Вскипятите его, остудите во льду
И немножко припудрите мелом,
Но одно безусловно имейте в виду:
Не нарушить симметрию в целом!
Симметрии пронизывают все вокруг. Их много. Они разные. По большей части они скрыты от глаз. Человек распознал симметрию, как и красоту, когда стал осознанным, когда австралопитек стал Homo Sapiens. Благодаря шестому чувству — сознанию — человек стал различать символическую структуру вещей и явлений. Это случилось более тридцати тысяч лет тому назад. Появились зарубки на костях бабуина. Появилась пещерная живопись. И вскоре появился орнамент. Он появился уже в палеолите. Геометрическим узором покрыты браслеты, всевозможные фигурки, вырезанные из бивня мамонта. Первые орнаменты — это множества абстрактных зигзагообразных линий. Орнамент радикально отличается от блестящих по реализму пещерных рисунков. Изучив с помощью увеличительных приборов структуру среза бивней мамонта, исследователи заметили, что они по своей природе состоят из зигзагообразных узоров, очень похожих на зигзагообразные орнаменты. Таким образом, человек создал орнамент, когда увидел и распознал структуру, созданную самой природой. Но древние художники не только копировали природу, они вносили в первозданный орнамент новые комбинации и элементы.
Наскальные рисунки. Форсельв. Норвегия
Ваза шумерского царя Энтемены, 2700 г. до н. э. Это зеркально-симметричная симметрия и симметрия при повороте на 180°
Новый уровень понимания симметрии мы обнаруживаем в осколках шумерской цивилизации. Шумеры — древнейшее население Междуречья между реками Тигром и Евфратом. Шумеры изображали не только зеркальную симметрию, но также менее очевидную симметрию, когда один фрагмент переводится в другой не отражением, а поворотом на 180°.
Пифагорейцы изучали выпуклые равносторонние многогранники. На плоскости можно нарисовать равносторонний многоугольник с любым числом сторон. Но в трех измерениях таких фигур, любая из граней которых есть один и тот же правильный многоугольник, существует всего пять. Считается, что пифагорейцы знали только три такие фигуры. Весь набор из пяти фигур впервые был описан древнегреческим математиком Теэтетом, близким к Академии Платона. Эти многогранники называют «Платоновыми телами», поскольку в своем трактате «Тимей» Платон придал им глубокий философский смысл. Четырем из них он сопоставил стихии (землю, воздух, воду и огонь): земля — куб, воздух — октаэдр, вода — икосаэдр, а огонь — тетраэдр. Основанием этому служат эмоциональные ассоциации: жар огня ощущается четко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если ее взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно не похожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. А с пятым элементом — додекаэдром — Платон связывал квинтэссенцию, буквально «пятую сущность».
Слева направо: гравюра Альбрехта Дюрера «Меланхолия», додекаэдр и икосаэдр (из книги Луки Пачоли «Божественная пропорция»)
Симметрии тетраэдра: 8 поворотов относительно вершины; 3 поворота относительно середин сторон ребер; 12 отражений.
Итого 24 преобразования
В последней, XIII книге «Начал» Евклид суммировал выводы греческих геометров и дал полное описание симметрий правильных многогранников. Он заметил, что все они «как бы состоят» из тетраэдров. Тетраэдр — простейший элемент. И у него 24 преобразования симметрии. Уже здесь проявилось понимание того, что симметрия не только форма, но и процесс преобразования формы.
Процесс преобразования — существенный элемент симметрии.
Следующий прорыв в понимании симметрии был сделан в эпоху Возрождения. О телах Платона тогда много писали геометры, архитекторы и художники. Например, Пьеро дела Франческо, Дюрер, Лука Пачоли и Леонардо да Винчи. Леонардо да Винчи собирал из дерева каркасные модели Платоновых тел и изучал то, что скрыто по ту сторону от их форм. Его вдохновлял тот факт, что в телах Платона вдруг обнаружились символические числа — «золотая пропорция» и числа Фибоначчи в додекаэдре. Кодовые числа как бы скрываются в тени симметрии.
