физическими объектами. Введение новых измерений Владимировым было физически необоснованным, не предсказывало новых эффектов или хотя бы «чудесных совпадений», а дополнительная свобода, которую давали новые измерения, было математическим трюком, аналогичным замене чисел матрицами, для которых доступны «невозможные» для чисел свойства.
Однако геометрическая парадигма возродилась с возникновением теории суперструн и многомерных мембран, живущих в гиперпространстве балка, но эта уже другая история, которую пишет новая парадигма – струнная.