2.1. Возраст Земли

Пойдем от обратного: мы знаем возраст Земли (около 4,6 млрд лет) и размер Эльбруса (около 5 км × 20 км × 20 км). Какую массу вещества в сутки должен склевывать воробей, чтобы пример Джинса был верен?

Объем такой горы, как Эльбрус, приблизительно равен 5 км × 20 км × 20 км = 2000 км³ = 2000 · 10⁹ м³. Возраст Земли 4,6·10⁹ лет × 365,25 сут. = 1,7 · 10¹² сут. Поделив объем на время, получим чуть более кубометра горы в сутки. Даже самому прожорливому воробью с такой задачей не справиться!

В чем же дело? Может быть, Джеймс Джинс (1877–1946) не умел считать?

Конечно, причина не в этом! Современные оценки возраста Земли, основанные на скорости распада радиоактивных изотопов, тогда, в самом начале ХХ в., еще не были получены, и Джинс пользовался иными данными. В те годы большинство ученых считало, что Солнечная система зародилась в результате близкого пролета рядом с Солнцем звезды, вырвавшей из него «клок» вещества. Характерное время между такими пролетами, как верно подсчитал сам Джинс, составляет 10¹³–10¹⁴ лет.

С другой стороны, предполагалось, что источником энергии звезд является аннигиляция вещества; согласно этим представлениям продолжительность жизни звезд составляла порядка 10¹³ лет. Кроме того, статистика параметров двойных звезд также требовала их взаимодействия в течение 10¹³–10¹⁴ лет.

Совпадение этих чисел выглядело настолько убедительным, что и возраст Земли предполагался порядка 10¹³–10¹⁴ лет. В этом случае воробью достаточно было бы склевывать не кубометр в сутки, а всего лишь доли одного литра, что для прожорливой птицы уже не выглядит фантастикой. Итак, астрофизик Джинс был прав в рамках знаний своей эпохи.

А литератор Паустовский, цитируя Джинса во второй половине ХХ в., когда возраст Земли был хорошо известен, не потрудился проверить точность оценки, а просто был заворожен ярким сравнением. Он писал: «Сравнение вносит иногда удивительную ясность в самые сложные вещи». Впрочем, и то хорошо, что писатель процитировал ученого. Значит, читал. Но когда ученый цитирует писателя, он еще и числа проверяет!

2.2. Зима – лето

Вот два самых распространенных варианта неверных ответов:

1) летом Земля ближе к Солнцу, а зимой – дальше;

2) в течение года Земля меняет наклон своей оси вращения, подставляя Солнцу то одно, то другое полушарие.

Ошибочность первого ответа сразу станет очевидной, если вспомнить, что сезоны в Северном и Южном полушариях Земли меняются в противофазе: когда в Северном полушарии лето, в Южном – зима. Значит, в смене сезонов года виновато не изменение расстояния от Солнца (иначе бы они менялись синхронно по всей Земле), а что-то другое.

Второй ответ уже ближе к правильному, поскольку в нем говорится о наклоне земной оси, но и он неверен. Ось вращения Земли не изменяет своего направления в пространстве, во всяком случае, за год. Но само существование этого наклона как раз и служит причиной смены сезонов года. Если бы земная ось была перпендикулярна плоскости земной орбиты (эклиптике), то независимо от положения Земли на орбите солнечные лучи грели бы разные участки ее поверхности с неизменной интенсивностью: максимально всегда обогревался бы экватор, а полюсов лучи света почти не достигали бы.

Отклонение земной оси на 23,4° относительно перпендикуляра к плоскости орбиты приводит к тому, что сначала полгода Земля в большей степени демонстрирует Солнцу одно свое полушарие, а затем полгода – другое. С 21 марта по 23 сентября Солнце сильнее обогревает Северное полушарие, а с 23 сентября по 21 марта – Южное. В этом и заключается причина смены сезонов.

Рис. 51. Расстояние Земли от Солнца в крайних точках ее орбиты

Разумеется, в этот процесс немного вмешивается изменение расстояния нашей планеты от Солнца: ближе всего к нему мы в первых числах января, а дальше всего – в начале июля. Но это изменение столь невелико, что заметно повлиять на смену сезонов оно не может.