Симметрия означает форму, процесс преобразования и символическое число.
Идею прекрасного, но скрытого порядка, который можно явить только в числах, формулирует Гален. Гален, пересказывая казной древнегреческого скульптора Поликлета, приходит к выводу:
«Прекрасное мало-помалу возникает из множества чисел».
Симметрия привлекательна для человека тем, что она есть манифестация чисел. И эта идея получила свое развитие в XX веке. В 1910-х годах Феликб Клейн (автор книги об икосаэдре) писал:
«[Платоновы тела] проходят через всю историю науки. Пифагорейцы видели в них символы некоего мистического совершенства... Тринадцать книг Евклида служили лишь введением к их построению... А в наши дни они снова вступают в поле зрения математиков».
Речь идет о теории групп, изобретенных французским математиком Эваристом Галуа в XIX веке. Галуа обнаружил, что произведение любых перестановок из списка корней алгебраического уравнения само является перестановкой этого уравнения. Именно такой набор перестановок Галуа назвал «группой».
Так, если взять некоторое кубическое уравнение, можно задаться вопросом о его симметриях — тех перестановках, которые сохраняют все алгебраические соотношения между корнями. Нахождение того, какие перестановки являются симметриями этого уравнения, представляет собой технически сложное упражнение. Но есть то, в чем можно быть уверенным без всяких вычислений. Набор всех симметрий любого заданного уравнения должен быть подгруппой в группе всех перестановок корней. Почему? Предположим, например, что перестановки Р и R сохраняют все алгебраические отношения между корнями. Если к некоторому алгебраическому уравнению применить R, то получится верное соотношение. Если применить Р, то снова получится верное соотношение. Теперь, если применить R, а затем Р, — это то же самое, что применить Р, а затем — R. Следовательно PR = RP, то есть PR является симметрией. Другими словами, набор симметрий обладает групповым качеством. Все это Эварист Галуа понял в свои двадцать лет. Это, собственно, и есть то, что сделал Галуа. Он открыл, что с любым алгебраическим уравнением связана некая группа симметрии. Такую абстрактную симметрию Эвариста Галуа теперь называют «группой Галуа».
В 1872 году в докладе по случаю вступления в должность профессора Эрлангенского университета Феликс Клейн предложил рассматривать геометрию как
«изучение свойств пространства, инвариантных относительно той или иной группы преобразований».
Идею геометрического подобия и геометрической симметрии Клейн соединял с идеей перемещений. При изучении геометрии, утверждал Клейн, нужно рассматривать не только треугольники, окружности, икосаэдры или какие-либо другие фигуры, но и перемещения. Перемещения, которые могут растягивать и скручивать объекты, так же как сдвиг, следует считать геометрическими. Кроме того, соотношения между группой и симметрией намного легче понять в геометрическом контексте. Прежде всего следовало строго определить понятие симметрии. Ученик Давида Гильберта Герман Вейль смог точно и элегантно определить симметрию:
«Вещь считается симметричной, если мы можем с ней что-то сделать таким образом, что после этого она выглядит так же, как раньше».
До Галуа это понятие было довольно расплывчато. После Галуа симметрия — это специальный вид преобразований. Это некоторый способ «шевелить» объект. Если объект выглядит неизменным после преобразования, то данное преобразование представляет собой симметрию.
Симметрия — это преобразование, которое сохраняет структуру объекта.
В таком определении симметрии есть три ключевых слова: «преобразование», «структура» и «сохраняет». Симметрия есть нечто, что сохраняется в переменчивом мире вещей и явлений. Эта идея стала популярной после того, как в 1918 году Амалия Эмми Нетер, приват-доцент Геттингенского университета, доказала одну из самых известных теорем. Теорема Нетер утверждает, что управляющие энергией законы неизменны (инвариантны) относительно непрерывных изменений или преобразований во времени.
Законы сохранения — это проявления глубинной симметрии природы.