Итак, правильный ответ на вопрос «Что служит причиной смены сезонов на Земле?» выглядит так: наклон оси вращения Земли, из-за которого Солнце первые полгода лучше греет одно полушарие планеты, а вторые полгода – другое.

2.3. Солнце греет

Подводный камень в этой задаче есть: до какой температуры нужно нагреть воду, чтобы она улетела в космос? Неверный подход: нагреть до 100 °C (потребуется около 420 кДж/кг) и добавить теплоту парообразования (2260 кДж/кг). При этом вода испарится в атмосферу, но не в космос.

Правильный подход: превратить воду в пар (около 2700 кДж/кг), разрушить молекулы H₂O на атомы H и O (энергия диссоциации 13 400 кДж/кг), сообщить атомам вторую космическую скорость (11,2 км/с), что эквивалентно удельной энергии 63 000 кДж/кг. Таким образом, полная энергия составит 79 100 кДж/кг. Энергия на одну молекулу: 79100 × 1000 × 0,018/6 · 10²³ = 2,4 · 10^–18 Дж, где 0,018 – молярная масса воды, 6 · 10²³ – постоянная Авогадро. Это эквивалентно температуре (у идеального газа E = 3kT/2) T = 2E/3k_B = 2 × 2,4 · 10^–18 / 3 × 1,4 · 10^–23 = 1,1 · 10⁵ K. Вспоминая, что Мировой океан в среднем нагрет примерно до 280 К, можно было бы подумать, что он вообще не испаряется в космос, но это не так. Водяной пар, поднимаясь в верхние слои атмосферы, расщепляется солнечным ультрафиолетом на водород и кислород. Легкие атомы водорода постепенно покидают атмосферу Земли со скоростью около 3 кг/с. Но так Мировой океан испарится лишь за миллиард лет. Вернемся к условию нашей задачи.

Масса воды в Мировом океане M = 1,34 · 10²¹ кг. Ее средняя температура немногим выше 0 °C. Воду нужно нагреть до 100 °C, превратить в пар и запустить в космос, то есть сообщить молекулам вторую космическую скорость (V_II = 11,2 км/с).

Удельная теплоемкость воды равна e₁ = 4,2 · 10³ Дж/кг/°C. Удельная теплота парообразования равна e₂ = 2,3 · 10⁶ Дж/кг. Удельная энергия запуска в космос равна e₃ = V_II²/2 = 6,3 · 10⁷ Дж/кг. Диссоциацию не учитываем, поскольку она не необходима.

Следовательно, для испарения Мирового океана в космос требуется энергия E = M(e₁ + e₂ + e₃) = 1,34 · 10²¹ кг × (4,2 · 10³ + 2,3 · 10^{6 +} + 6,3 · 10⁷) Дж/кг = 8,8 · 10²⁸ Дж. Светимость Солнца L = 3,8 · 10²⁶ Дж. Поэтому время испарения в космос Мирового океана составило бы t = E/L = 230 c, то есть около 4 минут.

Разумеется, это формальное решение, поскольку за несколько минут солнечное тепло смогло бы испарить воду лишь на одном полушарии Земли. Кроме того, мы не учитываем конечную теплопередачу, изменение прозрачности атмосферы Земли вследствие резкого увеличения содержания водяного пара и тот факт, что даже со скоростью 11,2 км/с молекулы воды просто не успеют покинуть Землю за 4 минуты.

Чтобы оценить время полного разрушения планеты, достаточно в качестве значения M взять массу Земли (6,0 · 10²⁴ кг). Получим 12 суток. Это оценка сверху, то есть максимально необходимое время, поскольку по мере испарения планеты будет уменьшаться вторая космическая скорость на ее поверхности и необходимая для испарения энергия тоже будет уменьшаться.

2.4. Лестница до неба

Да, можно. Если лестница будет жесткая и установлена на экваторе, то на высоте 35 786 км вы ощутите невесомость, то есть станете свободно двигаться по геостационарной орбите. А забираясь дальше, почувствуете, что вас тянет от Земли и вы как будто бы двигаетесь головой вниз. Поэтому удобнее будет повернуться головой к Земле и продолжать удаляться от Земли, ощущая, что вы как будто бы спускаетесь. Достигнув высоты 46 816 км, смело отпускайте руки и улетайте в пространство – у вас вторая космическая скорость!

Решение находим легко, вспомнив, что на экваторе скорость вращения Земли – 0,465 км/с, а вторая космическая скорость – 11,2 км/с. Следовательно, на расстоянии R от центра Земли скорость вращения лестницы будет 0,465 (R/R_З) км/с, а вторая космическая скорость – 11,2 (R_З/R)^1/2 км/с. Из равенства

0,465(R/R_З) = 11,2(R_З/R)^1/2

находим выражение для R:

(R/R_З)^3/2 = 11,2/0,465 = 24,086

и само значение R:

R = 24,086^2/3R_З = 8,34 × 6378 км = 53 193 км.

Следовательно, высота лестницы составит R – R_З = 46 815 км.

2.5. Комфортный климат

Следует запустить спутник с большим отражателем солнечного света в точку Лагранжа L2 системы Солнце – Земля. Эта точка постоянно находится в антисолнечном направлении относительно Земли. Поэтому к спутнику всегда обращено ее зимнее полушарие, которое он и будет подогревать.

Чтобы сама Земля не закрывала собой Солнце от спутника (хотя и не полностью, но значительную его часть), он должен циркулировать по гало-орбите вокруг точки L2. Именно так движутся астрономические спутники, работающие в районе точки L2 и использующие для выработки электричества солнечные батареи.

Расстояние точки Лагранжа L2 от Земли около 1,5 млн км. Оцените размер размещенного в этой точке плоского зеркала, в котором земляне смогут увидеть отражение полного солнечного диска. Угловой диаметр Солнца на земном небосводе составляет 0,5°.

2.6. Глобальное потепление

Вода, стекающая с ледников в полярных областях Земли, равномерно распределяется по Мировому океану, следовательно, ее масса перемещается от полюсов к экватору. В результате увеличивается момент инерции Земли и (в силу закона сохранения момента импульса) уменьшается угловая скорость вращения планеты. Это одна из причин, по которым увеличивается продолжительность суток.

2.7. Космическая ракета

После процитированной в условии задачи фразы Ольга Николаевна продолжает: «2 января 1959 года ракета с алым вымпелом СССР вышла из зоны тяготения Земли и сделалась равноправным членом Солнечной системы – новой искусственной, созданной советскими людьми планетой».

Да, так оно и было. Запущенный в сторону Луны аппарат не попал в цель, но, пройдя мимо Луны, вышел на околосолнечную орбиту. Поэтому его название изменили: запущенный как «Луна–1», он стал первой искусственной планетой «Мечта». Аппарат и сейчас обращается вокруг Солнца – между орбитами Земли и Марса.

Рис. 52. В таких подстаканниках в начале 1960-х проводники разносили чай в поездах

В том же 1959 году следующий аппарат – «Луна–2» – достиг поверхности Луны. И в том же году «Луна–3» сфотографировала обратную сторону спутника Земли. Только эти аппараты тогда и называли космическими ракетами и даже изобразили на подстаканниках, в которых подавали чай во всех поездах.

2.8. «Мы толкаем ее сапогами – от себя, от себя!»

Вращение Земли немного замедлилось. Причина – момент силы, возникший от давления ног путника на Землю. Этот момент силы уменьшает момент импульса Земли.

2.9. «Просто Землю вращают, куда захотят»

Скорость вращения не изменилась, но возникла небольшая прецессия – конусообразное движение оси вращения Земли. Разумеется, оно значительно меньше лунно-солнечной прецессии.

2.10. Прыжок в невесомости

Силы тяжести в пустом цилиндре, конечно, нет. Но есть центробежная сила. Вместе со стенкой цилиндра вращается и воздух в нем (трение воздуха о стенку). А значит, и человек будет вращаться вокруг оси цилиндра (трение человека о воздух). Вот эта сила и вернет подпрыгнувшего к поверхности цилиндра человека.

2.11. Повис в невесомости

Если воздуха нет, космонавт при любом начальном положении останется неподвижен. Если воздух есть, космонавт на оси цилиндра тоже будет неподвижен (хотя станет медленно вращаться вокруг своей оси). Находясь не на оси, космонавт под напором воздуха (то есть ветра; см. решение задачи 2.10) начнет двигаться вокруг оси цилиндра, и центробежная сила прижмет его к стенке цилиндра.