Что же такое «непрерывное преобразование симметрии»? Поясним на примере. Круг симметричен относительно непрерывного вращения, поскольку, на какой бы угол мы его ни повернули, он будет выглядеть не изменившимся. С квадратом такая манипуляция не пройдет. Квадрат симметричен только при повороте на 90°. Применительно к симметрии законов сохранения это означает следующее. Математические уравнения, описывающие динамику энергии в физической системе в какой-то момент времени, будут точно такими же и через бесконечно малый промежуток времени. Это хорошая новость. Вы только представьте себе мир, в котором законы меняются на каждом шагу!
Таким образом, закон сохранения энергии указывает на то, что физические законы неизменны во времени.
Подчеркнем, что речь идет о физических законах, а не о физических событиях. Так, купить акции Россельхозбанка в прошлом квартале — это не то же самое, что купить их год назад. При этом процесс покупки не изменяется, коль скоро сохраняются правила в работе банка. Именно об этом речь. Энергия — величина того уровня реальности, который соответствует правилам поведения, уравнениям движения, но не самому поведению и не фактическому его результату.
Сам факт существования такой величины, как энергия, есть знак того, что существуют в реальности такие символические структуры, которым подчиняется поведение физической реальности.
Симметрия проявляет себя в геометрических формах. Симметричными могут быть аккорды, тексты, уравнения, частицы вещества и кванты действия. Симметрия стала любимицей физиков. Она помогла им разобраться с классификациями кристаллов и элементарных частиц, помогла решать уравнения, вычислять вероятности квантовых переходов и делать фантастические обобщения. Одно из таких обобщений было сделано в Московском математическом институте им. Стеклова доктором Ю.А. Гольфандом и его аспирантом Е. П. Лихтманом в 1970 году и получило название «суперсимметрия». Идея суперсимметрии в том, что элементарные частицы вещества (такие как кварки и электроны) и элементарные взаимодействия (такие как глюоны и фотоны) могут поменяться местами так, что ничего вокруг не изменится. Символично то, что суперсимметрию между веществом и взаимодействием обнаружили математики. Они рассматривали вещество и взаимодействие в символическом плане. Они изучали формулы. Формулы состоят из символов, означающих величины и связывающие их операции. В этом смысле суперсимметрия есть символическая симметрия — симметрия символов.
Можно сделать следующий шаг и распространить принцип суперсимметрии на вещество, действие и информацию. По аналогии и по смысловому созвучию с понятием «гиперреальность», введенному философами постмодернизма, мы назовем гиперсимметрией такое обстоятельство, при котором символ может заместить вещь или действие таким образом, что в реальности ничего не изменится.
Эта догадка, высказанная мной в 2015 году в работах «Просто символ» и «Символ и капитал», находит подтверждение в повседневном опыте. Благодаря внедрению цифровых платформ происходит смещение потребления от приобретения вещей и услуг — к совместному пользованию вещами и услугами. Например, миллионы людей через цифровые платформы получают доступ к миллиардам книг в магазине Kindle Store компании Amazon, могут слушать почти любую музыку с помощью Spotify или присоединиться к предприятию по совместному использованию автомобилей. Реальность сама собой раскрывает себя как единство вещей, действий и символов. Это, собственно, и есть гиперреальность. Но вернемся к фракталам.
Открытие фракталов стало открытием еще одной формы преобразований, относительно которой может сохраняться инвариантность формы. Типичное свойство фракталов — самоподобие — заключается в инвариантности формы относительно изменений масштаба. На этом основании самоподобие также называют масштабной симметрией или симметрией подобия. Фрактальное подобие допускает «исчезающе малое искажение». Это значит, что фрактальная симметрия позволяет вносить хаотичность как в процесс построения фрактала, так и в структуру фрактала. Именно такое семейство фракталов сконструировал Майкл Барнсли в 2002 году. Он назвал его суперфракталом. Но об этом позже...
Сейчас заметим только то, что
симметрия есть
форма,
преобразование,
символ,
фрактал есть
форма,
алгоритм
и число.