2.12. Солнце греет Землю

Мощность солнечного излучения равномерно распределяется по поверхности сферы, имеющей радиус земной орбиты D = 1 а.е. = 1,5 · 10¹¹ м. Земля радиусом R = 6371 км в проекции на эту сферу имеет площадь πR². Отношение (α) площадей сферы и проекции на нее Земли составляет α = πR²/4πD² = 0,25 × (R/D)² = 0,25 × (6371 км / 1,5 · 10¹¹ м)² = 4,5 · 10^–10 = 1/2,2 млрд. То есть Земля получает от Солнца примерно одну двухмиллиардную часть его излучения.

Много ли это?

Светимость (мощность) Солнца L = 3,85 · 10²⁶ Вт.

Альбедо (коэффициент отражения) Земли A = 0,37.

Следовательно, Земля получает от Солнца αL(1 – A) = 1,1 · 10¹⁷ Вт.

А современное общемировое потребление энергии – около 2 · 10¹³ Вт.

Таким образом, Земля получает от Солнца в 5000 раз больше энергии, чем потребляет все человечество! А безвозвратно пропадает, освещая Галактику, еще в 2 млрд раз больше. И так будет продолжаться 5 млрд лет, если мы не построим сферу Дайсона.

2.13. Земля растет

Ответ – около 40 см. Посчитаем: (400 т × 365 сут. × 4,6 · 10⁹ лет)/ /(3,5 т/м³ × 4π × (6371 км)²) = 37 см. Даже если принять максимально большую из опубликованных оценку потока метеоритного вещества на Землю (1000 т/сут.), то за всю свою историю она «потолстела» бы не более чем на метр.

2.14. Растет или худеет?

Ежесуточная потеря водорода составляет около 260 т (3 кг/с × 86 400 с/сут.). Учитывая невысокую точность потери и прибыли массы, можно заключить, что баланс практически нулевой – Земля заметно не увеличивается и не уменьшается.

2.15. Зона жизни

Как мы уже знаем (задача 2.12), планета радиусом R перехватывает долю α солнечного тепла:

α = πR²/4πD² = R²/4D² = (R/2D)²,

где D – расстояние планеты от Солнца. Если планета черная, то на нее падает мощность αL, где L = 3,85 · 10²⁶ Вт – светимость Солнца. А излучает черная планета по закону Стефана – Больцмана (σ = 5,7 · 10^–8 Вт/м²/К⁴):

W = 4πR²σT⁴.

Из уравнения W = αL получим температуру планеты:

T = [L(R/2D)²/4πR² σ]^1/4 = (L/16πσD²)^1/4.

Для D = 1 а.е. (150 000 000 км) получим T = 278 K = 5 °C. Для других расстояний T = 278 K (1 а.е./D)^1/2. А с учетом альбедо планета должна быть еще холоднее в (1 – А)^1/4 раз: температура Земли должна составлять 278 К (1 – 0,37)^1/4 = 248 К = –25 °C. Действительно, постоянная температура Луны в экваториальных широтах под грунтом именно такая! А средняя температура Земли на самом деле +15 °C. Спасибо парниковому эффекту нашей атмосферы, который добавляет почти 40 °C и поддерживает подходящие для жизни условия[64].

2.16. Забавное происшествие

Четкий отпечаток тени от вертикального забора указывает, что тень не перемещалась по азимуту, следовательно, Солнце двигалось вертикально, изменяя свою высоту, но не азимут. А это возможно только на экваторе в дни весеннего или осеннего равноденствия. В начале истории тень не достает до мальчиков, значит, Cолнце стоит высоко; но позже тень их накрыла. Следовательно, дело было после полудня, ближе к вечеру.

Астрономические обстоятельства рисунков мы установили. А вот логика работы художника остается загадкой: в начале истории (верхний рисунок) мальчики лежат параллельно друг другу и перпендикулярно движению тени, а значит, и загореть должны были одинаково. Однако в результате загар на одном мальчике протянулся от правого плеча к левому чуть вниз, а у второго – почти вертикально вверх. Художественный взгляд на жизнь не всегда согласуется с действительностью.

2.17. Падают кометы

Верные ответы: 1) либрация Луны; 4) оседание метеорной пыли на поверхность планет; 5) метеорный поток.